QA PQ — QA

UB-pQ-hQB' on en tire

>p~2(qa qb)

résultat qui tient d'ailleurs a ce que d'après la définition ci-dessus (1) les points Q et P jouissent de propriétés réciproques à l'égard de A et de B. D'après cela, on voit que la règle des signes, pour la relation harmonique,

t$t quCf en considérant toujours comme positif le terme |^i les termes ^n r~i

qui entrent dans le second membre de cette relation, devront être affectés du signe -f- ou du signe — , selon que y par rapport à C origine P, les points aux-quels ils répondent seront placés du même côté que le point Q ou à! un côté dif^ férent; or c'est ce qui a lieu précisément [fig. a) dans la relation

fQ = i(pA-h/>B).

Donc la même règle des signes est applicable k ces deux espèces de relations, et par conséquent elles conserveront une forme semblable pour la même dis-

li THÉORIE GÉNÉRALE

position des points k l'égard des origines f et p auxquelles elles se rapportent; seulement, en conservant ces points A et B, on ne saurait changer, dans le cas de la division harmoniquct l'origine P sans que le point Q change en même temps, au lieu qu'il reste fixe dans celui de la division en parties égales.

7. Les choses ainsi entendues, supposons {/ig. i) qu'on divise en deux parties égales, au point Q,, la distance PQ moyenne harmonique entre PA et PB; on aura donc

PQ""PQi""PA^PB'

et, par conséquent, si l'on mène par le point P une suite de transversales PAB, PA''B'',..., dans l'angle ASB, puis qu'on prenne, sur chacune d'elles, des points Qi, Q'i,.*., tels qu'on ait, eu égard à la règle des signes posée cidessus,

pq;~"pS"*"pb' p^~"FF"*"pF''**'

les points ainsi définis seront (2 et 5) sur une droite Q4 Q% parallèle à l'axe SQ des moyennes harmoniques des côtés de Tangle ASB, et passant par ses points a et 6 où chacune des parallèles Pa, P6 à l'un de ses côtés rencontre Tautre. Car, pour ces positions particulières de la transversale PAB, ou PA"B", le point Qi, ou Q^^, se confond avec l'un des points correspondants A ou B, d'après la relation ci-dessus, attendu que l'un des segments correspondants devient infini.

Or,delàrésulte un moyen, indiqué par Mac-Laurin, pour construire directement le point QiQ' lorsqu'on connaît les points P, AetB. Quant au centre Q des moyennes harmoniques, il est plus simple et plus élégant de le déterminer à l'aide du procédé suivant, qui n'exige que l'emploi de la ligne droite ou de la règle : ayant mené par l'origine P des segments harmoniques, une transversale arbitraire PA"B" dans l'angle des projetantes SA, SB, on joindra, par de nouvelles droites AB^ BA", les points ainsi obtenus sur ces projetantes avec les points donnés A, B, et le point S' de leur intersection appartiendra à la projetante SQ du point Q cherché. Il est visible, en effet, que si l'on substitue l'angle AS'B à l'angle ASB, et la droite PS' à la droite PS, l'axe des moyennes harmoniques (5) de cet angle par rapport à P, et qui renferme nécessairement Q et Q", devra aussi passer par le sommet S' et se confondre par conséquent avec celui SQ de l'angle ASB; on conclurait d'ailleurs la même chose en observant que la figure peut être mise en pro-

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. i3

jectioD ou perspective sur un nouveau plan, de façon que P passe à l'infini ou que les droites PAB, PÂ'^B'' deviennent parallèles, et c'est ainsi que nous avons démontré cette proposition généralement connue, à Tarticle 154 du tome V du Traité des Propriétés projectiles.

8. Considérons maintenant une droite af [fig. 3), divisée en un nombre quelconque de parties égales aux points b^ e, d^ e^...; le points l'infini de cette droite pourra être regardé (1) comme l'origine commune des segments harmoniques relatifs à trois points de division consécutifs quelconques, en y comprenant les points extrêmes a et/; donc (2), si l'on projette le système de tous ces points sur une droite arbitraire a'/' en a', b\ c', rf', e\/\ il en sera de même du point />' qui est la projection du point à l'infini de a/, à l'égard de trois points de division consécutifs quelconques de a'/'; c'est-àdire que les segments relatifs à/>' et à ces points formeront une proportion harmonique; donc la suite de tous les segments pa! ^pV^pd ^pd\..,^pfy formera une proportion harmonique continue, et l'on pourra dire, avec M. Brianchon [Application de la Théorie des transversales, etc., % 68), que ces segments forment une progression harmonique.

Pour justifier davantage encore cette expression, nous remarquerons que, d'après l'article 2 et les articles suivants, il doit régner entre les réciproques des segments harmoniques qui répondent au point p' et aux différents points de division de c^f^ la même relation qu'entre les simples distances d'un point quelconque p de af, aux différents points de division a,h,Ct...,f\ mais ces dernières forment une progression arithmétique, donc il en est de même des réciproques qui leur correspondent.

En effet, on aura pour la droite a/* et le point arbitraire p :

2pb=pa'\-pc, npc^pb-i-pd, 2pd = pC'i-pe,. . .,

pb — pa=:pc — pb = pd — pb=pe — pd,. . .,

comme aussi l'on a (3), pour la droite a/*' par rapport à l'origine dès divisions harmoniques z?',

JV'^p'cé'^ p'd^ p' d~ p'b'^ p' d'^ p'rf'""/i'c'"*"pV'**''

/i'6' p'(i~pd pV^p'd' p'Vp'e' p'd'

9. Il résulte de ce rapprochement, en particulier^ qu'on pourra calculer

i4 THÉORIE GÉNÉRALE

un terme quelconque de la progression harmonique, par les mêmes règles que l'on calcule un terme de la progression arithmétique, au moyen des extrêmes, quand son rang est assigné.

Supposons, par exemple, que la droite qf soit divisée en m + n parties égales aux points 6, c, ^,..., et qu'il y ait par conséquent m + n + i segments pa, pb, /w,..., pf correspondants au point arbitraire />; proposonsnous de rechercher le segment pd du point dqni appartient ala/i'*'"* partie à compter de a : nous aurons, dans le cas dont il s'agit, des divisions égales,

pd=pa + ad = pa + -^^-^af=pa+^^^-^Jpf-pa),

P'' = 7^P^-^î^nPf=^<"'P^-^''Pf^^

donc on aura aussi, dans le cas de la division harmonique, c'est-a-dire pour la perspective a'/',

relation qui, en vertu de la continuité, doit même s'étendre au cas où les nombres m et n sont incommensurables entre eux, et qui servira immédiatement a résoudre tous les problèmes analogues à ceux où il s'agit de diviser des distances en parties proportionnelles à des nombres donnés. On voit, en outre, qu'elle a une forme tout à fait semblable à celle (3) qui concerne la simple division harmonique de aff en p' et d' ; si l'on y suppose en effet m et n égaux à l'unité, on retombera sur celle dont il s'agit. C'est pourquoi on pourrait dire que le segment/?'^', relatif au point de division d\ est moyen harmonique entre les segments/?' a' etp'J' pour les coe^ffîcients m et n, et que le point rf' lui-même est le centre des moyennes harmoniques de a' ety relativement à/?' et à ces mêmes coefficients.

Enfin il résulte encore de ce qui précède que les points extrêmes af et/' d'une échelle harmonique étant donnés, ainsi que le nombre des parties dont elle se compose et l'origine/?' des segments harmoniques, on pourra construire successivement, à l'aide du calcul et sans recourir à l'échelle des divisions égales q/) l'échelle harmonique dont il s'agit, k laquelle son usage dans la perspective a fait donner le nom à' échelle perspective ou fuyante (*).

[*) Je ne crois pas que ces dernières propriétés de Téchelle harmonique aient encore été remarquées des géomètres; elle en possède quelques autres intéressantes, auxquelles les précédentes nous conduiraient aisément, mais dont l'examen nous écarterait de notre objet. On peut consulter, à cet égard, le Mémoire de M. Briancbon, déjà cité art. S.

DES CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES. i5

10. On déduirait beaucoup d'autres conséquences remarquables de ce qui précède; nous nous contenterons d'observer que, pour se construire une échelle harmonique sur un dessin, ou pour diviser une ligne df en un certain nombre de parties harmoniques par rapport à un point quelconque/»' pris pour origine et qu'on nomme quelquefois /M>m/ de fuite dans les Traités de perspective, il n'est point indispensable de recourir au calcul, comme nous venons de le faire, ni même de construire d'abord une échelle ordinaire départies égales comme l'indique la^?^. 3; des opérations purement &Vieai!n?^, ou qui s'exécutent avec la règle seule, suffisent pour atteindre le même but.

Remarquons d'abord que, quand une droite a'f est divisée en parties harmoniques aux points h\ c\ d\ e',..., par rapport à un point p' qui sert d'origine aux segments harmoniques, la même chose aura lieu encore (2 et 8) dans toutes ses projections centrales ou perspectives sur une autre droite quelconque; c'est-à-dire que, quel que soit le centre de projection ^ que Ton ait choisi en particulier, si l'on coupe le faisceau des projetantes sp\ sa\ sb\...^ sf qui lui correspondent par une droite arbitraire, le système de points qui en résulte forme encore une échelle harmonique ayant pour origine le point répondant à p\ c'est-à-dire, en un mot, que l'échelle harmonique ^stprojectwe. Si, de plus, on prend pour transversale une droite af parallèle à îa projetante sp\ ou que l'origine des segments harmoniques passe à l'infini dans la projection, Téchelle harmonique se changera en une échelle ordinaire de parties égales (2 et 8).

11- Supposons donc [Jîg. 4) que a' et 6' étant les deux premiers points de division d'une échelle harmonique, tip l'origine des segments harmoniques ou lepoint défaite^ il s'agisse de construire successivement toutes les autres parties de l'échelle, prolongée de part et d'autre de a' jusqu'à l'infini : on tirera arbitrairement les deux droites />c",/>y" par le point/?, et l'on joindra, par d'autres droites a!'b\ (fd^ un point quelconque a" de pe" aux points donnés à et h'\ ces droites iront déterminer sur ps" deux points s' et s\ dont on se servira ainsi qu'il suit pour construire l'échelle harmonique àh'dd'. ...

On tirera s"h/ qui rencontrera /?e'' en }f\ traçant f'é", elle ira rencontrer pf au 3* point de division harmonique c'; traçant ensuite ds'\ elle rencontrera pe!' en (/', et ic" ira construire le 4'' point de division rf'; il est évident que Ton pourra poursuivre cette opération à volonté, soit à droite, soit à gauche du point a', ce qui donnera l'échelle harmonique demandée a', 6',

(*) Ces constructions sont entièrement analogues à celles que M. BRU.NCHONa données pour la

i6 THÉORIE GÉNÉRALE

Ea effet, si Ton met la figure en projection sur un nouveau plan parallèle à ps'sf\ c'est-à-dire tel, que cette droite passe à Tinfini, les quadrilatères àVh"d\ h'db"d\...^ seront des parallélogrammes, et par conséquent la droite df sera une échelle ordinaire de parties égales pour la nouvelle figure, de sorte qu'elle en est une de parties harmoniques pour l'ancienne*

12. Supposons maintenant que, s'étant donné une distance quelconque af^ il s'agisse de la diviser en un certain nombre de parties harmoniques relativement au point quelconque p pris pour origine : on tracera arbitrairement une droite pf passant par/?, et l'on construira, comme ci-dessus, une échelle harmonique quelconque àb'c'd!.../' par rapport à ce point, mais dont le nombre des divisions soit précisément celui des parties qu'on veut obtenir sur af. Cela posé, on tracera les droites aciy ff qui, par leur intersection, donneront le point 5, dont on se servira pour projeter les points de division de l'échelle a'f sur af. Il est évident, en effet, qu'à cause que la relation harmonique est projective, les points 6, c,..., ainsi obtenus, seront les points demandés.

Mais si, le nombre de parties harmoniques de a/* étant m -+- ?2, on demandait simplement le point d qui appartient à la n^^"^*^ partie, comme dans le problème ci-dessus (9) résolu à l'aide du calcul, ayant d'ailleurs construit l'échelle harmonique a'/', il n'y aurait autre chose à faire qu'à projeter le j^ième point de division d' en rfsur af à partir de s.

Ces dernières considérations, quoiqu'elles nous aient un peu écarté de notre premier objet, nous seront néanmoins utiles pour ce qui concerne la partie des applications.

Du centre de moyenne harmonique de points quelconques

rangés en ligne droite.

13. Jusqu'ici nous nous sommes bornés à comparer la division en parties égales à celle en parties harmoniques; maison peut étendre plus loin l'objet de ces définitions, en observant, en général, que toutes les relations ou propriétés qui ont pour fondement la division en parties égales doivent pou-

division d*une distance en parties égales dans les Applications de la Théorie des transversales {voyez §§ 5i et 5:t); mais, dans ce cas, elles ne peuvent s'effectuer uniquement avec la règle ou

des alignements*

voir se convertir en des relations ou propriétés analogues de la division harmonique; or de cette nature sont évidemment toutes celles qui concernent les centres de moyennes distances.

Soient, par exemple, a, 6, c [fig-^) trois points quelconques situés en ligne droite; soit q le centre des moyennes distances de ces points, p un point quelconque pris pour origine des segments : on aura» comme on sait,

pourvu qu'on ait égard à la règle des signes posée ci-dessus (6). Projetons les points a, h, c, q sur une droite quelconque a'd\ à partir d'un point arbitraire 5, et soient a\ h'\ c% ^ les points de la projection : on peut se demander quel rôle le point q' jouera par rapport aux points a', h\ &. Or, je dis qu'en nommant p' le point qui représente, sur o'c', celui à l'infini de ad, et dont la projetante sp' est ainsi parallèle à ad^ on aura

toujours en ayant égard à la règle des signes qui vient d'être indiquée.

Pour le prouver, il nous suffira de rechercher la manière dont on peut obtenir les points ^ et ^ au moyen de ceux dont ils dépendent respectivement.

Pour le point 9, il faut, comme on sait, prendre le milieu x de ab^ puis diviser ex en trois parties égales, et prendre le premier point de division q, à partir de x^ pour le point demandé ; en effet, on aura

^px:^pa+pb,

.1, , ipx-^pc pa-hpb-hpo pq = px-h:^ ipc—px) = ^ 3 ^ = ^^ — ^ *- •

Or, pour obtenir ce qui concerne le point q' de la projection, il suffira évidemment de remplacer la division en parties égales par la division harmonique, en prenant/^' pour origine; c'est-à-dire (3 et 9) que, dans les re^ lations ci-dessus, il faudra simplement remplacer les segments qui se rapportent au point arbitraire /> par les réciproques de ceux qui répondent au point/?', projection de celui à l'infini de ac; on aura donc

7q^'^3\p^'^yP'^'p7)

F Ce qui précède montre aussi» d'après l'article 12, comment il faudrait s*y

f8 THÉORIE GÉNÉRALE

prendre pour coQstruire directement le point ^ avec la règle, et sans recourir a la division en parties égales qu'indique la figure.

14. Le cas où l'on remplacerait les trois points a, 6, c par quatre points quelconques serait encore plus facile à établir. En effet, s'il s'agissait d'obtenir leur centre de moyennes distances, il suffirait évidemment de prendre le milieu ou le centre des moyennes distances de deux quelconques de ces points, puis celui des deux autres, puis enfin le centre des moyennes distances des deux centres partiels ainsi trouvés, ce qui donnerait de suite, en nommant d le quatrième point, et conservant d'ailleurs les mêmes dénominations que ci-dessus,

pa -h pb -h pc -^ pd pq^t iL—^ ^,

et, par conséquent, en passant à la projection sur une droite quelconque aV,

En général, on voit que, quel que soit le nombre m des points a, b, c, ^,..., rangés sur une même droite, le centre q des moyennes distances de tous ces points sera unique et tel, qu'en le projetant ainsi que ces points sur une droite quelconque en q\ a', b\ </, rf',..., et nommant jpMe point qui représente celui à l'infini de la proposée a&c, on aura