ANALYSE DU MÉMOIRE SUR LA THÉORIE GÉNÉRALE DES POLAIRES RÉCIPROQUES

[Extrait d*une Lettre en date du lo décembre 1826, adressée au rédacteur des anciennes ^/t/io/fj de Matliématiques, et publiée partiellement dans le tome XVII, p. 265 (mars 1827), et t. XVIQ, p. 142 et 145 (novembre 1827)].

Le Mémoire dont M. Arago a bien voulu. Monsieur, vous entretenir lors de son passage à Montpellier, a pour objet la Théorie générale des polaires réciproqueSy et fait suite au Mémoire sur la théorie des centres de moyennes harmoniques, dont vous avez inséré le Rapport fait à l'Institut par M. Cauchy, dans votre cahier du mois de mai dernier. C'est précisément le Mémoire dont j'ai eu l'honneur de vous parler dans ma dernière lettre à l'occasion du principe de dualité que vous avez mis en avant et développé d'une manière très-philosophique à la page 209 du tome XVI* des Annales de Mathématiques. Il se trouve en effet que le Mémoire sur la théorie des polaires réciproques que j'ai présenté à l'Académie royale des Sciences le 12 juin 1824, et sur lequel j'ai lu une Notice fort étendue en présence

des membres de celle société célèbre, n'a d'autre objet que de démontrer dans toute sa généralité cette double existence, si je puis m'exprimer ainsi, des relations soit métriques, soit descriptives qui appartiennent wxx figures projectiles du plan ou de l'espace, et que j'avais déjà fortement recommandé, pour ce qui concerne les relations descriptives, à l'attention des géomètres, soit dans voire recueil, soit dans le Traité des Propriétés projectives que j'ai fait paraître en 1822 (*). Dans un article du Bulletin des Sciences mathématiques de M. le baron de Férussac (n** a), février 1826, p. 112 et suiv., où l'on rend compte, Monsieur, de vos vues sur ce sujet sans mentionner mes propres recherches antérieures de quelques années et d'ailleurs plus étendues, puisqu'elles embrassent les lignes et surfaces ainsi que les relations métriques; dans cet article, dis-je, on a avancé que a si la » théorie des pôles et polaires a mis en évidence cette sorte de dualité d'une partie » notable de la Géométrie, ce n'est certainement pas en vertu de cette théorie » qu'elle a lieu, mais bien en vertu de la nature même de l'étendue; » ce qui revient à dire, ce me semble, qu'un théorème quelconque préexiste à sa démonstration, ou plutôt existe indépendamment du principe qui y a conduit : or cela ne prouve nullement que l'on y fût arrivé sans ce principe, ni qu'il ^ eût aucune difficulté à l'établir et à le signaler. Il est même très-peu philosophique de prétendre que certaines analogies de propriétés soient étrangères aux théories qui y ont conduit; car les mots analogie^ corrélation, dualité sont en eux-mêmes vides de sens si l'on ne spécifie les caractères par lesquels on les définit rigoureusement : par exemple, c'est ce que fait la théorie des projections centrales, le principe de continuité, enfin la théorie des polaires réciproques, qui, par là même, sont seules aptes à justifier et à faire découvrir les propriétés, les relations qui, selon la définition admise, répondent à des relations, à des propriétés déjà connues. Voilà pourquoi aussi l'on ne saurait dire qu'il n'y a simplement que dualité entre certaines propriétés des figures, et il serait facile au contraire de prouver qu'il y a souvent aussi trialité.

Quant à ce que l'on a dit, au même endroit [du Bulletin des Sciences^ sur l'indépendance de ces propriétés, qui vont par couple, de toute espèce de calculs, il me semble que j'ai fait dans le Traité des Propriétés projectiles assez d'efforts pour la mettre hors de doute et que je n'ai point été sans obtenir quelque succès (**). Je ne puis pas même admettre avec M. Sarrus ( Annales de Mathématiques, t. XVI, p. 378 ) que les géomètres de l'école de Monge ne soient pas encore parvenus à démontrer, sans calculs, les propriétés des cujces, des plans et des centres radicaux des cercles et des sphères, supposé toutefois que l'on ne tienne pas à la définition

(*) Voyez Annales de Mathématiques^ t. VIII, janvier 181 8, p. 201. — Traité des Propriétés projectiles des figures, n*" 235, 400, 406, 407, etc. — Supplément du même Traité, n"592, etc.

(**) ConsuUez particulièrement, pour le cas des figures comprises dans un plan, les n**293, 294, 295, 300, 301. 302 6t suiv., relatifs aux sections coniques, etc., ainsi que les n*^ 247, 248, 281, 282 et suiv., relatifs aux cercles en particulier et aux droites qui leur appartiennent; consultes pareillement, pour le cas des figures dans l'espace, les n^ 577, 578, 583, 589, ainsi que la plupart de ceux qui les suivent dans l'ouvrage jusqu'à la fin.

primitive de ces mois ; et pour le convaincre qu'il s'est totalement trompé à cet égard, il me suffirait de le renvoyer à Touvrage déjà souvent cité, ainsi qu'à ceux de Honge, deDupin, etc. (^j.Enfm j'ai peine à comprendre pourquoi quelques géomètres, tout en rendant justice à ce qu'ils appellent Vécole de Monge^ montrent une telle répugnance à en adopter les méthodes, qu'ils se croient obligés de refaire la démonstration des théorèmes qu'elles ont servi à découvrir et à établir. Sans contester d'ailleurs le mériie réel de ces nouvelles démonstrations, je me permettrai cependant de faire observer qu'elles conduisent rarement à quelque chose de neuf, et sont circonscrites dans des limites fort étroites, tandis que les méthodes en question, qui ne sont actuellement un mystère pour personne, offrent, comme vous l'avez vous-même remarqué. Monsieur, des moyens larges et puissants de démontrer et de découvrir en Géométrie. Au surplus, ces reproches ne s'adressent qu'à un peiit nombre d'écrits géométriques de notre époque, et, je dois me hâter de le dire, ils ne sauraient concerner ceux du savant rédacteur des Annales de Mathématiques y qui a suffisamment prouvé dans divers endroits de son recueil, que non-seulement il avait goûté ces méthodes, mais encore qu'il savait les appliquer heureusement à la recherche de vérités nouvelles et utiles.

Je reviens au Mémoire sur la Théorie des polaires réciproquesy dont vous me demandez l'analyse (**).

J'ai avancé et prouvé, ce me semble, par un nombre suffisant d'exemples, soit aux endroits cités des Annales de Mathématiques y soit dans le Traité des Propriétés projectiles de 1822, qu'il n'existe pour ainsi dire aucune relation descriptive et suffisamment générale d'une figure donnée sur un plan ou dans l'espace, qui n'ait son analogue, ou plutôt sa réciproque, dans une autre figure tout aussi générale que la première, et cela en vertu même de la théorie des polaires réciproques; mais je n'avais fait qu'indiquer à la hâte les principes de cette théorie pour le cas de l'espace, et surtout j'avais totalement négligé ce qui concerne les relations métriques d'angles et de distances, sur lesquelles jusqu'ici il n'existe rien nulle part. Cette nouvelle extension étant indispensable à l'objet des recherches que j'ai depuis longtemps entreprises sur les propriétés des courbes et des surfaces d'un ordre quelconque, j'ai jugé à propos d'en faire le sujet d'un Mémoire spécial, qui, avec celui sur les centres de moyennes harmoniques^ pût servir d'introduction à mes recherches subséquentes.

Le but principal que je me propose dans ce Mémoire est d'examiner quelle espèce de modification éprouvent une figure donnée et les relations qui lui appartiennent lorsque l'on passe à celle qui en est la polaire réciproque, et vice versa, de façon à réduire en quelque sorte à un pur mécanisme, à une simple substitution de mots et de lettres mis à la place les uns des autres, la traduction de toutes les affections, de toutes les propriélés tant soit peu générales qui concernent une figure donnée et sa réciproque; enfin, de montrer comment on peut, au simple

(*) Fojrez le numéro de mars des Annales de Mathématiques y t. VIU.

(**) C'est cette analyse qui a paru tardivement dans les Annales de Mat/iématiques, numéro de mars 1827^ p. 265.

ligne droite dans Vun ou l'autre système. Je montre pareillement encore comment on peut passer directement des propriétés qui appartiennent à la courbe d'intersection de deux surfaces du second degré quelconques, et qui ont été démontrées n" 611 et suiv. de l'ouvrage cité, à celles qui concernent la surface développable circonscrite à deux surfaces du second degré également quelconques. La courbe de contact de cette développable n'est autre chose» comme on sait, que celle qui sert de limite à l'ombre et à la pénombre de Tune des surfaces du second degré lorsqu'on suppose l'autre lumineuse; or, je démontre : i® que cette courbe est du quatrième degré ; a" que les nappes de la développable portent généralement quatre lignes de striction qui sont planes et du second degré ; 3° que les plans de ces quatre sections coniques forment par leurs rencontres mutuelles un tétraèdre dont chaque sommet est respectivement ^ et pour chacune des surfaces du second degré proposées^ le pôle de la face opposée ; 4° enfin que ces mêmes quatre sommets du tétraèdre sont aussi ceux des quatre cônes du second degré qui contiennent les branches d'intersection des deux surfaces que l'on considère.

Ces considérations conduisent d'ailleurs à une solution géométrique très-simple du problème intéressant et quelquefois traité à l'École Polytechnique, où il s'agit de construire la courbe de séparation d'ombre et de lumière pour le cas des surfaces du second degré.

Jusqu'à présent il n'a encore été question que des relations descriptives des figures; dans la troisième partie du Mémoire, j'examine les moyens de traduire, à l'aide de la théorie des polaires réciproques, les relations d'angles en d'autres relations pareilles. Il me serait impossible d'indiquer, même sommairement, l'esprit de la méthode que j'emploie : je me contenterai, comme précédemment, d'en citer quelques-unes des conséquences. Par exemple, je prouve de suite que les théorèmes des n*** i52, 481, 487 du Traité des Propriétés projectives sont les réciproques de ceux qui ont été énoncés n*** 482 et 488; je montre pareillement comment on peut traduire la construction des sections coniques au moyen d'angles constants donnée par Newton, et en général toutes celles de la Géométrie organique de Mac-Laurin, en d'autres absolument analogues quoique néanmoins bien différentes. Pour le cas de l'espace, je fais voir que les propriétés de la pyramide supplémenttaire sont des conséquences immédiates de la théorie des polaires réciproques; en appliquant les principes de cette même théorie à la proposition de Monge refative au lieu sphérique des sommets d'angles trièdres tri-rectangles circonscrits à une surface du second degré, on en conclut pareillement que, si un tel angle se meut autour d'un point quelconque de V espace pris pour sommet invariable , les plans qui renferment constamment trois des points d'intersection de ses arêtes avec une surface donnée du second degré demeurent perpétuellement circonscrits à une autre surface de ce degré ^ unique, de révolution, qui a pour foyer général le sommet invariable des angles, et qui se réduit à un point quand le sommet est pris sur la surface directrice : comme l'a démontré M. Frégier pour ce cas qui répond d'ail- . leurs à celui du théorème de Monge dans lequel la burface enveloppe des angles est un des paraboloïdes, la sphère décrite par le sommet de ces angles se réduisant à un plan. On peut faire subir une transformation analogue aux théorèmes de

33o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

)) aux sommets A, B, C; /? el /?' ses interseciions avec les tangentes issues de C )) q et </' ses intersections avec les tangentes issues de A; r et r\ etc., on aun » entre les divers segments formés sur la transversale, la nouvelle relation

ap . ap' . bq . bq' . cr.cr' = bp . bp' . cq . cq' . ar. ar\

» analogue à la première, quoique bien distincte dans le fond. »

Les principes posés dans le Mémoire permettent également de traduire la reh tion primitive en une autre relation entre les lignes trigonométriques des angle formés par les droites de la dérivée; enfin ils donnent des moyens pour traduii immédiatement celle même relation en d'autres qui appartiennent à des figure situées dans l'espace et dans lesquelles les angles dièdres remplacent les angU plans, etc. Le Mémoire est terminé par quelques applications de la théorie de polaires réciproques aux propriétés métriques des courbes à double courbure i des surfaces géométriques quelconques, ainsi que par Texposé de la méthod irès-simple à Taide de laquelle on peut transformer toute propriété qui se rapporl à celles que j*ai nommées M\eurs projectives en plusieurs autres irès-différenK de la première et non moins générales. La conclusion de ce travail est donc qu les principes qu'il contient mettent en état de doubler et de tripler même 1 nombre des propositions dont il s'agit, ainsi que celles qui concernent les angU des figures, ce qui comprend toutes celles de la théorie des transversales, de Géométrie de la règle, et une infinité d'autres plus générales encore.

Permettez-moi, Monsieur, de profiter de l'occasion de cette Notice pour vo\ adresser quelques réclamations relatives à des articles insérés récemment dans h Annales de Mathématiques, et dont il a été rendu compte dans divers numéros (3 Bulletin des Sciences mathématiques,

M. le docteur Plucker a donné, t. XVII, p. 37 et 69 des Annales, divers problème et théorèmes sur les contacts des sections coniques fort intéressants en eux-même mais dont, ce me semble, il aurait dû citer plus scrupuleusement les auteurs : pj exemple, le théorème énoncé au bas de la page 71 et la construction qui en dérii pour le cercle osculateur des sections coniques, sont, si je ne me trompe, bien h mêmes que le théorème du'n** 33G, p. 180 du Traité des Propriétés projectiles, < que la solution donnée au n° 405, p. 224 et 225 de cet ouvrage; le théorème (3 n" 404, dont elle a été déduite, est même plus général que celui de M. Plucke quoiqu'il soit encore un cas particulier de l'énoncé du n° 403 qui, en observai (voyez n° 184 et la fin des n"» 490 et 407 bis) que le système de deux droites pei être considéré comme une section conique, comprend aussi les problèmes et h théorèmes fondamentaux du Mémoire à deux colonnes, inséré à la page 37 du tonr cité des Annales» Que l'on compare également les autres théorèmes de ce Mémoii et les solutions de problèmes qu'il renferme sur les contacts des sections coniqu< avec ce qui en a été dit du n"297 au n° 326 du Traité des Propriétés projectives, < spécialement du n** 318 au n" 326; que l'on compare enfin les Jig, ^i, ^1 et ^ de cet ouvrage, qui sont relatives à des exemples particuliers, avec celles qui n

NOTE SUR QUELQUES PRINCIPES GÉNÉRAUX DE TRANSFORMATION DES RELATIONS MÉTRIQUES