CONSTRUCTION LINÉAIRE DE L*UN DES GROUPES PAR LES DEUX AUTRES

258. Considérons le système des intersections de m transversales droites arbitraires tracées sur un plan avec une ligne géométrique quelconque du degré m située sur ce plan : il résulte des principes établis dans la précédente Section (210 à 216) que, par ces/n* intersections, on pourra en général conduire une infinité d'autres lignes géométriques de même degré m, et que si un nouveau point est arbitrairement donné pour y faire passer Tune de ces lignes, elle sera complètement déterminée aussi bien que ses m — i autres intersections avec une transversale arbitraire passant par le point dont il s'agit. Or il existe entre le groupe de ces derniers points et les deux groupes de m points d'intersections de la transversale arbitraire, soit avec la courbe, soit avec le système des m droites données, considéré comme une autre courbe de degré m, des relations extrêmement remarquables et qui se déduisent immédiatement du théorème des n^' 180 et suiv. Il en résulte en effet que les systèmes d'intersections de ces deux courbes sont à la fois eu involution par rapport à tous les couples d'intersections relatives aux lignes

droites données, ce qui donne en tout ^^v^~'J relations métriques pro-

jectives analogues a celles du n® 253, mais parmi lesquelles m — i seulement sont distinctes (210 et 213) et comportent naturellement toutes les autres; de sorte qu'elles sont seulement aptes aussi à donner m — i des points qui appartiennent à l'une ou à l'autre des deux courbes quand les ^.m + 1 points restants sont assignés.

Soient/?,/?',/?",..., les m intersections de la transversale avec les m droites données; y, q', y",.. m ses w intersections avec l'une des deux courbes cor-^ respondantes, et r, r\ r",..., celles qui appartiennent à l'autre; les /w — i relations distinctes dont il s'agit pourront être écrites ainsi :

{pr] - [p'r] - [p"r) ^ {p^r) ^^"'''^

dans lesquelles la première lettre de chacun des produits indiqués par les parenthèses est censée conserver le même indice supérieur pour tous les

facteurs de ces quantités, tandis que l'indice relatif k la seconde lettre change, suivant nos conventions générales (165), en passant d'un facteur à un autre.

259, Les trois systèmes de points considérés jouissent d'un grand nombre d'autres propriétés curieuses et qui établissent entre eux une réciprocité complète.

Substituons en effet à l'une de nos deux courbes, à celle, par exemple, qui contient tous les points r, r', r",..., un système de m droites quelconques, et concevons, par les m^ intersections de ces droites avec les proposées relatives aux points/?, /?',/?",..., une nouvelle ligne géométrique qui contienne de plus q^ on aura, pour déterminer les m — 1 autres points où elle rencontre la transversale pr, m — i relations semblables à celles cidessus qui définissent les m — i points q\ y", y"',...; donc les mêmes constructions (210 et suiv.) qui donnent ces derniers points au moyen du premier q serviront aussi à construire les /w — i points inconnus de la nouvelle courbe, lesquels par conséquent ne pourront être autres que les points y', q\ (fy... eux-mêmes. Car, pour chacun de ces systèmes de points inconnus, on aura

l£il lM (m) (P^) (M) (P^) ^.p (/«)""(?>) [fq)~'[p"r)' (p^q)-'{f'r)'^^'"'

relations dont les seconds membres sont des rapports numériques de produits donnés, les mêmes pour les deux systèmes dont il s'agit.

Donc enfin on aura aussi entre les points proposés, les /w — i nouvelles relations

(rp)(r-p)(r»(r» (r9)-(r'9)-(r''(3fj-(r-î)-^'^"

exprimant que les deux groupes de m points/?,/?',/?",... et y, y', y",... sont, chacun à son tour, en imolution par rapport à chacun des couples de points du troisième groupe r, r', r",..., c'est-k-dire que ce dernier et le premier jouissent de propriétés exactement recijpro^rwe^ à l'égard du second.

Supposons maintenant qu'au lieu de mener les nouvelles transversales rectilignes par les points r, r', r",..., on les eût conduites par q, ^, ^',..., respectivement, on en conclurait pareillement que ce dernier groupe et celui des points/?, /?',/?",... sont en involution réciproque par rapport au premier, de sorte qu'on aurait encore

(gr)-(g'r)-((3fV)T(9-r)-^'^' II. 3i

Les trois systèmes de relations que nous venons d'établir sont donc tels, que Tun quelconque d'entre eux entraîne forcément les deux autres; ce qui permet généralement de construire m— i points de l'un des trois groupes auxquels ces systèmes d'équations appartiennent quand le dernier point de ce groupe et tous ceux des deux autres sont donnés.

260. Cette liaison remarquable entre trois groupes de m points situés en ligne droite peut se nommer involution complète et réciproque de ces points, pour la distinguer de celle (253) qui est relative à deux systèmes de m points comparés à deux points seulement. On voit qu'elle est absolument analogue a l'involution ordinaire de trois couples de points due k Desargues, de sorte qu'elle doit entraîner avec elle un grand nombre de conséquences curieuses relatives aux propriétés des systèmes de lignes et de surfaces géométriques, analogues par extension a celles (143, 150, 151) des lignes et des surfaces du second ordre. Mais, avant de les exposer, donnons un procédé graphique suffisamment simple et rapide pour déterminer les points de l'un des deux groupes au moyen de ceux des deux autres et de l'un quelconque des points du premier de ces groupes.

261. Proposons-nous, par exemple [Jig. 42) de construire le groupe des points r, r', r",..., en nombre m, quand on en donne le premier r et tous ceux des deux autres groupes /?,/?', /?",..., et y, q\ q'\....

Menons par les points de ces derniers groupes deux systèmes de droites arbitraires s'entrecoupant enm^ points dans un plan quelconque passant par la droite qui contient tous les groupes; par le point donné r et les m^ points dont il s'agit, traçons également une ligne géométrique du degré m, ou plutôt déterminons par les méthodes des n*'' 210 et suivants les m — 1 nouvelles intersections de celte ligne 'à\ec pq : évidemment ces intersections se confondront avec les m — i points demandés. Mais on peut ici notablement diminuer le nombre des opérations graphiques que supposent ces méthodes, en imaginant qu'après avoir mené par le point r une transversale arbitraire, on ait pris à volonté m points sur cette transversale pour y faire passer les deux systèmes de droites considérées; il résultera en effet des principes souvent cités (Sect. III) que les m^ — m = m{m — i) autres intersections de ces systèmes seront à une courbe du degré m — 1 complètement déter-* minée, qu'on pourra construire (224) par points avec la règle, et qui viendra couper la droite des points donnés /?,/?',..., q, q\..., aux m — i points demandés. Mais on peut simplifier davantage encore la construction en supposant que, des m points choisis arbitrairement sur la transversale

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 243 issue du point donné r, m-- i soient confondus en un seul 5, et que le dernier point, soit a, reste seul distinct des autres et de s.

En effet, par suite de cette hypothèse, la courbe du degré m — 1 dont il vient d'être parlé acquerra un point multiple de l'ordre m ^2 confondu avec le point donné s; de plus, elle passera par les m — i intersections des transversales de chacun des systèmes qui contiennent s avec la dernière transversale de l'autre système, ne renfermant pas s mais a, ce qui fixe complètement la courbe de position et permet de la construire entièrement par points à l'aide du procédé linéaire très-simple du n^ 204, qui n'exige en effet que l'emploi de la règle.

La courbe ainsi obtenue viendra rencontrer la droite pq aux m — i autres points r'j r^, r'\... demandés, lesquels, avec r, sont en involution complète par rapport aux deux groupes de m points/?, p', p'\,.. et q^ q'^ j'",... qu'on s'est donnés à /?nbn sur cette droite indéfinie/J^r.

262. Ces constructions faciles nous permettent de résoudre très-simplement la question où il s'agirait de faire passer par un point quelconque donné sur le plan de deux systèmes indépendants ou faisceaux distincts de m droites, une courbe géométrique qui contînt tous les points de rencontre de ces systèmes, au nombre de m*, ou plus généralement de tracer ia courbe géométrique qui passerait par un point arbitraire et par les in^ intersections réelles ou imaginaires de deux lignes géométriques ou systèmes de lignes droites ou courbes du degré m, problème entièrement analogue à celui que nous nous sommes proposé de résoudre dans les n^' 210, 216 et suivants, pour le cas où les intersections dont il s'agit sont immédiatement données et situées m par m sur m lignes droites distinctes.

Prenons, en effet, le point qu'on s'est arbitrairement donné sur la courbe cherchée, pour pôle d'une suite de transversales rencontrant les deux lignes ou systèmes de lignes donnés en m points respectivement; déterminons, d'après ce qui précède, les m — i autres points qui, avec le pôle fixe, sont en involution par rapport aux im points dont il s'agit; la suite de tous ces points formera une ligne continue passant une seule fois par le pôle des rayons vecteurs et qui sera par conséquent du degré m seulement. Je dis, de plus, qu'elle passera nécessairement aussi par les m^ intersections communes aux lignes données; car, d'après les relations qui lient entre eux (259) les trois groupes distincts de points en involution, il est clair que deux points quelconques de deux groupes différents ne peuvent se confondre en un seul sans qu'il n'en arrive autant à l'un des points du troisième

sources de l'Analyse algébrique, qui nous permettent d'arriver tout d'un coup à l'ensemble des relations qui lient entre eux les systèmes de points en involution complète.

Soient en effet [Jig. 43) les trois systèmes de m points/?, p',p'',...; q, q\ 9",..., et 0?, x\ a/',..., en involution sur une droite, c'est-à-dire tels, qu'on ait (258 et 259)

[xq) {x'q) [x^q)

En considérant ces égalités comme propres à définir ou à déterminer les m points x, x\ a:",..., à l'aide de tous les autres, on pourra poser généralement l'équation unique

g] = K ou {xp) = Y.[xq).

K étant une constante positive ou négative qui est donnée de grandeur et de signe dès que la position de l'un des points x, a/, a?",..., est connue et qui, lorsqu'elle est assignée à priori, suffira évidemment (261) pour construire tous ces points, si l'on convient, une fois pour toutes, que les facteurs linéaires qui entrent dans les produits [xp) et [xq] doivent être positifs ou négatifs, selon que les points auxquels ils appartiennent sont situés a droite ou à gauche du point x considéré en particulier comme origine commune des segments.

Cela posé, imaginons que ce pointa? soit situé à gauche de tous les points donnés, et prenons à volonté une nouvelle origine située elle-même à gauche de x\ l'équation ci-dessus deviendra, en nommant ox simplement Xy

(^)^(o££|^j^ ou (x-op)-}L{x-^oq) = o.

[xq) (oq — x) tf \ Hi y

dans laquelle K est essentiellement positif. Si au contraire x devait être situé entre deux des points donnés, le coefficient K pourrait être négatif; mais dans tous les cas l'équation ci-dessus subsisterait en attribuant un signe convenable à la constante K.

Développant donc les produits de la dernière équation, ordonnant par rapport à a?, nommant ?« la somme des segments ou abscisses simples 0/7, op\ op%..., P2, P3»..., Pm-u Pm celles de leurs produits deux à deux, trois à trois,..., m — I àm— I, enfin m à m, ce qui revient à leur produit total; nommant pareillement Qi, Q2» Q3, Qm-i» Qm les quantités analogues relatives aux abscisses oq^ oq\ oq"^...^ on aura évidemment

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. ^^9 t^qualion qui servirait à calculer directement les m valeurs de a? h défaut de constructions géométriques, c'est-à-dire à déterminer les m abscisses positives ou négatives ox^ ox\ ox'\,.., relatives au troisième groupe de points en involution par rapport aux proposés.

272. Il résulte de là et de la théorie des équations, que, si Ton nomme semblablement X| la somme des abscisses dont il s'agit, X2 celle de leurs produits deux à deux, Xj celle de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, on aura

X.(i — K) = P. — KQ., X,(i-K)=P,-KQ„..., X«„,(i~K) = P«-.— KU,...,

équations dans lesquelles on doit toujours regarder comme positives les abscisses des points situés à droite de l'origine o, et comme négatives celles des points situés à gauche de cette même origine , mais où l'on peut attribuer à K un signe quelconque et le remplacer même par le rapport de deux nombres A et B dont l'un demeure arbitraire, si Ton veut donner aux équations une forme entièrement symétrique.

On conclut encore de ces m équations combinées deux à deux une suite d'autres relations métriques indépendantes du nombre K, et qui expriment autant de propriétés nouvelles des groupes conjugués des points en involution complète, telles que m— i quelconques d'entre elles relatives à un certain groupe comportent nécessairement toutes les autres.

273. Si nous nous arrêtons au système des m équations posées en dernier lieu, il sera facile de conclure de la première d'entre elles que les centres de moyennes distances de deux des trois groupes de points considérés ne peuvent se confondre entre eux sans se confondre en même temps avec celui du troisième; des deux dernières équations, on conclura la proposition analogue relative aux centres de moyennes harmoniques de ces groupes respectivement conjugués au point o; ce qui revient aux théorèmes déjà démontrés plus haut. Mais il convient pour notre objet d'étudier spécialement la dernière de toutes ces relations qu'on peut écrire ainsi d'après nos conventions :

(ox){i'-K) = {op)-YL(oq) ou (o^) (A -+-B)=A(o/>) 4-8(09),

où K= — — (272) et qui exprime une propriété d'autant plus remarquable

des groupes de trois points en involution, qu'elle est tout à fait indépen-^

dantede la position particulière du point 0; en sorte qu'elle demeure appli*^