II

quand le plan polaire passe tout entier à l'infini, le pôle devient le centre

même de la surface auxiliaire» et vice versa.

76. Considérons à présent trois points arbitrairement situés par rapport à une surface du second ordre quelconque j les trois plans polaires qui leur correspondent respectivement dans la surface^ iront se couper en un même point, et les cordes de la surface, qui appartiennent aux trois droites joignant ce point à chacun des proposés, seront (55) divisées harmoniquement par le couple des deux points dont il s'agit; le point d'intersection des plans polaires de nos trois points proposés a donc lui-même pour polaire un plan qui passe par ces trois points; d'où résulte ce principe entièrement analogue à celui qui a été établi (56) pour le cas particulier des sections coniques, et qui, comme lui, est fondamental :

Si un certain point est situé sur un plan quelconque, le plan polaire de ce points par rapport à une surface du second ordre quelconque, passera necessairement par le pôle de ce plan, et vice versa, de sorte que ces deux systèmes seront polaires réciproques à l'égard de la surface auxiliaire du second ordre.

Il suit de là aussi que : un nombre quelconque de plans passant par un même point a pour réciproque polaire un nombre pareil de points ou pôles situés dans un même plan; et^ vice versa, un nombre quelconque de points situés dans un même plah^ a pour polaire réciproque un système pareil de plans passant par un mêm^ point.

77. Considérons maintenant une droite quelconque dans l'espace, et prenons arbitrairement deux points sur sa direction; les plans polaires de ces points se rencontreront suivant une nouvelle droite, qui sera évidemment telle, que tout point de sa direction aura réciproquement pour plan polaire un plan passant par la première droite; car le point dont il s'agit, appartenant a la fois aux deux premiers plans, son plan polaire, d'après ce qui précède, doit renfermer aussi les pôles de ces plans, c'est-à'-dire les deux points pris à volonté sur la droite donnée.

La réciproque de cette proposition est également vraie, c'est-à-dire que tout plan passant par la droite donnée a pour pôle un point de l'autre droite; car un tel plan renferme les deux points ci-dessus pris à volonté sur la droite proposée, et par conséquent son pôle doit appartenir à la fois (76) aux plans polaires de ces deux points ou à la droite de leur intersection commune; de plus, si Ton applique à cette seconde droite les raisonnements qu'on vient d'établir sur la première, il sera facile de prouver qu'elles jouissent entièrement des mêmes propriétés réciproques à l'égard de la surface

du second ordre auxiliaire; on peut donc dire qu'elles sont polaires réciproques et énoncer ce théorème :

La droite, polaire réciproque d'une droite à l'égard d'une surface du second ordre j est à la/ois le lieu des pôles des différents plans qui passent par la première , et r intersection commune des plans polaires, des différents points de cette pre^ miére; de sorte que ces propriétés sont réciproques entre les deux droites dont il s'agit.

78. Ajoutons, comme chose évidente d'après ce qui précède, que, si par Tune quelconque de ces droites on mène, dans la surface auxiliaire, une suite de plans sécants, ils rencontreront l'autre droite en des points qui seront respectivement, pour les courbes d'intersection, les pôles de la première. On voit encore que, si l'on joint par une nouvelle droite deux quelconques des points de celles-là, sa direction ira rencontrer la surface auxiliaire en deux autres points qui la diviseront harmoniquement ou en segments proportionnels; de sorte que, en supposant l'une quelconque de ces droites à l'infini, dans une direction donnée par un plan, sa polaire deviendra un diamètre de la surface auxiliaire, et vice versa.

Enfin, si Ton considère deux ou un nombre quelconque de droites passant par un même point, leurs polaires réciproques seront (77) situées dans /e plan polaire unique de ce point, et, à l'inverse, si un nombre quelconque de droites sont sàuées dans un seul et même plan, leurs polaires réciproques passeront par un point unique, pôle é/e ce plan,

79. En remarquant que la réciproque polaire d'une droite n'est autre chose que la direction indéfinie de la sécante, réelle ou idéale, qui, sur la surface du second ordre, renferme les points de contact des plans tangents issus de cette même droite, on déduira aisément de ce qui précède les Ihéo* rèmes spéciaux établis d'abord par Monge, Livet, Brianchon et Chasles sur les droites polaires ou conjuguées.

Mon objet n'est point d'ailleurs d'examiner les conséquences particulières qu'on peut déduire de là pour les surfaces du second degré, conséquences qui ont été également exposées, par les géomètres cités, dans les anciens Recueils de l'École Polytechnique; je me contenterai ici de remarquer que les considérations précédentes sont basées sur la définition la plus générale des lignes et des surfaces du second ordre, et qu'elles offrent la plus grande analogie avec celles qui ont été exposées à la fin de la première Section, relativement aux centres et aux axes de moyennes harmoniques des figures reclilignes et polyédrales.

lO.

quand le plan polaire passe tout entier à Tinfini» le pôle devient le centre môme de la surface auxiliaire, et vice versa.

76. Considérons à présent trois points arbitrairement situés par rapport à une surface du second ordre quelconques les trois plans polaires qui leur correspondent respectivement dans la surface, iront se couper en uq même point, et les cordes de la surface, qui appartiennent aux trois droites joignant ce point à chacun des proposés, seront (55) divisées harmoniquement par le couple des deux points dont il s'agit; le point d'intersection des plans polaires de noâ trois points proposés a donc lui-même pour polaire un plan qui passe par ces trois points; d'où résulte ce principe entièrement analogue à celui qui a été établi (56) pour le cas particulier des sections coniques, et qui, comme lui, est fondamental :

Si un certain point est situé sur un plan quelconque, le plan polaire de ce points par rapport à une surfojce du second ordre quelconque, passera nécessairement par le pôle de ce plan, et vice versa, de sorte que ces deux systèmes seront polaires réciproques à l'égard de la surface auxiliaire du second ordre.

Il suit de là aussi que : un nombre quelconque de plans paissant par un mêm£ point a pour réciproque polaire un nombre pareil de points ou pôles situés dans un même plan; e/, vice versa, un nombre quelconque de points situés dans un même plan t a pour polaire réciproque un système pareil de plans passant par un m£mje point,

77. Considérons maintenant une droite quelconque dans l'espace, et prenons arbitrairement deux points sur sa direction; les plans polaires de ces

points se rencontreront suivant une nouvelle droite, qui sera évidemment telle, que tout point de sa direction aura réciproquement pour plan polaire un plan passant parla première droite; car le point dont il s'agit, appartenant à la fois aux deux premiers plans, son plan polaire, d'après ce qui précède, doit renfermer aussi les pôles de ces plans, c'est-k*-dire les deux points pris à volonté sur la droite donnée.

La réciproque de cette proposition est également vraie, c'est-à-dire que tout plan passant par la droite donnée a pour pôle un point de l'autre droite; car un tel plan renferme les deux points ci-dessus pris à volonté sur la droite proposée, et par conséquent son pôle doit appartenir à la fois (76) aux plans polaires de ces deux points ou à la droite de leur intersection commune; de plus, si Ton applique à cette seconde droite tes raisonnements qu'on vient d'établir sur la première, il sera facile de prouver qu'elles jouissent entièrement des mêmes propriétés réciproques à l'égard de la surface

du second ordre auxiliaire; on peut donc dire qu'elles sont polaires réci'proques et énoncer ce théorème ;

La droite^ polaire réciproque d'une droite à V égard d'une surface du second ordre ^ est à la fois le lieu des pôles des différents plans qui passent par la première^ et V intersection commune des plans polaires, des différents points de cette pre^ mière; de sorte que ces propriétés sont réciproques entre les deux droites dont il s'agit.

78. Ajoutons, comme chose évidente d'après ce qui précède, que, si par l'une quelconque de ces droites on mène, dans la surface auxiliaire, une suite de plans sécants, ils rencontreront l'autre droite en des points qui seront respectivement, pour les courbes d'intersection, les pôles de la première. On voit encore que, si Ton joint par une nouvelle droite deux quelconques des points de celles-là, sa direction ira rencontrer la surface auxiliaire en deux autres points qui la diviseront harmoniquement ou en segments proportionnels; de sorte que, en supposant l'une quelconque de ces droites a l'infini, dans une direction donnée par un plan, sa polaire deviendra un diamètre de la surface auxiliaire, et vice versa.

Enfin, si l'on considère deux ou un nombre quelconque de droites passant par un même point, leurs polaires réciproques seront (77) situées dans /e plan polaire unique de ce points et, à l'inverse, si un nombre quelconque de droites sont situées dans un seul et même plan, leurs polaires réciproques passeront par un point unique, pôle de ce plan.

'79. En remarquant que la réciproque polaire d'une droite n'est autre chose que la direction indéfinie de la sécante, réelle ou idéale, qui, sur la surface du second ordre, renferme les points de contact des plans tangents issus de cette même droite, on déduira aisément de ce qui précède les théorèmes spéciaux établis d'abord par Monge, Livet, Briancbon et Chasles sur les droites polaires ou conjuguées.

Mon objet n'est point d'ailleurs d'examiner les conséquences particulières qu'on peut déduire de là pour les surfaces du second degré, consé^quences qui ont été également exposées, par les géomètres cités, dans les anciens Recueils de l'École Polytechnique; je me contenterai ici de remarquer que les considérations précédentes sont basées sur la définition la plua générale des lignes et des surfaces du second ordre, et qu'elles offrent la plus grande analogie avec celles qui ont été exposées à la fin de la première Section, relativement aux centres et aux axes de moyennes harmoniques des figures reclilignes et polyédrales.

lO.

78 PROPRIÉTÉS PRX)JEGTIVES DES FIGURES.

» teurs de son arête de rebroussement, seront les polaires des différents

> points de l'arête de rebroussement de l'autre; et, vice versât les points de * son arête de rebroussement seront les pôles des plans tangents de la dé-

> veloppable réciproque ou des plans osculateurs de Tarête de rebrousse-

> ment de cette développable ;

» 3° Tout plan passant par une génératricte de Tune des développables,

> c'est-à-dire par une tangente à son arête de rebroussement, aura pour

> pôle un point de la développable de l'autre système; et, vice versa, un

> point quelconque de l'une des surfaces développables aura pour plan po-

> laire un plan passant par une génératrice de l'autre, c'est-à-dire qu'il sera

> simplement tangent à l'arête de rebroussement de' cette surface, etc. » Il convient d'ajouter à tout ceci que, quand Tune des courbes que l'on

considère est plane, auquel cas sa développable osculatrice est elle-même comprise tout entière dans le plan qui lui appartient, la courbe de l'autre système se réduit simplement à \Xn point (81) pôle du plan dont,il s'agit; de sorte que la développable correspondante est alors une \ér\i2Îb\e suïf ace conique.

84. Proposons-nous maintenant de rechercher directement le degré de la développable réciproque d'une courbe à double courbure donnée, aussi bien que celui de l'arête de rebroussement de cette développable. Soit, à cet effet, m le degré de la courbe donnée, et appelons n celui de sa développable osculatrice : nous verrons bientôt qu'il existe une relation nécessaire entre les nombres m et n.

Cela posé, le degré de la développajble réciproque de la courbe (m) sera évidemment égal au nombre des points d'intersection d'une droite arbitraire avec cette développable : or, d'après ce qui précède, cette droite a pour polaire réciproque dans le système proposé une autre droite, et les plans polaires des points d'intersection qui s'y trouvent sont des plans passant (77) par cette droite réciproque, et (83) simplement tangents à la courbe. D'un autre côté, par une droite donnée à volonté dans l'espace, on ne peut mener, en général et au plus, que m [m-- \) plans tangents à une courbe de degré m, puisque, si l'on fait la projection orthogonale de la figure sur un plan perpendiculaire à la droite, la question revient (66) à demander le nombre des tangentes à la projection de la courbe, qui passent par le point unique de la projection de la droite, et que le degré de cette courbe u'a pas cessé d'être m. Donc enfin le degré de la développable réciproque d'une courbe de degré m est, en général et au plus, m (m — i).

Quant à Tarète de rebroussement de cette développable, son degré est

marqué par le nombre des points suivant lesquels elle est rencontrée par un plan arbitraire; or ce plan a pour pôle, dans le système primitif, un point quelconque, et ses intersections ont pour réciproques des plans passant par ce poin t et touchant ( 83 ) la déyeloppable (n) de {m). Mais le nombre des plans tangents que, d'un point quelconque donné, on peut, en général, mener à une développable de degré n, est égal au nombre des tangentes qui répondent à ce point et à une section plane quelconque faite par ce même point dans la surface, siection qui est également du degré n; donc le nombre des plans tangents dont il s'agit, et par conséquent le degré cherché de l'arête de rebroussement de la développable réciproque, est n{n ^ x).

85. Nous avons dit qu'il existe une relation nécessaire entre les nombres m et n, qui expriment les degrés respectifs d'une courbe à double courbure et de sa développable osculatrice, ou, ce qui revient au même, de l'arête de rebroussement d'une surface développable et de cette surface ellemême. Pour la découvrir, cherchons en combien de points une droite arbitraire ren<;ontre la surface dont il s'agit, lorsque le degré de son arête de rebroussement est tti : à chaque point pareil répondra une génératrice de la surface, tangente ^ la courbe (m), de sorte que le plan qui la renferme, ainsi que la transversale arbitraire, sera lui-même tangent k cette courbe; le nombre des points d'intersection cherché sera donc égal à celui des plans tangents qu'on peut mener à la courbe (m), par la droite dont il s'agit : or nous avons fait voir ci-dessus que ce dernier est, en général, m (m — i); donc tel est aussi, en général et au plus, le degré n de la développable osculatrice de la courbe (m).

Il suit de là évidemment que, dans la seconde des questions ci-*dessus, il faudra remplacer le nombre n par celui m (m — 1} que nous venons de trouver, ce qui donnerait pour le degré de l'arête de rebroussement, polaire réciproque de la développable {n) de (/n), (m — i) [m (m — i)— i]. Mais cette première limite peut être diminué'e, quoique le3 raisonnements que nous avons établis, pour le cas où n est immédiatement donné sans que l'on connaisse m, soient en eux-mêmes très-rigoureux et très-iconcluants dans ce cas général; en effet, la connaissance du degré ;w de l'arête de rebroussement permet de modifier ainsi ces premiers raisonnements.

86. Le degré de l'arête de rebroussement polaire réciproque de la développable (n) est^gal, comme on l'a vu (84), au nombre qui exprime combien, d'un point donné arbitrairement, on peut mener de plans tangents à cette développable {n), ou de plans osculateurs à Taréte de rebrousse-

ment (m) de cette développable. Or le système de tous les points de contiact de ces plans tangents avec la développable (n) est lui-même sur une autre développable de degré w — i (* ), laquelle rencontre bien la développable (n) en 71 (n — i) génératrices en général, mais ne rencontre Tarète de rebroussement (m) qu'en m{m-^ï) points au plus, dont les plans osculateurs remplissent seuls complètement les conditions de la question ; donc m{n — j) = m[m{mT-' ~" ^] ^^^> ®^ général, le degré de Taréte de rebroussement,.polaire réciproque de la surface {n) ou m (m— j).

Nous pourrions faire, sur ces dernières considérations, et en général sur toutes celles qui précèdent, relatives aux degrés des courbes et des surfaces, des réflexions analogues à celles que nous avons présentées, dans les n**' 67, 68 et suivants, sur les simples courbes planes et leurs réciproques; mais elles se présentent d'une manière trop facile, et elles nous écarteraient trop de notre sujet pour qu'il soit convenable de nous y arrêter.

87. Pour terminer ce que nous avions à dire sur les courbes k double courbure et les surfaces développables, nous remarquerons qu'une telle courbe n'a jamais qu'une seule développable osculatrice, mais qu'il en est une infinité qui lui sont simplement tangentes, c'est-à-dire dont les éléments plans la touchent en chaque point de son périmètre, de la même manière qu'une surface développable quelconque n'a qu'une arête de rebroussement unique, composée d'ailleurs d'une ou de plusieurs branches distinctes et pour laquelle les plans tangents de la surface sont des plans osculateurs, tandis que cette même surface renferme une infinité d'autres courbes à double courbure simplement touchées en chaque point par les plans tangents de la surface.

Or, si Ton considère ce qui se passe par rapport à une surface du second ordre prise pour auxiliaire, il sera aisé de reconnaître (83) qu'une surface développable ( 71 ) étant circonscrite à une courbe à double courbure quelconque (m), ou, ce qui est la même chose, passant par cette courbe, la . suite des pôles des plans tangents à cette surface sera une courbe à double courbure (/>), située elle-même sur la développable enveloppe des plans polaires des points de la courbe proposée {m); si donc, pour fixer entièrement la position de la surface développable (/i), on l'assujettit à passer par une seconde courbe à double courbure donnée {/w'), la courbe (/?) qui est la

(*) Cette proposition, qu*on démontre aisément par l'analyse algébrique, sera établie directement dans la suite de ces recherches, relatives aux propriétés générales des courbes et des surfaces géométriques.

SECTION IL — DES POLAIRES RÉCIPROQUES. 8i

polaire réciproque de cette surface dans l'autre système» ou le lieu des pôles de ses plans tangents, sera à la fois sur la développable réciproque de la première (m) des deux courbes proposées, et sur la développable réciproque de la seconde (m') de ces courbes, c'est-à-dire qu'elle sera à l'intersection corn-mune de ces développables. Mais, d'après ce que nous avons vu ci-dessus (84), le degré de ces développables est en général m(m— i), m'{m'— i), m et m' étant ceux des courbes proposées; donc mw! (m — i) (m' — i) est aussi celui de l'intersection dont il s*agit : d'où l'on conclut réciproquement (84) que le degré de la développable circonscrite à nos deux courbes [m) ^i [m') est, en général, /n/n'(/w — i) (m' — i) [wm' (m—i) (m' — i) — i], bien qu'on ne puisse lui mener, au plus, que mm' (/w— i) (/w' — i) plans tangents d'un point quelconque donné.

88. Il serait inutile de nous appesantir davantage sur ces applications particulières, relatives aux surfaces développables et aux courbes à double courbure; les principes et les exemples généraux qui précèdent doivent suffire pour montrer comment on doit s'y prendre dans cbaque cas : en conséquence, nous allons passer immédiatement à ce qui concerne les surfaces quelconques; mais auparavant nous devons dire quelques mots toucbant les figures polyédrales, dont ces surfaces peuvent être regardées comme les limites.

Considérons donc un polyèdre quelconque dans l'espace, et prenons à volonté une surface du second ordre pour auxiliaire; d'après ce qui a été établi art. 76 et sûiv., il est clair que la figure polaire de ce polyèdre sera elle-même un autre polyèdre, àoni\e& sommets, \es/aceset les orAe^ seront respectivement les polaires réciproques des/aces, des sommets et des arêtes du proposé; de telle sorte, par exemple, que les sommets de l'un seront les pôles des faces de l'autre, et vice versa; ainsi l'on peut dire de ces polyèdres qu'ils sont polaires réciproques l'un de l'autre.

Considérons entre autres un hexaèdre ordinaire quelconque, composé, comme on sait, de six faces et de huit sommets : son polaire réciproque aura donc, au contraire, six sommets et huit faces, de sorte que ce sera un octaèdre à faces triangulaires; car le nombre des sommets appartenant à chaque face sera égal au nombre des faces appartenant à chaque sommet de l'hexaèdre, c' est-a-dire trois. En général, on voit que les angles solidjes de l'un des polyèdres seront toujours (81) remplacés par des polygones plans de l'autre, contenant le même nombre d'arêtes que ces angles et autant de sommets qu'ils ont de faces planes.