DE SES POINTS

(Extrait des anciennes Annales de Mathématiques y t. XV, p. 24^9 février 1825.)

a Dans le VIP volume des Annales (p. 18), M. Dupin a donné un procédé assez » simple pour obtenir le cercle osculaleur d*une courbe à double courbure dont on A a les projections orthogonales sur deux plans quelconques. Ce procédé consiste » proprement à rechercher deux sections coniques osculatrices des projections » qui soient telles, que les cylindres projetants qui leur répondent s'entrecoupent, )) dans Tespace, suivant une autre osculatrice plane. La méthode donnée par M. Haj) chette, dans le Bulletin de la Société Pliilomathique (année 1816, p. 88), semble » beaucoup plus compliquée, puisqu'elle est fondée sur l'emploi des surfaces gau- D ches. On sait d'ailleurs qu'elle a pour principe le beau théorème dû à Meusoier » sur les rayons de courbure des sections obliques.

D En combinant ce théorème avec celui de M. Dupin, sur l'indicatrice de la j) courbure des surfaces (*), nous sommes parvenu à une troisième solution du » problème qui nous paraît nouvelle, et qui, si nous ne nous trompons, sera jugée » beaucoup plus simple encore que les deux que nous venons de rappeler. Voici » en quoi elle consiste.

» On sait que l'indicatrice de la courbure, pour l'un des points d'une surface » cylindrique quelconque, se réduit à deux droites parallèles aux génératrices, D situées dans le plan tangent en ce point et symétriquement placées par rapport j> à celle de ces génératrices qui passe par ce même point, qui d'ailleurs doit être D considéré comme centre de ces deux droites. On sait aussi que toute section D normale aux génératrices d'un cylindre est nécessairement une section de » moindre courbure; de sorte que, pour le point dont il s'agit, la génératrice et sa D perpendiculaire dans le plan tangent sont les directions de plus grande et de » moindre courbure de la surface cylindrique. On sait enfin que les rayons de » courbure des diverses sections normales, en un même point, sont proportionnels » aux carrés des diamètres correspondants de l'indicatrice relative à ce point; » lesquels diamètres sont ici des droites terminées aux deux parallèles dont il vient » d'être question ci-dessus, et passant par le point dont il s'agit.

» Il résulte de là que si, pour un quelconque des points de la surface d'un cy- » lindre, on connaissait le rayon de courbure de la section normale aux généraj) trices, on obtiendrait, par une construction très-simple, le rayon de courbure » d'une autre section normale quelconque, passant par le même point, et dont la » direction serait donnée par une droite tracée dans le plan tangent en ce point;

(•) Voyez Annales y t. IX, p. 176 et 179.

» faîtes suivant cette tangente ; on aura, d'après les propriétés de Tindicatrice rap-

» pelées ci-dessus,

cos^a cos'a'

» Cela posé, si Ton nomme d la distance entre les centres de courbure des sec-

» tions normales qui ont r et r' pour rayons de courbure, N l'angle formé par ces

» rayons ou les normales au point donné de l'intersection commune des deux

» cylindres, enfin a et a' les angles compris entre les directions de ces normales

» respectives et le rayon de courbure cherché; en représentant ce dernier par p,

» on aura également, par ce qui précède, dans les triangles formés par ces diverses

» droites,

rf' = r' -i- r'»— 2rr' cos N ,

p=rcosa, p = r'cosa', prf=rr'sinN; » d'où l'on tirera

r — r^cosN R cos V — R cos'a cos N

ta»g«— ,./sinN "" R'cos'a'sinN '

, r' — rcosN __ R'cos^a — RcosV cosN ^ ^* rsinN Rcos'asinN '

» et par suite,

RR' sin N

V' R^ cos* a' -f- R'' cos* a — 2 RR' cos' a cos» a' cos N

» Il serait facile, au surplus, d'arriver directement à ce résultat par la théorie D ordinaire des coordonnées dans l'espace. »