II

Des figures polaires réciproques dans V espace.

75. La théorie des polaires réciproques, dans l'espace, offre la plus grande analogie avec celle qui concerne les figures simplement tracées dans un plan; elle n'en est même, comme on va le voir, qu'une extension facile.

Soit, en effet, une surface du second ordre quelconque, et un point pris arbitrairement ^ouv pôle des rayons vecteurs, ou d'une suite de transversales rectilignes rencontrant respectivement la surface en deux points; le raisonnement déjà mis en usage (55) pour les courbes du second ordre prouvera encore que le lieu des centres de moyennes harmoniques des différents couples de points d'intersection, par rapport au pôle considéré comme origine commune des segments, sera du premier degré ou une surface plane. On arriverait d'ailleurs à la même conséquence en considérant ce qui se passe dans les différents plans menés par le pôle des transversales» et en observant que les polaires (55) qui répondent respectivement aux différentes courbes d'intersection de ces plans et de la surface proposée doivent nécessairement s'entrecouper deux à deux, et être ainsi comprises dans un même plan, qu'on peut nommer indifféremment le plan des miennes har^ mQniques, le plan polaire relatif au pôle considéré en particulier.

Il est évident d'ailleurs que le plan polaire, quand il rencontre la surface proposée ou que le pôle est au dehors de cette surface, contient les différents points de contact de celle-^ci avec les tangentes issues du pôle; c'està-dire que, dans tous les cas, il'est le plan de contact, réel ou idéal, de la surface conique circonscrite à la proposée» et qui a son sommet au pôle.

Enfin on voit que» quand le pôle d'un plan s'éloigne k l'infini, oe plan passe par le centre de la surface auxiliaire» ou devient un plan diamétral conjugué à la direction du diamètre qui contient le pôle; comme aussi,