SECTION II

THEORIE GENERALE DES POLAIRES RÉOPROQUES ( ' ) ( Comprenantle principe de réciprocité polaire des relations métriques projectiles ).

. . ^^PO'^ préliminaire.

Dans la précédente Section, relative aux centres de moyennes harmoniques, j'ai annoncé que la théorie des polaires réciproques était susceptible d'une extension telle^ qu'au simple énoncé d'une proposition suffisamment générale de l'étendue, elle permet .d'en assignçr sur-le-champ une autre toute différente et tout aussi générale, à moins cependant que la proposée ne soit elle-même sa réciproque, ce dont il y a des exemples. J'ai ajouté qu'a l'exception de quelques principes élémentaires, je n'avais donné jusqu'ici (avril j 824) qu'une idée très-imparfaite de cette théorie, soit dans le tome P du Traité des Propriétés projectiles des figures^ soit dans lé tome YIII des Annales de

{*) Cette théorie, rédigée dans Tbiver de iSiS à 1824, est le développement naturel de celle que j'avais adressée en 1817 au Rédacteur des anciennes Annales de Mathématiques, Elle constitue un second Mémoire qui, imprimé dans le tome TV (1829) du Journal de Mathématiques de Crelle, a été présenté et lu par moi à TAcadémie des Sciences de l'institut, dans la séance du la avril 1824 (Commissaires, MM. Legendre, Poinsot et Cauchy] : le Bapport en a été approuvé seulement dans la séance du 18 février i8a8, c'est-à-dire après quatre années d'une pénible attente pour l'auteur, qui, dans son éloignement de Paris, s'est vu ainsi privé des avantages attachés à la prompte publication de ses travaux, et a été, par là et contre son gré, entraîné à une polémique, à des revendications mentionnées dans divers passages de ses Applications d' Analyse et de Géométrie,

On trouvera à la fin de cette Section un post-scriptum qui contient le résumé rapide des paroles qu'il m'a été permis d*ajouter à Y Exposé préliminaire, dans la séance d'avril i8a4, et dont la singulière appréciation (voirie tomell des Applications, p. 629) aura, sans nul doute, encouragé le long silence du Rapporteur, les usurpations dont j'ai eu à me plaindre, et les f&cheuses réserves ou dénégations dont mes anciens travaux ont été l'objet en France et à l'étranger, dé la part de savants timorés, mal éclairés ou hostiles aux doctrines de la nouvelle Géométrie, auxquelles, du moins, on ne refuse plus guère de nos jours, d'avoir considérablement agrandi le champ des idées mathématiques, et, plus particulièrement, le nombre des propriétés descriptives, métriques ou angulaires de Tétendue figurée, qui se rapportent à la classe très-vaste de celles que j'ai nommées prtgectives, — (Note de i865. )

yfathéma tiques (*), n'y ayant en effet simplement qu'effleuré le cas de l'espace, et m'étant constamment borné aux relations purement descriptives des figures; enfin j'ai annoncé que cette thédrie était indispensable pour établir certaines propositions qui doivent entrer dans la partie de ces recherches relative aux courbes et aux surfaces géométriques en général. Je me propose ici de reprendre cette théorie et de lui donner toute l'étendue et , tous les développements nécessaires pour en constituer un véritable corps de doctrine qui puisse se suffire à lui-même.

Vu son importance et son utilité générale dans toutes les questions et recherches géométriques, ayant d'ailleurs le dessein de réunir, par la suite, et de faire paraître sous un même titre les différents Mémoires de Géométrie que je me propose de rédiger successivement, je n'ai pas dû craindre de revenir sur le petit nombre des principes déjà exposés dans les ouvrages cités plus haut, et de m'appesantir sur ceux qui n€ seraient point encore connus ou qui pourraient présenter quelque^ difficultés à être saisis par le grand nombre des lecteurs; j'ai même fait suivre chaque théorie particulière de plusieurs exemples qui, bien que des conséquences fort simples de ces tbéo* ries, n'en sont pas moins très- propres a les éclairer et à en montrer l'esprit et la fécondité; j'ose donc espérer que l'Académie ne jugera pas trop sévèrement le résultat de mon nouveau travail, et qu'elle voudra bien excuser des détails et des développements nécessités par la nature du suj^t et par le but particulier que je clietcbe à atteindre.

Pour donner une idée tant soit peu générale de l'objet que je me propose et des principes qui m'ont dirigé, il est nécessaire de rappeler que le pôle et la polaire d'une section conique ne sont autre chose que le sommet de l'angle circonscrit à une telle courbe, et la direction indéfinie de la corde de con-tact des côtés de cet angle; tandis que, pour la surface du second ordre, le pôle et le plan polaire se confondent respectivement avec le sommet du cône circonscrit à cette surface et avec \eplan indéfini du contact de ce cône.

Cela posé, considérons d'abord une figure quelconque sur le plan d'une section conique prise pour auxiliaire : on démontre aisément que, si un certain point se meut sur une ligne droite de la figure donnée, la polaire de ce point pivote sur le pôle de cette droite, et réciproquement; or de la on conclut plus généralement que, si ce même point est assujetti à décrire une courbe quelconque, sa polaire en enveloppera une autre ayant à son tour la

( * ) Voyez aussi le tome II des Applications d'Analyse et de Géométrie, oùrarticle des anciennes Annales de Montpellier, ci-dessus mentionnées, se trouve rapporté textuellement et accompagné d'utiles commentaires (p. 47^ à 5o4). — (Note de i865.)

première pour enveloppe, des polaires de ses difTérents points; de sorte qu'on peut dire de ces deux courbes qu'elles sont polaires réciproques à Tégard de. la section cooique auxiliaire. Substituant donc ainsi à chaque point, chaque droite» chaque courbe de la figure proposée, la droite, le pôle et la courbe qui leur appartiennent, on formera une nouvelle figure qui elle-même pourra s'appeler l^ polaire réciproque de la première, et sera tellement liée avec elle que, d'après la théorie ordinaire du pôle et de la polaire simple, les relations descriptives ou de situation de l'une pourront se traduire immédiatl^ment en des relations pareilles de l'autre.

C'est à montrer l'espèce de réciprocité qu'ont entre elles les deux figures dans différents cas, et relativement aux diverses positions des points et des lignes» que j'ai consacré la première partie de ce travail.

Ainsi, par exemple, j'y examine l'espèce de relations que conservent entre eux deux polygones réciproques polaires sur le plan d'une section conique, et je détermine le degré et les affections générales qui appartiennent aux courbes polaires qui peuvent être considérées comme les limites de ces polygones, etc. Au surplus, je le répète, j'avais déjà exposé les éléments de cette théorie dans un article inséré au tome VIII des Annales de Mathématiques, année j8i8, en montrant, par quelques exemples, tout le parti qu'on en pouvait tirer pour la recherche des propriétés générales des figures, et j'y suis revenu avec plus de détails dans le Traité des Propriétés projectiles, t. I*S dont les Sections II et III contiennent un grand nombre d'applications trèsremarquables et très*propres à montrer l'importance et l'utilité de ce genre de spéculations.

Pour passer du cas du plan à celui de l'espace, il suffit de substituer une surface du second ordre quelconque à la section conique auxiliaire, et de remplacer la polaire par un plan : observant ensuite, avec MM. Monge, Livet et Brianchon, que quand un point ou pôle est assujetti à demeurer sur un plan ou sur une droite donnée, le plan polaire de ce point pivote lui-même sur le pôle du premier plan, ou sur une droite qu'on peut nommer Idi polaire de la première droite, et réciproquement, on établit aisément la définition et les principales relations descriptives des figures rectilignes et polyédrales, qui sont polaires réciproquement dans l'espace, par rapport à une surface quelconque du second ordre prise pour auxiliaire : or, de là on passe immé* diatement, par la loi de continuité, aux courbes à double courbure,, aux surfaces développablea et aux surfaces quelconques qui sont réciproques polaires dans l'espace, et peuvent être considérées comme les limites respectives des figures rectilignes et polyédrales dont il s'agit.

6o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

MM. Livet et BriaDchon avaient déjà recherché (XYIII* Cahier du Journal de l'École Polytechnique) quelle était l'enveloppe des plans polaires d'un point assujetti à demeurer constamment sur une courbe à double courbure ou sur une surface donnée , et ils avaient facilement reconnu , par l'analyse algébrique» que c'était, dans le premier cas, une surface développable qui se réduit à un cône lorsque la courbe proposée est plane, et, dans le second, une surface quelconque à double courbure, susceptible d'être engendrée par une droite en même temps que la proposée. Mais ces habiles géomètres n'ont pas recherché quelle espèce de relations et de réciprocité ont entre elles la figure primitive et sa dérivée; et, à l'exception du cas particulier. où la surface directrice est du second ordre, ou se réduit à une section conique, ils n'ont point déterminé le degré de la surface polaire : or c'est ce que j'ai établi généralement dans la seconde partie de cet écrit, et par les seuls principes de la Géométrie rationnelle, en montrant de plus que \ enveloppe des plans polaires d'une surface donnée est en même temps le Heu des pôles des plans tangents de cette surface; de sorte qu'elles jouissent de relations des^ criptives entièrement réciproques à l'égard de la surface du second ordre servant d'auxiliaire, remarque qui seule suffit pour justifier l'épithète Ae polaires réciproques que je leur ai appliquée.

J'examine, au surplus, les principales relations descriptives qui peuvent appartenir à la surface primitive et à sa- dérivée, et je mets ainsi le lecteur en état de traduire sur-le-champ, toute propriété de situation relative à une figure quelconque donnée, en une autre essentiellement distincte et appli-^ cable à la figure qui en est la réciproque polaire. C'est ce que je démontre par l'application à plusieurs théorèmes particuliers qu'il serait, je crois, difficile d'établir de toute autre manière. Parmi ces théorèmes, je me contenterai d'indiquer ceux qui concernent l'intersection plane des nappes de développables circonscrites à deux surfaces quelconques du second degré, et le lieu de tous les centres de surfaces du même degré, qui sont tangentes à la fois à huit plans donnés quelconques, etc.

Ce qui précède concerne uniquement les relations purement descriptives, et, parmi ces relations, celles qui n^'ont trait qu^a la direction indéfinie des lignes et des surfaces, sans égard à aucun rapport de grandeur; or j'ai con-^ sacré les trois derniers paragraphes de cette Section- à examiner quelle espèce de modifications doivent éprouver, dans le passage de la figure donnée k sa polaire réciproque, soit les relations d'angles et Ae lignes irigonomé^ triques y soit les relations métriques entre les simples distances; j'ai trouvé que, quand ces relations sont de la nature de celles que j'ai nommées ailleurs

SECTION II. - DES POLAIRES RÉCIPROQUES. 6f

projectiles^ la traduction pouvait toujours avoir lieu de l'une à l'autre figure, et J'ai indiqué les moyens de l'opérer, dans tous les cas, par une substitution de mots et de lettres mis à la place les uns des autres, qui se réduit à une sorte de mécanisme. Ainsi, non^eulement on est en état de découvrir, par la théorie des polaires réciproques, de nouvelles propriétés descriptives des figures, à l'aide des propriétés descriptives déjà connues et établies par les géomètres, mais on peut en faire tout autant pour les relations métriques entre les angles et pour une classe très-étendue de relations pareilles entre les simples distances, puisqu'elle comprend, coitime cas particuliers, toutes celles de la Théorie des transversales et de la Géométrie de la règle.

Je ne dirai rien d'ailleurs des applications que j'ai faites de ces préceptes généraux à la démonstration ou à la recherche des théorèmes concernant les angles et les distances de certaines figures; je ferai seulement remarquer que, loin d^avoir épuisé le nombre des applications particulières et même des principes, je me suis constamment attaché aux plus simples et aux plus utiles d'entre eux, me contentant fort souvent d'en indiquer à la hâte quelques autres comme exercices, ou parce qu'ils me paraissaient dignes de fixer Tattenlion des géomètres. On verra en effet que la mine est d'une richesse pour ainsi dire intarissable, et que, si l'on voulait seulement citer ou énoncer les théorèmes de Géométrie qui peuvent découler de la théorie des polaires réciproques, par sa simple application aux propositions déjà connues, il faudrait y consacrer des volumes entiers et un temps considérable.

La théorie des polaires réciproques se rattache, de la manière la plus intime, à celle du centre des moyennes harmoniqt4eSf dont nous avons établi les principes dans la précédente Section : c'est ce qu'on a pu voir dans les écrits déjà rappelés au commencement de ces préliminaires; mais, avant de l'exposer dans toute la généralité qui lui est propre, je crois nécessaire de réunir sous un même point de vue et de résumer en peu de mots les différentes notions et définitions établies en ces divers endroits, de manière à arriver, par une marche à la fois claire et rapide, aux nouveaux principes qui font l'objet de la théorie dont nous allons maintenant nous occuper d'une manière tout à fait spéciale; et, afin d'aller du simple au composé, nous commencerons par le cas facile où les objets de la figure sont situés dans un seul et même plan;

6a PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

,Des figures polaires réciproques dans un plan.

55. Supposons que, d'un point quelconque P [fig^^o^ PL III) pris sur le plan d'une ligne du secorïd ordre, on mène une suite de droites telles que AB» rencontrant respectivement la courbe en deux points A et B, puis qu'on détermine (4 et 7) sur chacune d'elles le centre Q des moyennes harmoniques des points A, B par rapport au pôle commun P des rayons vecteurs pris pour origine des segments harmoniques : tous les centres pareils seront, comme on sait, situés sur une seule et même droite ou polaire TT' que, d'après nos précédentes définitions (42), nous pourrions aussi nommer Va^xe des moyennes harmoniques de la courbe relativement à l'origine commune ou au pôle P, qui, à son tour, pourrait s'appeler le centre des moyennes harmo-niques de la courbe relativement à la droite dont il s'agit, prise pour axe des origines harmoniques, puisque la relation PA : PB : ; QA : QB, qui lie lorigine P au centre Q des moyennes harmoniques de chaque transversale, est réciproque entre ces poinls.

Pour justifier sur-le-champ età/?/7bn ces définitions, il suffit de remarquer que chaque transvei^sale PB, menée par le point fixe P, ne renferme qu'un seul centre Q des moyennes harmoniques, et que ce centre ne peut jamais se confondre avec le point P, quelle que soit la position de la transversale mobile; de sorte que le lieu des points Q est nécessairement du premier degré, c'est-à-dire une ligne droite {Propriétés projectiles ^ Section IV, n« 539). •

Remarquonsd'ailleurs, pour compléter ce rapprochement, que la polaire TT' d'un point P n'est autre chose que la direction indéfinie de la corde^ réelle ou idéale, qui joint les points de contact T, T' des tangentes à la courbe, issues de ce point, et (1) que cette polaire s'éloigne à Finfini, ou se change en un diamètre de la section conique, selon que le pôle lui-même se confond ai^éc le centre de cette section conique, ou s'éloigne à l'infini sur son plan; de sorte que fe pôle d'un diamètre est à V infini sur le diamètre conjugué^ et le pôle de toute droite à V infini se confond avec le centre même de la courbe.

56. Cela posé, considérons quelque part sur le plan de la section conique proposée un nouveau point quelconque /? servant Aq pôle aux sécantes ou transversales rectilignes ab de la courbe; à ce pôle correspondra la nouvelle polaire tt! rencontrant en Q la première, et, pour les transversales QP, Q^

qui y passent^ le poinl Q sera à la fois le centre des moyennes harmoniques des cordes ÂB et ab déterminées par ces transversales, et cela par rapport aux pôles respectifs F et p. Mais les points Q et P, Q et /? sont réciproques entre eux d'après la relation qui les définit : donc le point Q peut, à son tour, être considéré comme \epôle de la droite P/?, puisque les points P et/? suffisent pour la déterminer complètement, c'est-à-dire que cette droite est la polaire de Q par rapport à la section conique, comme la <lroite TT Test déjà relativement au point P. Or de là résulte ce théorème qui sert de base à tout ce qui va suivre :

Si un certain poinl P est situé sur une droite Pp tracée dans le plan d'une sec^ tion conique quelconque^ sa polaire TT' passera nécessairement par le pôle Q de cette droite, et réciproquement,

57. Le point P étant le pôle de TT', comme le point Q est le pôle de P/?, le système du point P et de la droite P/? qui le renferme , et le système du point Q et de la droite TT^ défini par le premier, devront jouir de propriétés réciproques à Tégard de la section conique auxiliaire ou directrice; c'est pourquoi on peut dire que ces systèmes sont polaires réciproques l'un de l'autre.

58. Considérons, sur le plan d'une coniquq quelconque {fig.m), deux droites arbitraires AB et AC se rencontrant en A; soit P le pôle de AB, et P' le pôle de AC ; d'après ce qui précède, la polaire de A devra renfermer à la fois les points P et F, c'est-à-dire que PP' est cette polaire. D'un autre côté, le système du point A et de AB est réciproque de PP' et P, comme aussi le système de A et AC est réciproque de PP' et P'; donc on peut dire que le système de BAC tout entier est réciproque polaire de P, P' et PP'. 11 est évident, d'ailleurs, que si, au lieu de deux droites indéfinies AB et AC et de leur point de rencontre A, nous avions considéré primitivement le système des deux points P, P' et de la droite PP' qui les renferme, nous serions arrivés aux mêmes conséquences.

Enfin on voit pareillement que c le système d'un nombre quelconque » de droites AB, AC, AD,..., situées dans le plan d'une section conique, * et qui convergeraient en un même point A, aurait pour réciproque polaire » un système pareil de points P, P', F',..., rangés sur une même droite PP' » polaire de A". >

59. En général, un système de m droites quelconques tracées dans un plan a pour réciproque polaire un système pareil de points en nombre

égal, et les - m(m — i) points d'intersection de ces droites, prises deux à

deux, sont remplacés par les -m {m— i) droites ou distances qui joignent

Ja

aussi deux à deux leurs pôles respectifs, de telle sorte qu'il passerait autant de ces distances par l'un quelconque de ces pôles, que dans la figure primitive il y a de points d'intersection sur la polaire correspondante à ce pôle, c'est-à-dire m — i.

Ainsi, c les m droites du premier système et leurs intersections respec- » tives ont pour réciproques polaires le système d'un égal nombre de points

> réunis deux à deux par les lignes droites ou distances indéfinies qui leur

> appartiennent, et, vice versa, ce dernier système a pour réciproque polaire p le premier. »

Enfin, puisque les points d'intersection des m droites de celui-ci sont les pôles respectifs des distances de l'autre, f les droites ou diagonales qui 1 joignent ces points deux à deux ont, a leur tour, pour réciproques po- » laires (58) les intersections correspondantes ^de ces mêmes distances pro-

> longées; > telle est donc l'espèce de relation graphique qui subsiste entre une figure plane rectiligne et sa polaire réciproque à l'égard d'une section conique tracée arbitrairement sur leur plan commun.

60. Considérons, par exemple, l'un quelconque des polygones ABCDE (fig. aa), formés par le système des droites proposées; ses côtés BA, BC, CD, . . ., ayant pour pôles respectifs les points a, b, c, d^ e, ses sommets B, C,..., A auront pour polaires respectives (58) les droites ab, bc^ cdt...y ae qui joignent deux a deux consécutivement les pôles dont il s'agit, et forment par conséquent le polygone abcd...y qu'on peut nommer le polaire réciproque du proposé.

En effet, d'après ce qui précède, les côtés et sommets de celui-ci auront à leur tour pour pôles et polaires les sommets et côtés respectifs du premier, et la même relation de réciprocité aura lieu entre les points de rencontre des côtés et les diagonales de ces polygones, à l'égard de la section conique auxiliaire; c'est-à-dire que les diagonales et les points de rencontre des côtés de l'un auront réciproquement pour pôles et polaires respectifs les points de rencontre des côtés de l'autre et ses diverses diagonales.

D'après cela on voit, entre autres, que si certains points de rencontre des côtés de l'un des polygones étaient situés en Ugne droite, les diagonales qui leur correspondent dans l'autre concourraient (58) en un même point, pôle de cette droite, et vice versa.

61 . Supposons maintenant que Ton coupe par une droite ou transversale

arbitraire les côtés prolongés de Tun des polygones polaires ci-dessus, cette transversale sera remplacée dans Tautre par un point pôle de cette droite, et lout point d'intersection avec un côté le sera par une droite ou polaire passant (58) par ce pôle et par le pôle du côté dont il s'agit, c'est-à-dire par le sommet correspondant du polygone réciproque. Ainsi , le < système de la tramçersale et de ses points de rencontre as^ec les côtés du polygona proposé sera remplacé par le faisceau des droites qui joignent le pôle de cette transversale aux différents sommets du polygone polaire; et réciproquement, un pareil faisceau de droites convergentes, dans l'un des polygones, sera remplacé par le système des points de rencontre d'un% droite transversale des côtés du polygone polaire. >

62. Considérons encore deux polygones quelconques sur le plan d'une section conique prise pour auxiliaire, ainsi que les polygones polaires qui leur appartiennent; supposons qu'on prolonge les côtés de l'un de ces deux polygones jusqu'à ses intersections avec ceux de l'autre : il est évident (59 et 60) que les points ainsi obtenus seront remplacés, dans les polygones polaires àes proposées, par les droites qui joignent deux à deux les sommets de ces derniers. D'après cela on voit en particulier, que, si un certain nombre des points d' intersection doniil s' Bg\if appartenant à des côtés différents , étaient en ligne droite, les polaires qui leur correspondent, et qui appartiennent également à des sommets différents des polygones réciproques» se croiseraient en un même point ( 58 ) .

, Ces exem pies me semblent devoir suffire en ce moment pour montrer l'espèce de dépendance graphique qui lie entre elles la figure primitive et sa dérivée, lorsqu'on n'envisage que des systèmes de points et de lignes droites situés dans un même plan; et attendu que cette dépendance est réciproque de l'une à l'autre des deux figures, il nous est permis de les appeler polaires réciproques à l'égard de la section conique auxiliaire. Les principes qui précèdent rendent d'ailleurs très-faciles les moyens de multiplier indéfiniment le nombre de ces exemples et de se familiariser avec eux; c'est pourquoi je crois devoir aborder de suite le cas où l'on a à considérer des lignes géomé* triques d'ordre quelconque.

63. Soit une telle courbe située sur le plan d'une section conique prise pour directrice des pôles; d'après la loi de continuité, on pourra regarder indifféremment cette courbe comme la limite de deux polygones inscrits ou circonscrits d'un nombre infini de côtés infiniment petits ; appliquant donc à ces polygones les raisonnements établis ci-dessus (60) pour un polygone IL 9

quelconque fini, on aura à considérer une nouvelle coarbe» limite commune des polygones polaires des proposés, et qui sera k la fois le Heu des pôles des éléments ou des tangentes de la première et Veiweloppe des polaires des points qui lui appartiennent.

On pourra donc décrire, par deux procédés différents et faciles, la courbe dont il s^agit, qu'on peut nommer X^l polaire réciproque de l'autre, puisque, en vertu de ce qui a été dit (60) pour les simples polygones polaires, la courbe proposée doit à son tour être considérée à la fois, ou comme le Heu des pôles des tangentes de celle dont il s'agit, ou comme l* enveloppe des polaires des points qui lui appartiennent.

D'ailleurs on arrive directement aux mêmes conséquences in l'aide du principe de l'article 56, en observant que, si c un certain point se déplace infiniment peu sur la première courbe ou sur la tangente en ce point, sa polaire, qui, par hypothèse, est une tangente de l'autre, tendra à pivoter sur le point de contact de cette tangente; car, d'après le principe cité, ce point de contact est à son tour évidemment le pôle de l'élément ou de là tangente que l'on a considérée sur la première ; » c'est-à-dire que, si, en un point quelconque de Vune des deux courbes^ on mène une tangente à cette courbe, sa polaire touchera Vautre courbe en un point qui sera réciproquement lepôle de cette tangente.

Ainsi, ces deux systèmes de tangentes et de points de contact seront polaires réciproques l'un de l'autre, comme les courbes mêmes dont ils font partie.

64. Supposons maintenant qu'on inscrive ou ciiy:onscrive un polygone quelconque à l'une de nos deux courbes, il est évident, d'après ce qui précède, que le polaire réciproque de ce polygone sera, au contraire, circonscrit ou inscrit à l'autre courbe; de telle sorte que les sommets inscrits se changeront en des côtés tangents ou circonscrits, polaires de ces sommets par rapport à la section conique auxiliaire, tandis que les cordes ou côtés inscrits se changeront en des sommets d'angles ou de polygones circonscrits, et vice versa pour la seconde figure. Toutes les autres relations de réciprocité indiquées ci'dessus (60), pour deux polygones polaires quelconques, continueront d'ailleurs de subsister e;itre les deux polygones, l'un inscrit et l'autre circonscrit aux deux courbes réciproques.

65. Pour développer encore plus ces considérationa» concevons qu'on trace une droite ou transversale quelconque è travers l'une des deux courbes : elle la rencontrera, en général, en autant de points quil est marqué par son

degré. Or (63) chacun de ces points est le pôle d'une oertaine tangente de la courbe réciproque, et (58) cette tangente passe nécessairement par le pôle de la transversale arbitraire; donc < le système de cette transversale et des points d'intersection qui lui appartiennent sera remplacé, dans la figure réciproque, par le système d'un égal nombre de tangentes issues d'un même point, pôle de cette transversale. >

Ces deux systèmes sont d'ailleurs réciproques, c'est-à-dire que, à l'inverse, c si, d'un même point, on mène à l'une des deux courbes toutes > les tangentes qui lui appartiennent, ce système aura pour polaire une » droite rencontrant l'autre courbe en un nombre de points indiquant le * degré de cette dernière courbe et précisément égal au nombre des tan- » gentes de la première qui sont respectivement les polaires de ces points. >