AC.PB = AB.PC4-BC.PA

dont les différents termes renferment les mêmes lettres; et l'on voit aussi comment il faudrait agir pour préparer, de la même manière, toute relation linéaire du premier degré entre les simples distances de points rangés en ligne droite.

Sous cette nouvelle forme, d'ailleurs, la relation qui précède n'exprime évidemment rien de plus que celle d'où elle provient, attendu que le point P est censé à l'infini. Mais étant projective, elle ne devra pas cesser d'avoir lieu en mettant les points A, B, C et P en perspective sur la nouvelle droite arbitraire pn, à partir d'un point quelconque S; on aura donc, en nommante, b, c et p let> nouveaux points, dont le dernier appartient évidemment à la projetante pS parallèle à AG,

ftt,pb = ab.pc + bc.pa,

relation qui a lieu, de la même manière (18), entre les sinus des angles projetants relatifs à chacune des distances qui y entrent.

On pourrait croire que cette relation est simplement relative à une certaine position particulière de p i l'égard de 0, b,c; mais il est facile de prouver le contraire; car ayant choisi, à volonté, un tel point sur une droite abc, on pourra toujours mettre la figure en projection sur une autre droite AC, de façon que p passe à l'infini , puisqu'il suffit de prendre AC parallèle à la projetante Sp de ce point; or, la relation ci-dessus, qui est projective, sera satisfaite naturellement pour la projection AC; donc elle aura pareillement lieu pour la droite ac, quels que soient les points «, A, c, p.

Voyons maintenant comment, par des transformations convenables, nous aurions pu arriver directement à la relation dont il s'agit en partant de celle or = a^+^c qui n'en est qu'un cas particulier relatif à l'hypothèse où P serait à l'infini.

A cet effet, multiplions l'équation ac = ab'\-bc par la distance y^^; on aura successiveHient, pour la position actuelle de a, by c et p,

ac.pb = ab ,pb -}- bc,pb = ab [pc — bc) -|- bc [pa -\- ab) = ab ,pc -^ bcpa , qui est précisément celle qui a été obtenue ci-dessus par une voie très-différente (* ).

r*) Un saTtut géomètre, dont Térudition est incontestable, attribue au grand Euler (Pétersbourg, 1747 et 1748) cette remarquable et élégante relation entre les six segments de quatre points rangés sur une même droite, et dont il a fait la base de ses écrits en 1837 et f853, d'où sont proscrites soigneusement les