II

qu'elle passe par n— i des points de (a). On aura donc aussi

(A-+-B-+-C-f-...){^«) = A(o/?)-f-B(o(7)-f.C(or)4-...,

quel que soit le point d'origine o des segments; ce qui prouve que les systèmes de m points /?, de 772 points 9, etc., jouissent entre eux de propriétés entièrement réciproques, et analogues à celles qui constituent (260) l'involution complète de 3/n points en ligne droite.

286. Supposant, par exemple, l'origine o successivement confondue avec a, avec/?, avec q, etc., on aura la suite d'équations

A(«/>)-HB(a9)-hC(ar)H-... = 0, ( A-hB-+-C-h... )(/?«) -B(;?<7)—C(/ir)-... = o, (A-+-B-f-CH-...)(?a)-A(9p)~C(9r)— ... = o,

qui se rapportent au même genre de relations métriques, et subsistent sous la même forme quand on suppose cette origine successivement placée en a', />', y', r",...; ce qui ne fait que changer l'indice de la première lettre de chacun des facteurs des produits compris entre parenthèses, d'après nos conventions (165), cette lettre étant la même pour la même équation.

287. Concevons encore qu'un certain point o de la transversale /?r soit tel, qu'il ait même centre de moyennes harmoniques conjugué par rapport aux différents groupes de points /?, de points q, etc., un seul de ces groupes excepté ; d'après les considérations générales qui précèdent, relatives aux surfaces auxiliaires [x), (y),..., (s), et qui peuvent s'appliquer immédiatement aux groupes des intersections^, o?', or*,..., des intersections/,/', /*',..., etc., qui leur appartiennent, le centre conjugué à ce point d'origine o dans le groupe réservé se confondra aussi avec celui qui est commun aux premiers groupes; car il est évident, par exemple, que si le groupe des points p et celui des points q ont même centre de moyennes harmoniques conjugué au point o, ce centre sera aussi celui (269) du système des points x\ que s'il est en même temps celui des points r, il devra également se confondre avec celui de >•, et ainsi de suite.

Supposant le point o k l'infini, le centre commun des moyennes harmoniques se changera en an centre pareil des moyennes distances des différents groupes de points considérés sur chacune des transversales parallèles à une même direction, la suite de tous ces centres formant un lieu unique, continu et linéairet dont nous n'avons point ici à nous occuper.

288. L'analogie de ces différentes relations entre les systèmes de points* considérés avec celles qui concernent trois systèmes simples de tn points (271 et suiv.) permettrait de nommer généralement inçolution multiple et réci^ proque la corrélation de situation qu'elles définissent.

Mais, afin de ne pas confondre entre elles ces différentes espèces d'iwolutions, il conviendrait d'indiquer le nombre des systèmes distincts de points dont chacune se compose; ainsi, par exemple, on dirait une involution complète de 3/n points, de 4^ points, etc., ou de trois groupes, de quatre groupes de m points, etc.

Sans insister sur cette définition, nous ferons observer que l'on pourra toujours substituer a chacune des relations qui viennent d'être posées en dernier lieu, une suite d'équations analogues à celles du n^ 285, et qui satisferont aux conditions de projectibilité dont il y est fait mention; ce qui prouve que toutes ces équations ont lieu de la même manière pour les perspectives ordinaires ou en relief de la figure proposée; conséquence évidente en elle-même, puisque les relations qui concernent les surfaces auxiliaires [x)y (j),..., dont il a été fait mention précédemment (281), et qui appartiennent aux involutions complètes de 'im points, jouissent elles-mêmes de cette propriété.

DÉMONSTRATION DIRECTE DE LA PROJECTIYITÊ DES NOUVELLES RELATIONS d'iNVOLUTION ET COROLLAIRES RELATIFS AUX INTERSECTIONS DES LIGNES OU DES SURFACES.

289. Il me paraît utile de montrer à priori comment toutes les relations jusqu'ici considérées, et qui contiennent des constantes, peuvent être ramenées de la manière la plus simple à la forme particulière de celles qui satisfont aux conditions de projectibilité du n° 11 du précédent volume; car il en résulte, par là même, une série de relations ou de propriétés nou^ velles et plus générales encore des points qu'elles concernent.

Considérant, par exemple, la relation particulière

(A-f-B)(o:c) = A(op)H-B(o^),

qui définit l'involution complète des trois groupes [fig. 43) de /w points x, x\ x'\...y p,p\p'\>"^ q, q\ y"j..., situés en ligne droite, on fera intervenir, conformément aux remarques de la Note II* du Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques (Sect. II), le point w situé à l'infini sur cette droite, parmi tous les autres points considérés; car on aura identiquement

' [mx) (&)/>) {(ùq)

26o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

attendu que les dénominateurs peuvent ici être censés égaux entre eax comme ne différant que d*une quantité finie négligeable. Mais, comme celte nouvelle relation est projectwc de sa nature, ou satisfait aux conditions spécifiées, on conclura qu'elle a lieu également quand on regarde <k> comme un point quelconque au lieu de le supposera Tinfini.

On généraliserait de même toutes les autres relations considérées dans ce paragraphe.

290. Le point o étant entièrement arbitraire (273) aussi bien que o», on pourra à son tour le supposer à l'infini, et obser\'ant que les produits [ox ^^ (op), {oq) convergent alors vers l'égalité, on aura

(Ah-B) a b

nouvelle relation qui n'est pas moins remarquable que la proposée, et qui conduirait, ainsi que ses analogues, à beaucoup de conséquences curieuses, mais sur lesquelles encore nous ne saurions ici insister.

f'.ontcntons-nous de remarquer que toutes les relations ainsi transformées, on les propriétés qu'elles expriment pour les groupes de points proposés, seront, en vertu de nos principes (120 et 131), susceptibles d'être traduites immédiatement en d'autres relations projcctives appartenante la figure qui est la polaire réciproque de celle dont cet ensemble de groupes fait partie.

Supposant ensuite que, dans cette figure, la droite et le plan polaire du point o ou du point co s'éloignent à l'infini, on retombera comme cas particuliers sur autant d'autres théorèmes ou corollaires qu'on pourra considérer comme les corrélatifs ou réciproques de ceux qui ont été établis pour les divers groupes de points primitivement considérés.

Remarquant enfin que, pour la figure dérivée dont il s'agit, tous les points ou groupes de points en ligne droite, tels que o, w,/?, y, /•,...j sont remplacés par des droites convergeant en un même point ou par des plans qui se coupent suivant une même droite, on pourra encore supposer que ce pôle ou cette droite polaire conjugués à la droite primitive oq soient à l'infini, sans que les relations qui leur appartiennent cessent d'y être applicables autrement qu'en se modifiant suivant les lois simples établies d'après nos principes (Sect. III).

291 . Au surplus, les considérations qui précèdent, applicables aux lignes et aux surfiices géométriques coupées par des transversales arbitraires ou parallèles à des directions fixes, peuvent s'étendre (278) au cas où la

surfaces (a:), (r) et {s) ou (y) ont une ligne d'intersection commune et sont par conséquent en involulion entre elles (267). Mais, d'après la manière dont (y) a été déterminée, cette surface est liée aux trois surfaces (/?), {g) et (r) par les différentes propriétés ou relations métriques qui nous ont précédemment occupés (281); donc enfin il en est de même aussi de la quatrième surface arbitraire {s), ou, en d'autres termes :

Lorsque quatre surfaces quelconques du degré m ont les mêmes points d'intersections communes, réelles ou idéales^ toute transversale les coupe sui^^ant quatre groupes de m points chacun, qui sont en involulion quadruple.

Cette proposition est la réciproque de celle qui se trouve énoncée à la fin du n° 281.

293. D'après les conventions déjà admises au n® 267, on peut dire encore que ces surfaces sont elles-mêmes en involution mutuelle ou réciproque; puis, par voie de continuité et de transformation polaire (Sect. II), on arrive a des conséquences analogues relatives aux systèmes de surfaces qui ont quatre à quatre les mêmes plans tangents, notamment pour construire l'un des groupes de surfaces par les autres, etc., etc.

Le tour de démonstration ci-dessus est directement applicable à beaucoup d'autres théorèmes sur les courbes et les surfaces. Par exemple, on peut s'en servir pour démontrer ce théorème :

Si trois surfaces du degré m, s' entrecoupant en m^ points distincts corn-» muns à leur système, mais qui, au lieu d'être quelconques, soient telles, que nrn de ces points appartiennent à une quatrième surf ace du degré n, les m^ '-m:^n = m^[m — n) intersections restantes seront à une autre surface du degré m — n qui, avec la précédente, formera un système en involution mu-^ tu elle ou réciproque avec les trois surfaces proposées.

294. Ce théorème général est, en quelque sorte, évident en lui-même puisque, dès lors qu'il existe une infinité de surfaces du degré m qui contiennent les intersections des trois surfaces données, il doit arriver dans certains cas que, parmi cette infinité de surfaces, il y en ait une ou plusieurs qui soient décomposables en deux ou plusieurs autres, dont la somme des degrés soit m; or, le signe auquel on peut reconnaître avec certitude l'existence d'une semblable décomposition, c'est évidemment qu'une certaine surface d'un degré inférieur à m ait toutes ses intersections avec les différents couples des proposées, comprises au nombre des m^ points communs a leur système.

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 263 Mais on peut établir cette conséquence plus rigoureusement encore» ainsi qu'il suit.

295. Concevons par les m^ intersections des surfaces [m] une infinité d'autres surfaces du degré m; elles couperont la surface (/i) en une suite de courbes du degré mn qui s'entrecouperont toutes aux m^n points qui lui sont communs avec les proposées, mais qui ne sauraient avoir un plus grand nombre de points communs sans se confondre entièrement, puisque le nombre des intersections d'une surface du degré n et de deux surfaces quelconques du degré m ne saurait surpasser m^n.

Supposant donc en particulier, qu'ayant choisi sur (n) un point quelconque a pour y faire passer (281) une infinité de surfaces de degré m contenant les m* intersections des proposées, il est clair que totites ces surfaces, qui sont distinctes entre elles, devront néanmoins rencontrer [n) suivant la même courbe; mais si, pour déterminer complètement de grandeur et de position ces difTérentes surfaces, on exige que chacune d'elles contienne un nouveau point a' de [n], distinct de a et entièrement arbitraire, comme cette surface ne cesse pas d'être constructible géométriquement, il faudra bien que la surface (/i), tout entière, coïncide avec elle et toutes les semblables; autrement, en effet, elle les couperait toutes suivant des lignes du degré mn ayant, en outre du point a', m^n autres points communs; ce qui est visiblement absurde.