DÊTBRMINJITION PES CONSTANTES SOUS DIVERSES CONDITIONS

283. Supposons maintenant que l'on se donne arbitrairement autant de points a de (a) qu'il y a de constantes moins une dans cette relation, c'està-dire un nombre égal à celui des courbes ou surfaces données diminué d'une unité : on obtiendra ainsi autant d'équations linéaires qu'il en faut pour déterminer les rapports des constantes A, B, C,... à l'une quelconque d'entre elles, et, par conséquent aussi, pour déterminer complètement, de forme et de position, la courbe ou surface (a) qui passe par ces points.

Par exemple, si l'on n'a que trois courbes ou surfaces (/?), (y), (r) du degré m à considérer, deux points a et a' suffiront pour déterminer la quatrième courbe (a), puisqu'on aura pour la direction de aa'

A(a»-HB(a'(/)^-C(aV) = o; d'où l'on tire immédiatement

B ^ («r)(a» — (aV)(a/>) A ^ (g^r) (a</) — (gr) (g^g) C {ocp){cc'q)-{ap)[ccq)' C {ap)(a'î)-(«»(a?)*

Soit a" un troisième point quelconque de (a) situé sur le prolongement de aa'f on aura également

A(a»-+-B(a''qf)-f-C(a"r) = o,

et, par conséquent,

[(a'r)(a9)-(ar)(g'9)](aV)4-[(ar)(g»-(a'r)(ap)](«"î)

y^^r, PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGCRES.

«c qui démontre que les points a, a", a"»..., qui appartiennent à une même transversale arbitraire, ont entre eux, et par rapport aux intersections iU' rette transversale et des courbes ou surfaces (/>), {q) et (r), une corrélation telle, que, ces points étant pris trois par trois et dans un ordre arbitraire, ils donnent lieu à la même équation ou relation métrique, et que, de plus, deux quelconques d'entre eux étant donnés, les m — 2 antres s'en déduisent nécessairement.

284. Ces propriétés sont analogues à celles qui concernent trois systèmes de points en involution complète sur une droite; en les étudiant d'abord |M)iir les systèmes de lignes droites ou de surfaces planes, on les étendrait fîMîilement ensuite aux lignes et surfaces quelconques, à peu près comme nous l'avons fait pour les propriétés relatives à Tinvolution qui nous ont précédemment occupés; on serait ainsi conduit à des constructions géométriques élégantes et simples pour trouver la courbe ou surface qui satisfait aux conditions données, quand on assigne deux quelconques de ses points, on une tangente et son point de contact, etc.

Il m'est impossible de m'arrêter à de telles conséquences, et je me borntî à faire observer que la dernière des relations ci-dessus et toutes ses analogues deviennent identiques et, par conséquent, changent de forme quand on suppose a et a' infiniment voisins, ou la transversale au' tangente à (a); il est aisé en effet (187 et suiv.) de s'assurer qu'on a alors

^a,q ^ocp

[Ih I^)<"'»-(2:.7-2i.)i«'"i+(2^-2i;)

a'Vj = o,

é^juntions dans lesquelles il faut attribuer le signe -4- ou le signe — à chaque ;\hsrisse ou segment, selon que ce segment est situé à droite ou à gauche de Torigine a ou a" d'où il se mesure; de sorte qu'on peut aussi leur donner lelle forme plus simple :

R ^xp.ocr A ^ixgocr

^- ~ y P<r ' ^ "^ y Pg

sous laquelle on reconnaît que ces relations, de même que celles d'où elles proviennent, satisfont naturellement aux conditions de projectibilité énoncées au n° 11 du tome I*"" de ce Traité. Ainsi, par exemple, des relations de même forme ont lieu entre les sinus des angles correspondants d'un faisceau convergent de droites qui s'appuieraient sur les points considérés, etc.

Mais cette analogie entre les systèmes de points qui nous occupent et les points en involution complète peut être rendue plus évidente encore par les considérations qui suivent.

ANALOGIE ENTRE LES NOUVELLES ET LES ANCIENNES RELATIONS d'iNVOLUTION.

285, Reprenons, en effet, le raisonnement du n° 281 où nous avons ftiit intervenir les courbes ou surfaces auxiliaires (a?), (j),-., pour construire celle (a) qui satisfait à la relation

A(ap)-hB(a9)-f-C(ar)4-...= o,

et observons que, puisque nous avons, par rapport à une origine quelconque o de la direction de la transversale /?r parallèle à l'axe fixe,

(A4-B)(o:c)=:A(op)H-B(o/>), (A-f-B-f-C)(o/) = (A-f-B)(ox)-4^C(or),

nous aurons aussi, en général, [z) étant la dernière des courbes ou surfaces auxiliaires considérées,

(A-f-B-+-C-+-...)(o2) = Afo/7)-f-B(o9)-f-C(or)-f-..-.

Or il résulte de là que [z] et (a) jouissent absolument des mêmes propriétés par rapport à (^), (y), (r),..., ou qu'elles sont de même espèce.

Supposons donc l'origine arbitraire de pr, successivement confondue avec divers points de la courbe (2); le premier membre de l'équation cidessus s'évanouissant, on aura autant de relations de la forme

A (2/?) -f- B (z^ ) -f- C (-zr) -i-. . . = o,

qui ont lieu aussi par hypothèse pour les divers points de (a).

Se rappelant maintenant que chacune des auxiliaires (a?), (j)»...» [z)

supposées en nombre n— i, si la relation proposée renferme n termes,

comporte un point ou une condition arbitraire, il sera facile de voir que [z)

se confondra entièrement avec (a), si l'on choisit les données de façon