zrD
P H P "' pb P ^ pd'
pourvu encore qu'on ait égard à la règle des signes posée art. 6. On voit de plus (12) comment on pourra construire, avec la règle seule et sans recourir aux centres des moyennes distances, le point ^ dont il s'agit, quand tous les autres a', 6', c', rf',..., seront donnés ainsi que le point/?' qui sert d'origine commune aux segments harmoniques; mais cette construction se faisant d'une manière successive et assez pénible, quand le nombre des points donnés est tant soit peu considérable, nous indiquerons plus tard des moyens généraux et simples pour y parvenir.
15. Mac-Laurin, qui a eu a considérer dans son Traité des Courbes gëomé^ triques, quelques-unes des propriétés du point q' défini par les relations métriques ci-dessus, et qui n'a point aperçu l'analogie qui régnait entre ce point
et le centre des moyennes distances, ni les moyens de déduire Tun de ces points de TautrOt s'y prenait d'une manière diflérente pour construire la valeur de pq* : il déterminait, à Taide du procédé de l'article 7, le point dont la distance ^p a pour réciproque la somme des réciproques àepa' etde />'&',
c'est-à-dire -7-; -1- -7^-^ puis le nouveau point dont la distance à/? a pour réciproque la somme des réciproques du point déjà obtenu et du point c\ c'est-à-dire -m -*- ^ -+- -7-7» puis, etc.; car, en nommant Q' le dernier point ainsi obtenu, on aura
p^''~pa''^yS''^'pl?'^ /ç''
et par conséquent /)Y = '^•/>'Q'« Cette méthode a, comme on voit, l'inconvénient d'exiger l'emploi de la règle et du compas réunis, au lieu que la précédente n'exige simplement que celui de la règle.
Mac-Laurin nomme pq' la moyenne harmonique des segments/?' a', pb\ pc\...; nous pourrons donc dire aussi, par analogie, que le point ^, projection du centre de moyennes distances des points a, 6, c,..., en nombre m, est lui-même le centre des moyennes harmoniques des points a', b\ c',..., de la projection, par rapport à p qui représente le point à l'infini de pc: or, cette définition s'accorde parfaitement avec celle de l'article 4, dont elle n'est guère que l'extension; et, comme ici le faisceau des projetantes sa\ sb% s(ff...9 conserve les mêmes propriétés à l'égard de sp\ sq\ quelle que soit la transversale /^V, on pourra dire encore que la projetant^ sq' est [axe des centres de moyennes harmoniques du faisceau dont il s'agit; et cela non d'une manière absolue, mais seulement par rapport à la projetante sp qui, à son tour, conservera le nom d'aa?e des origines harmoniques, et qui, venait à passer à l'infini avec les points 5, changera évidemment la projetant^ sq' en un simple axe des centres de moyennes distances.
16. Lesf retationfif qui définissent le centre q' {fig. 5) des moyennes harmoniques étant projectives [\h)f ou telles^ qu'elles subsistent dans toutes les projections centrales de la fifgure, on voit que les définitions et propriétés précédentes seront applicables directement à un faisceau quelconque de droites projetantes qui s'appuieraient sur des points donnés en ligne droite, sur leur centre de moyenne harmonique et sur l'origine relative à ce centre; c'est-à-dire que toute transversale déterminera, dans ce faisceau, un nouveau système de points qui auront entife eux la même corrélation que les premiers,
sauf le cas où la transversale sera parallèle à l'axe des origines, et pour lequel, l'origine des segments harmoniques passant à l'infini, le centre des moyennes harmoniques se changera évidemment en un centre de moyennes distances.
Enfin on voit que si, par l'origine des segments harmoniques de plusieurs points situés en ligne droite, on mène une droite ou un axe quelconque, et qu'on abaisse, de ces différents points et de leur centre de moyennes harmoniques, des ordonnées sur cet axe, qui soient parallèles entre elles et à un autre axe arbitraire, celle qui répond au centre de moyennes harmoniques sera encore la moyenne harmonique de toutes celles qui répondent aux points proposés; propriété qui est entièrement analogue k celle du centre des moyennes distances, si ce n'est que, pour ce dernier, l'origine étant entièrement arbitraire, il en est de même des axes de projection.
17. Au surplus, on peut partir de la définition générale du centre des moyennes harmoniques, pour établir directement ses diverses propriétés, sans recourir aux considérations précédentes, qui d'ailleurs nous paraissent mériter l'attention des géomètres. Or, cette nouvelle manière d'envisager la question va nous conduire à d'autres résultats non moins remarquables que les premiers.
Soient a, b, c, d^,,. {fig* 6), des points quelconques en nombre m rangés sur une même droite, et/? un point arbitraire de cette droite pris pour origine des segments; regardons, d'après la règle de l'article 6, comme positifs tous les segments qui sont à droite de/? et comme négatifs ceux qui sont dirigés dans le sens contraire. Gela posé, si l'on choisit, sur la droite dont il s'agit, un point q tel que
m I I I I pq pa pb pc pa
en attribuant à chaque terme le signe qu'il doit avoir d'après le sens du segment qu'il renferme, le point ^, ainsi déterminé, sera unique, et le centre des moyennes harmoniques des points a, 6, c, </,..., relativement à p. Il s'agit, en premier lieu, de prouver que ce point est projectif, c'est-à-dire tel, qu'en le mettant en projection sur une droite quelconque p'd' et à partir d'un point arbitraire 5 de l'espace, aussi bien que le système de tous les points que l'on considère surpcf, la relation ci-dessus aura toujours lieu entre ces différents points.
Pour y parvenir, nous mettrons cette relation sous la forme suivante, afin
d'en mieux étudier les propriétés,
I I I II II I Mais
pq P^^^ P9 P^^^ PÇ P^^^ Pi P^
I I pa — pq aq 11 bq
pq pa pa.pq ap.pq pq pb f>P'PQ
I I cq
pq pc cp.pq
donc, substituant et supprimant le facteur p^ commun a tous les termes, il viendra
ap op cp dp
équation dans laqu*elle les termes négatifs proviennent uniquement des points a, 6,..., qu'on a supposés à gauche de q. Mais, d'après la règle des signes admise ci-dessus pour la définition du point 9, chaque terme devra conserver le signe qu'il a actuellement, ou en changer, selon que le point a, 6, c,..., auquel il se rapporte, sera à droite ou à gauche du point/?; donc l'équation ci-dessus pourra être remplacée généralement par cette autre
ap bp cp dp
pourvu que, dans chaque position des points du système, on attribue le signe H- ou le signe — à un segment quelconque, selon qu'il est situé sur la droite ou sur la gauche de celle des origines /? ou ^ à laquelle il se rap-^ porte, ou, ce qui revient au même et ce qui est plus simple encore, pourvu qu'on attribue à chaque terme de la relation ci-dessus le signe + ou le signe —, selon que les deux segments qui y entrent sont de même sens ou de sens contraire, par rapporta leur extrémité commune {*).
D'après cela, on pourra énoncer ainsi d'une manière générale la relation dont il s'agit :
L' origine p et le centre q des moyennes harmoniques d*un nombre quelconque de points a, b, c, rf,..., rangés en ligne droite, sont tels que, si ton prend successivement le rapport des distances de chacun de ces points à q et à p, la somme de tous ces rapports sera nulle, en attribuant le signe -h ouïe signe — à un rapport quelconque, selon que le point correspondant est situé sur l'un
des prolongements de la distance pq ou entre ses extrémités.
{*) Fofez, sur la loi des ^Signes de position en général, le III* Cahier du tome H des ÀpjAications d^ Analyse et de Géométrie {1864).
18. Cet énoncé n*est évidemment que l'extension de celui qui se rapporte au cas particulier de l'article 1 d'où nous sommes partis, et dans lequel on ne considère que deux points a et 6; prouvons maintenant qu'il s'applique à toutes les projections de la figure faite, d'un point quelconque s de l'espace, sur une droite arbitraire/?'^' du plan $pd^ et par conséquent qu'il en est de même de la relation (17) d'où nous sommes partis.
En effet, d'après les articles 9 et suivants du tome P de ce Traité, on a, en nommant? la perpendiculaire abaissée de s sur pd^ et/>, 9, a, 6, c,..., les projetantes 5p, sq^ sa, sb, 5c,*..,
aq =r sin {asq)-^9 bq = sin (fog ) -^j cq = sîn [csq) -^^ • • •»
ap =. s\n(asp) -^> bp = sin (fc^p) -^^ cp =: sin {c$p)-^y • • • •
Donc, en substituant ces expressions dans la dernière relatioa ci dessus, et supprimant les facteurs communs à tous les termes, on aura
sino^g sîn bsq stn csq
sin asp sin bsp sin csp '
ce qui exprime qu'il y a entre les sinus des angles projetants la même relation qu'entre les segments qui leur correspondent respectivement. Or, de là on conclut aisément, et par réciproque, que cette relation ayant lieu pour le faisceau des droites projetantes, il faut nécessairement qu'elle subsiste entre les segments d'une transversale quelconque p^d' prise pour axe de projection des segments; donc enfin la relation examinée est de sa nature /^ny^etwe, ainsi qu'il s'agissait de le démontrer directement; c'est-à-dire que, dans le faisceau ci-dessus, les projetantes sp et sq sont des axes (15) d'origines et de moyennes harmoniques relativement à toutes les autres.
19. Remarquons en passant que, quoique la relation examinée en dernier lieu subsiste entre les sinus des angles projetants des différents seg^ menis qui y entrent, oa ne saurait pourtant en conclure que celle d'où nous sommes partis (17) jouisse de la même propriété; or, je dis que cette dernière relation aura encore lieu de la même manière, non plus entre les sinus des angles projetants des différents segments, mais entre les tangentes trigonométriques de ces angles, c'est-à-dire qu'on aura
VditïQpsq ianï^psa Vani^psb Vàugpsc
BES CENTRES DE MOYENNES BARMONIQUES. a3
En effet, la relation de départ étant projective d*aprës ce qui précède, devra subsister pour une transversale pd' perpendiculaire k la projetante sp du point />, mais les segments /^'^f', />' a', y6',/^'c',,.., de cette transversale sont évidemment alors proportionnels aux tangentes trigonométriques des angles projetants qui leur correspondent respectivement; donc la relation ci-dessus a lieu entre ces tangentes, comme il s'agissait de le démontrer et comme il serait facile de l'établir de plusieurs autres manières.
20. La transformation que nous avons fait subir (art. 17) à la relation qui définit le centre des moyennes harmoniques n'est pas la seule qui puisse lui convenir, et il en est d'autres qui ne sont pas moins dignes de remarque et qui sont tout aussi générales.
En effet, soit A un point quelconque de la direction de pdy pris pour nouvelle origine des segments servant k remplacer l'origine /?, on aura identiquement
pa-^pq=^ ka-^ kq^ pb — pq^=i kb — kq^ pc-^pq :=kc — Ag»
pd — /w = A</ — Ac,...,
pourvu qu'on regarde comme positifs les segments des points placés à la droite de A, et comme négatifs ceux des points placés à la gauche de ce point; donc on aura aussi
j t pg — pq A« — kg ka ^ <? L
pq pa^ P^'Py pa,pq P^'PÇ PÇ P^
f f A^ kq I I 1 kc kq I
pq pb "" pb*pq pq pb pq pc pc.pq pq P<f ' '
d'où, en substituant dans la première des transformées de Tarticle i7, et multipliant tout par pq^
ka kb kc kd . / I ï « \ m.kq 1 rH -h— 74-... = Ag 1 rH h... sa: *>
pa pb pc pd ^ \pa pb pc J pq
relation qui est assujettie k la même règle de signes que celie de l'endroit cité, et qui, de plus, la renferme comme cas particulier, puisqu'elle redonne celle-ci quand on y suppose A^ = o ou qu'on suppose le point A en q. En admettant même que l'origine arbitraire A soit à l'infini, les segments infinis, devant être censés égaux, disparaîtront comme facteurs communs a tous les termes, et l'on retombera sur la relation
pa pb pc pd pq
d'où nous sommes partis en premier lieu.
Mais la relation générale obtenue en dernier lieu conduit à beaucoup d'autres relations semblables, selon que l'on suppose le point A placé en a ou b ou c,...; par exemple, si Aa = o, on aura
m.aq ab ac ad pq po pc pd
relation dans laquelle il faudra avoir égard à la règle de signes posée ci-devant, en regardant aeip comme les origines des divers segments. Elle deviendrait de même, pour A6 = o, Ac = o, etc.,
m.bq ba bc bd pq pa pc pd
m.cq ca cb cd pq pa pb pd * ' * *
d'où l'on en déduirait une infinité d'autres.
Ces diverses relations, y compris celle d'où elles dérivent, satisfont toutes aux conditions indiquées art. 18 ; donc, non-seulement elles sont projectives, mais elles ont encore lieu d'une manière semblable entre les sinus des angles projetants qui répondent aux différents segments.
21. Ce qui précède suffit pour faire apercevoir que le point q, ou ie centre des moyennes harmoniques de points rangés en ligne droite, offre, dans ses propriétés, l'analogie la plus grande avec ce que l'on nomme le centre des moyennes distances de points pareils; pour la mettre dans tout son jour, il ne s'agit évidemment (14) que d'examiner ce qui arrive dans les relations cidessus, pour le cas où l'on suppose le point ^, qui sert d'origine aux segments harmoniques, situé à l'infini sur ad. Mais alors tous les segments qui se comptent de ce point sont infinis et doivent être censés égaux comme ne différant entre eux que d'une quantité finie; donc la relation générale trouvée ci-dessus,
m,kq ha kb kc kd pq pa pb pc pd
se réduira simplement à la suivante :
m.Aç = Aa-h A6-+-Ac-f- Arf-h. . .,
dans laquelle les différents termes devront, d'après ce qui précède, être affectés du signe + ou du signe —, selon que le point auquel ils se rapportent sera à droite ou à gauche de l'origine A des segment^, et qui aura lieu, quelle que soit la position de cette origine relativement aux points don-
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. a5
nés a, b^ c,...; or, on reconnaît ici la propriété caractéristique de ce qu'on nomitie le centre des moyennes distances.
De plus» puisque la relation générale ci-dessus est projectile de sa nature» on voit que l'un de ces systèmes pourra toujours être envisagé comme la projection centrale ou perspective de l'autre» ainsi que cela a déjà été éta* bli d'une manière différente art. 14 et 16 de cette Section. On peut d'ailleurs, comme on va le voir» partir directement de la définition particulière du centre des moyennes distances pour en déduire celle» beaucoup plus générale» qui convient au centre des moyennes harmoniques.
En effet» si nous nommons p le point à l'infini de kd (fig. 6)» et q le centre des moyennes distances des points a» 6» c» </»...» nous pourrons, d'après le raisonnement déjà établi ci-dessus» mettre la relation particulière qui définit ce centre ç» sous la formule générale
m,Kq ka kb kc kd
pq pa pb pc pa
or» cette relation» dans laquelle les segments qui se mesurent du point /^ sont infinis et égaux» satisfait aux conditions indiquées art. 18; donc elle aura lieu à la fois pour toutes les perspectives du système proposé sur des droites arbitraires; et par conséquent» dans ces perspectives» le centre des moyennes distances deviendra le centre des moyennes harmoniques.
22. Supposons maintenant que» dans l'équation générale relative au centre des moyennes harmoniques 9» les segments relatifs k ce centre deviennent infinis» ou» si l'on veut» supposons le point q à l'infini» ce qu'on peut toujours obtenir en mettant la figure en projection sur une droite quelconque parallèle à la projetante $q de ce point; le rapport des segments infinis  jr» pq devenant l'unité» on aura pour définir alors le point correspondant pf la nouvelle relation
ka kb kc kd , pa pb pc pa
Mais l'origine  étant entièrement arbitraire» on peut également la supposer à l'infini» confondue avec 9» ce qui réduit la relation ci-dessus à la
suivante»
1 — tH 1 — :>-+-. ••==0,
pa pb pc pa
en supprimant les facteurs ou segments infinis et égaux; or» sous cette forme» elle est une conséquence très-simple de celle d'où nous sommes partis (17) pour la définition du centre q des moyennes harmoniques.
On voit» d'après cela» que les points /? et q ne sont pas réciproques» et ne IL 4
jouissentpas entre eux des mêmes propriétés à Tégard des points a, b, c, rf,..., comme semblerait l'indiquer le cas particulier où ces derniers points sont au nombre de deux seulement (6); aussi arrive-t41 que, bien qu'il ne corresponde qu'un seul point q ou centre des moyennes harmoniques à un même point p pris pour origine (14), et aux m points donnés a, &, c, ^•.•., cependant il existe, en général, m — i points p répondant à un même point f , choisi à volonté, et aux m points donnés a, 6, c,.... C'est ce qu'il est aisé de démontrer avec ou sans calcul ; mais, comme cette démonstration exige des développements qui ne seraient pas ici à leur place, nous nous abstiendrons, pour le moment, de la donner {*).
23. Avant de terminer ce sujet, nous remarquerons que les diverses transformations que nous avons fait subir à la relation du n® 17, et qui expriment autant de propriétés du centre des moyennes harmoniques, sont uniquement basées sur ce que le nombre m est précisément égal à celui qui marque le nombre des points donnés a, 6, c, . • . . Pour toute autre valeur de m, ces transformations seraient évidemment impossibles, ou du moins on serait conduit à d'autres résultats, et la relation cesserait d'être projective sous sa forme actuelle. Dans ces mêmes circonstances, pour construire le point q défini par cette relation, il faudra nécessairement faire usage de mesures graduées ou du compas, tandis que la construction du centre des moyennes harmoniques n'exige, comme on l'a fait voir (14), que l'usage de la règle seule.
Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construire le point Q {^g. 6) tel qu'on ait, eu égard à la règle des signes établie ci-dessus,
pQ pa pb pc pd '"'
n étant un nombre quelconque. On pourra d'abord construire avec la règle le centre des moyennes harmoniques q des points donnés a^ b^ c^ d^...^ par rapport à l'origine />; ce qui donnera, m étant le nombre de ces points,
pq pa pb pc pd "'* d'où
pQ pq *^ m'^^
expression qu'on ne pourra construire qu'à l'aide de mesures graduées ou du compas.
(*) On la trouvera dans les dernières Sections de ce -volume, dont la rédaction date d'une époque de beaucoup postérieure à cdie (iSi6) de la simple ébauche que renlérme le II"* cahier du tome H des Apj^ications d* Analyse et de Géométrie (i864).
Il est évident qu'on pourrait aussi opérer directement, comme il a été indiqué art. 15.
24. En général, une équation dont les deux membres seraient composés de la somme d'une suite de réciproques assujetties a la règle des signes posée ci-dessus, et d^ailleurs multipliées par des coefficients numériques quelconques, sera ou non projective dans sa forme actuelle, et appartiendra ou non à la Géométrie de la règle, toutes les fois que ta somme des coefficients numériques relatifs à chaque terme, sera, abstraction faite des signes de position, ou ne sera pas la même de part et d'autre.
Pour fixer nos idées, supposons d'abord que l'on ait entre les points /i, q, a, b, c,... (Jig. 6), la relation
pq pa pb pc
dans laquelle m, m\ m",..., sont des coeificients numériques quelconques, positifs ou négatifs, mais indépendants de la position des points a^b^ c^...,q, -à l'égard de/^; cette équation étant d'ailleurs assujettie à la règle des signes posée art. 6, elle se changera évidemment en ces deux autres, par des trans* formations analogues à celles des n^ 17 et 20 :
m,aq m'bq m^cq m^dq ap bp cp dp
m.ka m'.kb mf.kc m'^,kd . . „ .kq
-f- 1 — 4- ' H-* , — -+-... = (wi-Hiïr+/ii H-...1 — *■,
pa pb pc pd ^ pq
 étant une nouvelle origine quelconque; et réciproquement, de celle-ci on pourra conclure la relation première. Mais ces relations sont projectives (18), donc il en sera de même de la première; je dis en outre qu'elles appartiennent à la Géométrie linéaire ou de la régie.
En effet, au moyen de la règle, on trouvera (12) le point œ de ab tel, qu'en supposant a& divisée en /n + m' parties harmoniques par rapport h p, ax eu contienne /n^, et bxm; or on aura, d'après l'article 9,
px pa pb
Pareillement, on trouvera avec la règle sur ex le pointa;' qui répond à la ^me partie harmonique de cette distance supposée en contenir m h- m' -+- m'\ et l'on aura
7 = ;::: + ;:iî + -;;7 '
px^ px pc* pa pb pc
et ainsi de suite. Donc on arrivera à un dernier point de division X tel que
m 4- /n' H- m" H- . . . m m' m" plL pa pu pc
et qui ne sera par conséquent que le point q lui-même, lequel se trouvera ainsi construit linéairement ou avec la rëgle seule.
25. Supposons maintenant {fig. 7) qu'on ait la relation harmonique quelconque
pq pr ps pa pb pc
relativement à des points a, b, Cp...,qf r, s, situés en ligne droite, et à Forigine/7 des segments harmoniques.
D'après ce qui précède, on pourra d'abord remplacer tous les points a, 6, Ct..., par un point X, constructible à l'aide de la règle, et tel qu'oa ait
pX pa pb pc
on en trouvera, de la même manière, un autre Y tel qu'on ait
pY pq p^ p^
donc, d'après la relation proposée, il viendra
Si donc n -h n' 4- n" -h . . . = m -4- m' H- m" -h . . . , le point X devra se confondre avec le point Y, et par conséquent la relation d'où l'on est parti appartiendra uniquement à la Géométrie de la règle, et sera d'ailleurs projective d'après ce qui précède, tandis qu'elle exigera pour être construite la règle et le compas dans toute autre supposition.
^6. Ces diverses considérations nous permettent de généraliser la définition du centre des moyennes harmoniques, à peu près comme l'ont déjà fait MM. Garnot et Simon Lhuilier de Genève, k l'égard du centre des moyennes distances : en posant, par exemple, pour la définition de ce point, l'équation
pq pa pb pc
pelé le centre des moyennes harmoniqi
r,..., relativement ^p^ mais pour des coefficients numériques quelconques positifs m» m'f m'^...• Quant au cas où quelques-uns de ces coefficients seraient négatifs, indépendamment des signes de position des segments auxquels ils se rapportent, on pourrait nommer le point correspondant g Vex^centre des moyennes harmoniques^ comme Ta fait, d'une manière analogue, M. Lhuilier pour le cas des simples distances. En effet, la relation ci-dessus conduisant a cette autre, d'après ce qui a été observé plus haut (24),
, - ^kq mka m'kb m^kc
pq pO' po pc
on retombera directement sur les définitions du centre et de Veco-^entre des moyennes distances, par M. Lhuilier, en supposant (21) que le point /? passe à Finfini.
27. Je crois inutile de pousser plus loin ces rapprochements, entièrement analogues à ceux qui ont été établis dans ce qui précède, pour le cas particulier où les coefficients m^ m^ m'\..., sont simplement égaux ^ l'unité; et je ferai seulement remarquer que les diverses définitions et propositions établies jusqu'à présent, pour ce cas particulier, doivent s'étendre, de la même manière, au cas général : ainsi, par exemple, le point ^ sera toujours Vorigine des segments harmoniques, et si, d'un point quelconque s de l'es* pace, on mène aux différents points que l'on considère des projetantes sp, sq, sa, sb, se,..., celles qui appartiennent à /i et à q devront continuer à s'appeler (15) les omcs des origines et des moyennes harmoniques de toutes les autres, etc.
Dans le paragraphe suivant, je montrerai comment on peut étendre toute cette doctrine du centre des moyennes harmoniques au cas où l'on consi^ dère des points quelconques situés dans un plan ou dans l'espace.
Du centre des moyennes harmordques d*un ^sterne de points quelconques situés ou non dans un même plan.
28. Nous n'avons encore envisagé, jusqu'à présent, que les propriétés relatives au centre des moyennes harmoniques de points rangés en ligne droite; mais ce que nous avons dit pour ce cas particulier va nous conduire,
3o THÉORIE GÉNÉRALE
sans peine, à ce qui coneernele système d'un nombre quelconque 4e poiuts situés à volonté sur un plan ou dans l'espace ; car tout consiste simplement à partir de la définition ordinaire du centre des moyennes distances pour en déduire» à l'aide de la perspective ou projection centrale» celle qui convient au centre des moyennes harmoniques en général, et même les diverses propriétés qui peuvent lui appartenir. 11 est entendu d'ailleurs que, dans tout ce qui va suivre, le centre des moyennes distances et celui des moyennes harmoniques seront pris par rapport à des coefficients numériques quelconques, répondant respectivement aux points proposés suivant les définitions admises n^ 26.
Considérons d'abord le cas où le système des points proposés A, B, C, D,... [fig. 8), appartient k un môme plan, et soit Q le centre des moyennes distances de ces points; Tune des propriétés essentielles du point Q, c'e&t que, si Ton fait la projection du système sur une droite arbitraire hd et par des parallèles Aa, B6, Ce,..., à un axe quelconque, la projetante Q^ de Q sera \axt des moyennes distances (15 et 27) de celles des autres points du système, de sorte que, pour la transversale arbitraire bd, le point Q qui appartient à cet axe i^era le centre des moyennes distances des points a, 6, c, £2,..., relatifs à leurs diverses projetantes, ou, en d'autres termes, il sera (21), par rapport au point à l'infini de bd, le centre des moyennes harmoniques de ces mêmes points.
Cela posé, voyonjs ce qui se passe dans la perspective de la figure sur un nouveau plan arbitraire : tout système de projetantes parallèles A a, B6, Ce,..., sera devenu [fig. 9) un faisceau de droites convergeant en un même point S, et tous leurs points de concours semblables seront rangés sur une même droite PS, projection de celle qui contient les divers points k l'in- * fini du premier plan (t. 1, Sect. I, n*' 106); le point/) où la droite PS ira rencontrer la transversale arbitraire bd qui lui correspond, représentera donc aussi le point k l'infini de bd dans la figure primitive 8, de sorte que le point q sera devenu (26) dans la^g. 9, le centre des moyennes harmoniques des points a, 6, c,..., par rapport k/?. Mais la droite bd est arbitraire ; donc, pour tout faisceau de projetantes semblable k celui qui précède, la projetante SQ^r de Q sera (27) Taxe des moyennes harmoniques des projetantes SA, SB, SC,..., des points proposés, par rapport k la droite invariable SP, qui, ici, sert d'axe commun aux origines de segments.
29. D'après cela, on peut dire que le point Q [fig. 9) est le centre des moyennes harmoniques Ae^ points proposés A, B, C,..., et cela non d'une manière absolue, mais seulement par rapport k la droite particulière PS, qu'on
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. 3i
peat appeler Vaxe des origines harmoniques. Or» il s'agit de prouver maintenant qu'un système quelconque de points A, B, C,... {fig. 9), étant donné sur un plan, aussi bien qu'une droite PS prise pour axe des origines harmoniques, on peut toujours déterminer un point Q, et seulement un point Q qui jouisse par rapport a cette droite des propriétés qui viennent d'être examinées, ou qui soit le centre des moyennes harmoniques des points proposés A, B, G,..., relativement à cette droite PS.
Qu'on mette, en effet, la figure en perspective sur un plan quelconque parallèle à la droite PS, c'est-à-dire tel, que cette droite passe à l'infini dans la nouvelle figure; il est clair, d'après ce qui précède, que s'il existe pour la figure primitive un ou plusieurs points qui soient des centres de moyennes harmoniques par rapport aux proposés et à PS, tous ces centres devront se changer à la fois en des centres de moyennes distances pour la nouvelle figure; mais un système de points quelconques ne saurait avoir plus d'un centre de moyennes distances et possède cependant toujours un tel centre; donc pareillement le système des points proposés a toujours un centre de moyennes harmoniques par rapport à une droite donnée à volonté sur son plan, et ne saurait avoir qu'un seul point pareil pour chaque position attribuée & cette droite, ce qui entraine la proposition suivante :
Une droite^ prise pour aoce des origines y étant donnée à volonté dans le plan d'un système de points quelconques^ il existe un autre point et seulement un point quon peut nommer le centre des moyennes harmoniques des premiers par rapport à la droite proposée ^ et dont la propriété est telle ^ que, si d'un point quelconque de cette droite on mène des projetantes aux points donnés ^ raxe (27) ^ moyennes harmoniques de toutes ces projetantes ^ par rapport à la droite donnée, ira toujours passer par le point fixe ou centre des moyennes harmoniques dont il s* agit.
30. Les propriétés ci-dessus du centre des moyennes harmoniques de points quelconques situés sur un plan se rapportent évidemment (24) à celles que nous avons nommées projectiles; donc, si d'un point quelconque de l'espace on fait la projection ou perspective de la figure sur un nouveau pian quelconque, le centre des moyennes harmoniques des points proposés ne cessera pas d'être un centre de moyennes harmoniques en projection, par rapport à la droite qui représente l'axe des origines harmoniques du premier système; on pourra donc dire aussi que, dans Tespace la projetante de ce point est Vaxe des moyennes hcumoniques des projetantes qui appartiennent aux points proposés, et cela non d'une manière absolue, mais relativement au plan projetant de la droite d'où se comptent les segments
harmoniques^ plan qu'on peut aiissi nommer pour cette raison plan des origines harmoniques.
Ces définitions sont évidemment des extensions de celles de Tarticle 27, relatives aux faisceaux de droites convergentes tracées dans un même plan, et elles donnent lieu à Ténoncé qui suit :
Un système de points quelconques étant situé dans un même plan, et un plan quelconque étant donné à volonté dans respace, si, (Tun point choisi arbitrairement dans ce dernier plan, on mène des droites ou projetantes aux différents points du premier, puis qu'on détermine, par rapport au second plan considéré comme plan des origines, l'axe des moyennes harmoniques de ces droites, tous les axes semblables iront passer par un même point, qui sera (29 ) fe centre des
moyennes harmoniques des proposés, relativement à la droite d'intersection de son plan et du plan des origine,
31. Maintenant il ne nous sera pas difficile d*étendre ces considérations au cas où les points proposés Â, B, C, D,... {fig. 9), au lieu d'être sur un même plan, sont situés d'une manière quelconque dans l'espace.
Remarquons d'abord qu'un système pareil a toujours un centre de moyennes distances et n'en a qu'un seul dont la propriété est que: c Si l'on » projette, par des parallèles quelconques, tous les points proposés sur un
> plan arbitraire, la projection de ce centre sera encore le centre des
> moyennes distances de la projection des autres points du système ; c'est-à-
> dire que la projetante qui lui est relative, sera l'axe des moyennes dis^
> tances de celles des autres points de la figure. >
Mais, d'après les principes que nous avons établis dans le tome P de ce Traité [Supplément, n^ 5, 6 et suivants), la figure qu'on vient de considérer peut toujpurs être censée la perspective^relief d'une autre, dans laquelle tous les points à l'infini de l'espace, relatifs k la première, sont remplacés par ceux d'un plan unique; de sorte que les différents faisceaux de projetantes parallèles de cette figure sont devenus des faisceaux de droites convergeant en des points de ce plan. De plus, dans la nouvelle figure, les centres et axes de moyennes distances sont devenus (30) des centres et axes de moyennes harmoniques par rapport au plan dont il s'agit ou aux droites qui le concernent; et, d'un autre côté, quelle que soit la situa-* tion d'un plan à l'égard d'un système de points quelconques donnés dans l'espace, on peut toujours, d'après les principes cités, considérer ce système comme la perspective en relief d'un autre pour lequel le plan dont il s'agit est passé à l'infini; donc enfin:
Un système de points quelconques et un plan étant donnés dans l'espace^ il existe toujours un autre point et un seul point, qu'on peut nommer centre des moyenDes harmoniques des proposés par rapport au plan que Von considère en particulier, et dont la propriété est telle, que, si on le projette ainsi que tous les proposés sur un nouveau plan arbitraire et à partir d* un point quelconque du premier pris pour centre de projection, il demeure dans cette projection un centre de moyennes harmoniques relatii^ement à la droite d'intersection des deux plans; c est-à-dire que la projetante qui le renferme est (30) Va^e des moyennes har^ moniques de toutes les autres, relativement au plan qui contient tous les centres de projection, et qui est ici encore le plan des origines harmoniques.
32. S'il était permis de se servir du compas ou du tracé des parallèles, ce qui précède montre assez comment on devrait opérer pour obtenir le centre des moyennes harmoniques d'un système de points quelconques situés dans un plan ou en général dans l'espace; car, en mettant le système de ces points en perspective de façon que la droite ou le plan des origines harmoniques, qu'on s'est donné arbitrairement, passe à l'infini, tout reviendrait à déterminer le centre des moyennes distances des points de la nouvelle figure et à le projeter sur la première.
Mais si l'on veut simplement opérer avec la règle, il faudra s'y prendre d'une autre manière.
Par exemple, si les points proposés A, B, C, D,.,. ifig*^) sont dans un même plan, ainsi que la droite PS qui sert d'origine aux segments harmoniques, il faudra, de deux points différents S, S' de cette droite, faire la perspective ou projection centrale des proposés sur deux droites arbitraires telles (\\iBpd par exemple; cherchant ensuite, par les procédés du n^ 24, et pour chaque droite pd, le centre des moyennes harmoniques q des points a, b, c, d,.,. de la projection, et cela par rapport au point /? qui appartient à l'axe PS des origines harmoniques, les projetantes ^S des centres partiels ainsi obtenus iront (29) se couper au centre unique Q des moyennes harmoniques que l'on cherche.
Si les points proposés A, B, G,..., étaient situés d'une manière quelconque dans l'espace, il suffirait évidemment de remplacer, dans les opérations cidessus, l'axe PS des origines harmoniques et les transversales arbitraires /7é/ par des plans.
33. Mais on peut aussi opérer directement sur les points proposés, sans recourir à la projection, ainsi que cela se pratique lorsqu'il s'agit de trouver
le centre des moyeones distances; et cette méthode aura en même temps l'avantage d'être plus expéditive que la précédente.
Pour cela, il suffit d'observer, d'après ce qui précède, que l'un de ces systèmes peut toujours être envisagé comme la perspective de l'autre, et qu'il n'y a de différence entre eux, qu'en ce que, pour le cas des moyennes dis-* tances, le point, la droite, le plan qui servent d'origine aux segments harmoniques sont situés entièrement à l'infini, de sorte que les systèmes de lignes qui y convergent sont des systèmes de parallèles» tandis que les divisions harmoniques sont remplacées par les divisions en parties égales, et vice versa pour l'autre système de points.
Soient, par exemple, A, B, C [PL ILfig^ lo)» trois points quelconques dont il faille trouver le centre des moyennes harmoniques Q par rapport à la droite PF; on se rappellera que, dans le cas où la droite PP' est a l'infini, et oii le point Q devient [fig. 1 1 ) le centre des moyennes distances de Â, B, C, on n'a qu'à prendre les points milieux 9, q\ q'* des côtés du triangle ABC, et h joindre par une droite chacun de ces points au sommet opposé du triangle ; car ces droites donneront par leur croisement le point Q demandé. Opérant donc de la même manière sur le triangle proposé ABC [fig. 10), en prenant (2 et 7) pour les points 9, 9', q" les centres de moyennes harmoniques des couples de sommets correspondants, et cela en choisissant pour origines respectives des segments harmoniques les points P, P\ P'', où les côtés du triangle ABC vont rencontrer la droite PP\ le point Q ainsi construit sera le centre des moyennes harmoniques des sommets A» B, C par rapport à cette droite.
34. Pour le cas de quatre points A, B, C, 1) [jig. 12), dont on veut avoir le centre Q des moyennes harmoniques par rapport à la droite PP, on prendra ces points pour les sommets d'un quadrilatère ABCD, dont on pro«longera les côtés jusqu'à la droite PT"; on déterminera ensuite les centres des moyennes harmoniques 9, q\ xfy q'" des paires de sommets appartenant à chaque côté, et cela relativement au point de rencontre de ce côté et de la droite FP"; joignant ensuite ceux de ces centres qui se trouvent sur les côtés opposés du quadrilatère, on aura les droites qq*\ q'q'' dont l'intersection Q sera le point demandé; car c'est ainsi qu'on opérerait si la droite P'F passant à l'infini, il s'agissait de déterminer le centre Q des moyennes dis^ tances des points A, B, C, D.
On pourrait d'ailleurs remplacer le quadrilatère ABCD par tout autre qui aurait les mêmes sommets ; on pourrait aussi chercher le centre des moyennes
harmoniques de trois quelconques des points proposés, et le joindre au quatrième par une droite qui devrait renfermer le point cherché, etc. ; dans tous les cas on obtiendra un point unique Q, comme cela a lieu lorsqu'on suppose Taxe des origines FF' à l'infini.
35. Si l'on avait cinq points à considérer, on rechercherait d'abord le centre des moyennes harmoniques de quatre quelconques de ces points, et la droite qui le joindrait au cinquième renfermerait le centre des moyennes harmoniques du système total des points donnés; une nouvelle opération analogue donnerait donc ce centre lui-même. En général, on pourra prendre le centre des moyennes harmoniques d'un certain nombre de points, puis le centre pareil des points restants; la droite qui renfermera les deux centres ainsi trouvés contiendra aussi celui du système total des points donnés. Mais, au Heu de rechercher une nouvelle droite qui contienne ce dernier centre, on pourra se contenter de déterminer, sur la première (9 et 12), le centre des moyennes harmoniques des deux centres partiels déjà trouvés, relative*ment aux nombres qui marquent de combien de points ces centres respectifs proviennent, etc.
On voit comment il faudrait s'y prendre pour un nombre quelconque de points qui seraient supposés dans l'espace ; il suffirait, dans les opérations ci-*âessns, de remplacer la transversale FF' par un plan, ainsi qu'il a déjà été expliqué (32).
36. Ce qui précède est simplement relatif au cas où les coefficients numériques, par rapport auxquels on prend les centres de moyennes harmoniques, sont égaux à l'unité ou égaux entre eux; mais il est évident, d'après les articles 26, 27, etc., que tout ce que nous avons pu dire, jusqu'à présent, de ce cas particulier, est immédiatement applicable à celui où les coefficients seraient des nombres quelconques répondant respectivement aux points donnés. Ainsi, par exemple, si l'on a trois points Â,B, C(y?^fo), dont m, m', rri' sont les coefficients numériques respectifs, et qu'il s'agisse d'en trouver le centre de moyennes harmoniques Q, par rapport à ces coefficients et à la droite PF; on prendra d'abord (9 et 12) le centre des moyennes harmoniques q des points A et B, par rapport aux coefficients m et m' qui leur correspondent, et au point P de la droite des origines PF; puis on prendra pareillement le centre des moyennes harmoniques q* des points B et C, par rapport aux coefficients numériques wl et ni' et au point P' de PF; les droites qÇ, et (^ k iront encore se croiser au point Q demandé, et^l en serait de même de la droite ^"B, qui appartient au centre de
moyennes harmoniques q[' de A et de C, par rapport aux coefficients numériques m et ni' de ces points.
En effet, si l'on met la figure en perspective de façon que la droite PP' passe à l'infini , le point Q deviendra évidemment le centre des moyennes distances des points A, B, C par i^pport aux coefficients m^ m\ m".
D'après cet exemple et d'après ce qui a été dit pour le cas particulier où les coefficients numériques sont égaux à l'unité, on voit ce qu'il y aurait à faire pour celui où l'on aurait un nombre quelconque de points auxquels correspondraient respectivement des coefficients numériques donnés, s'il s'agissait de trouver, pour ces coefficients, le centre des moyennes harmoniques des points dont il s'agit.
37. II n'est pas inutile d'observer que le cas particulier où les coefficients numériques sont égaux entre eux, ou égaux à l'unité, donne lieu à des simplifications notables dans la construction générale ci-dessus du centre des moyennes harmoniques. Car, par exemple, s'il s'agit des sommets d'un triangle ABC {fig. lo), tout consistera alors, pour avoir les trois droites c{^, kq' et B^'' qui contiennent leur centre Q des moyennes harmoniques, à former un nouveau triangle A'B'C circonscrit au premier, dont les côtés aillent concourir respectivement aux points P, P' et P'', où les côtés qui leur sont opposés dans le premier vont rencontrer l'axe ou le plan des origines harmoniques PP'. En effet, en se reportant k la projection [fig^ ii), où l'on suppose PF à l'infini, il sera facile de voir que les droites AA', BB', CC qui joignent les sommets opposés des triangles seront précisément celles qui se croisent au point Q demandé.
On peut d'ailleurs remarquer que le triangle inscrit qqfq"$ qui a ses sommets aux centres de moyennes harmoniques ^, 9', q*' des côtés du proposé ABC, jouit, à son égard, des mêmes propriétés que le triangle circonscrit A'B'C; de sorte que, si l'on connaissait seulement l'un quelconque q de ses sommets, on obtiendrait les deux autres par le simple tracé des droites P'y"^, V'q'q.
38. Plus généralement, si l'on a un nombre quelconque de points A, B, C, D [fig. la) situés ou non dans un même plan, et que W" soit l'axe ou le plan des origines harmoniques, il suffira de connaître le centre q des moyennes harmoniques de deux quelconques A, B de ces points, pour en déduire sur-le-champ ceux qui appartiennent à tous les points proposés en les prenant deux à deux.
Supposons, par exemple, que les points A, B, C, D, . • . , soient pris pour
les sommets d'un polygone ABCD ...» il sera trës-facile d'obtenir sur chaque côté le centre des moyennes harmoniques des sommets adjacents; car» d'après ce qui précède» pour avoir le centre q' des sommets B et C, ayant déjà le centre ^ de A et B, on n'aura qu'à tracer la droite qq' qui va rencontrer l'axe des origines harmoniques PT'' au même point que la diagonale AC du polygone appartenant aux trois sommets consécutifs A, B, C que l'on considère.
Pareillement» pour obtenir le centre <(' qui appartient au côté suivant CD» on n'aura qu'à tracer la droite q[q[' qui va rencontrer l'axe des origines au point où le rencontre la diagonale BD» déterminée par les sommets extrêmes des côtés BC et CD que l'on considère et auxquels appartiennent les points q' et (^'. En continuant donc ainsi jusqu'au dernier côté du polygone ABCD. . .» on formera un nouveau polygone qq'q"q'"* • • inscrit au premier, dont les côtés rencontreront respectivement l'axe des origines P'P" aux points où le coupent les diagonales du premier polygone qui joignent ses sommets alternatifs» et dont les sommets seront précisément les centres de moyennes harmoniques qu'on cherche sur les côtés du polygone ABCD. ...
Il est clair qu'ayant une fois les centres de moyennes harmoniques des différents côtés du polygone ABCD. . .» on aura sans peine celui qui appartient à une diagonale ou à deux sommets quelconques» car cette diagonale est elle-même le dernier côté de l'un ou de l'autre des polygones dans lesquels elle divise le proposé» polygones dont on connaît déjà les centres de moyennes harmoniques des différents côtés à l'exception de celui du dernier» qu'on pourra obtenir ainsi par le tracé des simples lignes droites.
39. Toutes ces constructions peuvent d'ailleurs s'établir directement»* en supposant qu'on mette la figure en perspective de façon que la droite ou le plan PT" des origines harmoniques passe à l'infini; et l'on voit en même temps quelle espèce de simplifications elles apportent dans la détermination ci-dessus ( art. 35) du centre de moyennes harmoniques d'un nombre quelconque de points situés à volonté sur un plan ou dans l'espace; or ces remarques ne sont pas simplement curieuses» comme on va s'en convaincre par ce qui suit.
En effet» ce qui précède fournit un moyen très-simple et très-expéditif pour construire» sur une droite /?rf [fig- 9)f '^ centre 5^ des moyennes harmoniques d'un nombre quelconque de points a» 6» c»..., par rapport à un dernier point p pris pour origine de segments harmoniques; car» ayant mené d'un point quelconque S» situé au dehors de la droite j9t/, les proje-
tantes Sa, Sb, Se, Sd,...^ puis, ayant pris à volonté de nouveaux points A» B, C, D, .« ., sur chacune d'elles et répondant respectivement à ceux dont on cherche le centre des moyennes harmoniques, tout consistera à construire, comme il vient d'être expliqué dans ce qui précède» le centre pareil Q des points A, B, G, D,. . ., par rapport à PS pris pour axe des origines, et a projeter ce centre, de S sur pd^ en 9, qui sera (28 et 29) le point demandé.
40. Cette construction est plus simple que celle qui a été indiquée art. 14, et Ton peut remarquer qu*elle s'étend immédiatement au cas général où le centre q des moyennes harmoniques que Ton cherche est relatif (26) à des coefficients numériques quelconques m, m\ m",, . ., répondant respectivement aux points donnés a^b.c, ^,. . ., puisqu'il suffit évidemment, au lieu de se borner à ne prendre qu'liti seul point A, B, G,. . ., sur chacune des projetantes Srx, S&, Se,. . ., qui appartiennent aux proposés, d'en choisir autant qu'il est marqué par le coefficient numérique relatif à cette projetante ou au point d'où elle dérive.
Que l'on ait, par exemple, deux points a, 6, auxquels correspondent respectivement les coefficients numériques m et m', on devra prendre m points arbitraires sur la projetante Sa, et m* points pareils sur la projetante S 6; cherchant ensuite le centre Q des moyennes harmoniques de ces m -h m' points et le projetant en q sur/?ft, q sera le centre des moyennes harmoniques de a et de 6 relativement à m et m' ; c'est-à-dire qu'on aura (9)
pq pa pb
•ou (24)
„^Q ,^fbq
ap op
en ayant égard à la règle des signes posée art. 17.
Les points A, B, G,. • ., qu'on doit prendre sur les diverses projetantes Sa, Sbf Se,..., pouvant avoir une position quelconque, on devra profiter de cette détermination pour simplifier les opérations relatives à la recherche des points Q et q\ mais ces simplifications se présentent d'une manière trop facile, dans les projections de la figure où ces points deviennent des centres de moyennes distances, pour qu'il soit nécessaire d'entrer dans des détails; et l'on serait conduit d'ailleurs à des résultats qui n'auraient qu'un léger avantage sur ceux des articles 9 et suivants, où l'on ne considère simplement que deux points à, b et les coefficients numériques m et n relatifs à ces points.
§IV
Application de la théorie du centre des moyennes harmoniques aux propriétés des figures rectilignes et poljrédrales.
41. La théorie qui vient de nous occuper donne lieu k un grand nombre de propriétés nouvelles concernant les figures rectilignes ; beaucoup de ces propriétés, entièrement analogues à jcelles qu'on déduit ordinairement de la théorie du centre des moyennes distances , sont par là même faciles à découvrir et peuvent être abandonnées aux investigations du lecteur; mais il en est d'autres qui» se rattachant à des propriétés du centre des moyennes distances moins généralement connues, et qui, étant sus*' ceptibles d'être transportées dans la théorie des courbes et des surfaces géométriques, méritent qu'on leur accorde une attention plus particulière; or, c'est à cet objet que nous allons consacrer les dernières pages de ce Mémoire.
Remarquons, en premier lieu, que la plupart des principes que nous avons établis sur le centre des moyennes harmoniques peuvent être envisagés comme autant de propriétés distinctes des figures composées simplement de points, de droites et de plans quelconques.
Par exemple, les principes des n^ 24 et suivants conduisent immédiatement à cet énoncé :
Étant donné à volonté, dans un plan, un faisceau de droites projetantes Si^, Sa, Sb, Se,,.., (6g. 7), c'est-à-dire convergeant en un même point S, si, ayant choisi l'une quelconque d entre elles Sp pour axe des origines harmoniques, on mène arbitrairement des transversales droites ps, p's^..., dans ce faisceau, puis qu'on détermine, sur chacune d'elles, le centre des moyennes harmo^ niques q, q't»»^ des points d'intersection a, b, c^ ., a', b\ 0^9. .^ qvi hUappar* tiennent, par rapport aux points p, p',..», de l'axe Sp des origines harmo^ niques et relativement à des coefficients numériques quelconques (26), la suite des centres pareils sera une seule et même droite S q, passant par S, et que nous avons nommée l'axe des moyennes harmoniques du faisceau formé par toutes les autres projetantes .
42. Au lieu de mener arbitrairement les transversales /75,/7Y,..., on peut exiger qu^elles passent par un même point du plan de la figure, et prendre ce point sur l'axe S^ des origines harmoniques, enp par exemple, auquel cas cet axe devient inutile pour déterminer les centres q, puisque le point /^
4o THÉORIE GÉNÉRALE
est, pour toutes les transversales, rorigine commune et unique des segments harmoniques: le théorème ci-dessus subsiste évidemment toujours; mais ainsi particularisé, il offre l'avantage singulier de pouvoir s'étendre à un système de droites quelconques situées dans un plan, et non plus simplement à un système de droites convergeant en un même point S; bien plus, pour arriver au théorème ainsi généralisé, il suffit, comme on va le voir, de partir du cas particulier où l'on ne considère que deux droites uniques Sa et S 6, cas qui se déduit immédiatement des principes exposés art. 8 et 9 de cette Section.
Soient, en effet, AB, BC, CD,... {PL II, fig. i3), des droites indéfinies situées sur un plan, p un point arbitraire pris pour pôle des transversales ph qui rencontrent respectivement en a, h^c^d^..., les droites fixes dont il s'agit; je dis que si l'on détermine, sur chaque transversale pb^ le centre q des moyennes harmoniques des points a, &, c, ^,..., par rapport au pôle p pris pour origine des segments et aux coefficients numériques quelconques m, m', m",..., la suite des points q sera une droite unique ^Q' qu'on pourra appeler \axe des moyennes harmoniques des droites proposées, relativement à/? et aux différents coefficients qui leur correspondent respectivement.
Pour le prouver, considérons d'abord deux droites AB, BC, auxquelles répondent les coefficients numériques m et m'; si, sur les transversales /^c/, nous prenons sans cesse les centres q' de moyennes harmoniques qui répondent aux points a et b de l'angle ABC, et aux coefficients m et m', d'après ce qui précède, la suite des centres q* sera une droite q'B passant par le sommet de l'angle, et à laquelle correspondra (24 et 26) un nouveau coefficient m 4- m'. Soit Q le point où cette droite rencontre CD, la troisième des droites données; prenons sur la transversale variable pb le nouveau centre q" de moyennes harmoniques des points cetq' qui appartiennent aux côtés CDc et BQç' de l'angle cQq', et cela par rapport au point/) et aux coefficients m", m-^-m' répondant respectivement à ces côtés; le point y" sera le centre des moyennes harmoniques de a, b, c, et la suite de ces centres sera une nouvelle droite gr^Q passant par Q, à laquelle correspondra un coefficient m -f- m' 4- m", et qui rencontrera la quatrième AD des droites données en un point Q' qu'il faudra prendre pour nouveau sommet d'angle, etc. On arrivera donc, en continuant ainsi, à une dernière droite ^Q' qui sera le lieu des centres de moyennes harmoniques de tous les points d'intersection a, b, c, d,...9 de la transversale mobile et des droites proposées, et qui en sera l'axe de moyennes harmoniques pour les coefficients m, m', m",...,
DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. 4i
et relativement au pôle jd; théorème qu'on peut énoncer très-simplement de cette manière :
Un système de droites quelconques étant donné dans un plan, si l'on coupe ce système par une suite de droites transversales passant par un même point ou pâle, puis qu'on détermine, pour chaque transversale, le centre de moyennes harmoniques des points d'intersection correspondants, en prenant le pôle pour origine des segments , la suite de tous les centres pareils sera une droite unique, c^esl-à-dire l'axe de moyennes harmoniques des proposées par rapport au pôle et aux coefficients donnés (*).
43. Remarquons que chacune des manières dont nous avons enseigné (20, 24, 26) à définir graphiquement ou numériquement le point q de la transversale mobile ph donne lieu à un énoncé particulier du théorème qui précède. Ainsi, par exemple, si Ton définit le point q par la relation
m,aq m! .bq m" .cq m'^.dq
ap bp cp dp
OU par celle-ci
m-hm'-f-m*'-|- .. . m m! m
pq pa pb pc
la suite des points q sera une ligne droite.
Il en sera de même évidemment de la suite des points q déterminés par la relation plus générale
— = h-rH h...,
pq pa pb pc
dans laquelle k est un coeiticient numérique quelconque. Maintenant si, dans cette dernière relation, on suppose tous les coefficients égaux à l'unité, on
( * ) Dans le cas particulier où, les coefficients m, /n', . . . , étant égaux à l'unité, on ne considère que le système de trois lignes droites, et où Ton prend pour pôle p le centre de gravité ou des moyennes distances du triangle formé par ces droites, Taxe des moyennes harmoniques passe tout entier à l'infini, et Ton a, pour une transversale quelconque issue de p et rencontrant en a, h y c, les côtés du triangle,
L + -L + ±=o; pa pb pc
et, en effet, cette relation, en ayant égard à la loi des signes (i7], est satisfaite pour les trois posilions de la transversale où elle passe par Tun des sommets du triangle; car on a alors, par exemple, pb = pc=^ ipa.
Ce théorème a été démontré par fifAC-LAuaiif dans son TraJUé des courbes géométriques.
