IL II

89. On peut déduire de là plusieurs rapprochements curieux entre les polyèdres de diverses espèces, et qu'il serait peut-être moins facile de saisir de toute autre manière : ainsi, par exemple»^ un polyèdre d'une espèce quelconque étant donnée on peut toujours construire un autre polyèdre ayant autant de faces que le premier a de sommets, et autant de sommets que le premier a de faces ; de telle sorte que ses angles solides seront de même espèce que les polygones plans du premier, et vice versa. Enfin on voit que deux polyèdres réciproques sont toujours tels, que le nombre de leurs arêtes est le même de part et d'autre ; mais nous ne saurions nous arrêter ici davantage à ces corollaires particuliers de la théorie des polaires réciproques.

90. Pour compléter ce que nous venons de dire sur les polyèdres polaires, nous ferons observer que la droite ou diagonale qui appartient à deux sommets quelconques de l'un d'eux a pour réciproque la droite d'intersection des deux faces qui ont pour pôles ces mêmes sommets, e^ivice versa; qu'ensuite toute droite qui rencontre les faces de l'un des polyèdres ou leurs prolongements a pour polaire réciproque une autre droite (77), intersection commune de plans passant par les sommets de l'autre polyèdre et qui ont pour pôles respectifs les intersections de la première; qu'enfin tout plan ren-^ contrant les arêtes de l'un des polyèdres a pour réciproque (76) le point d'intersection commune de plans contenant les arêtes de l'autre.

91. En passant de ce qui précède aux surfaces, comme on l'a fait pour les simples polygonBs et les courbes, on en conclura que :

Une surface quelconque étant donnée et une surface du second ordre étant prise à volonté pour auxiliaire, il existe toujours une autre surface, polaire réciproque de la première, et qui est à la fais le Heu des pôles de ses plans tan'gents et l'em^etoppe des plans polaires des différents point» qui lui appartiennent.

Cette propriété est d'ailiears. réciproque entre les deux surfaces, c'est-àdire que :

. Si y en un point quelconque de l'une des surfaces, on mène le plan tangent correspondant, le plan polaire de ce point touchera C autre surface en un point qui sera réciproquement le pôle de ce plan tangent.

D'après cela, on prouve aisément encore (77) que :

Toute tangente en un point de l'une des surfaces a pour polaire une tangente à Vautre surface, en un point dont le plan tangent a réciproquement pour pôle le point de contact de la première.

92. Il est presque inutile de dire' que tout polyèdre inscrit à l'une des deux surfaces a pour réciproque un polyèdre circonscrit à l'autre, et vice versa. Quant aux polygones inscrits ou circonscrits, ils offrent des circonstances particulières que nous aurons occasion 'd'examiner plus loin.

Remarquons d'ailleurs que, quand l'une des surfaces est susceptible d'être engendrée en général par une droite mobile, c'est-a-dire lorsque c'est une surface réglée quelconque et non développable, l'autre en est nécessairement une aussi (77); or, il est aisé de prouver que la réciprocité observée ci-dessus, pour les surfaces polaires en général, aura encore lieu dans le cas actuel, c'est-a-dire que chacune de ces surfaces sera k la fois l'enveloppe des plans polaires des points de l'autre, et le lieu des pôles des plans tangents k cette autre.

Au contraire, quand les génératrices de la surface proposée se rencontrent consécutivement ou que cette surface est développable, les choses se passent tout différemment, et la réciprocité n'a plus lieu, comme on a déjà pu en juger d'après ce qui a été dit (82) à l'occasion des courbes k double courbure. Car, tandis que le lieu des pôles des plans tangents k une surface développable est simplement une courbe à double courbure, l'enveloppe des plans polaires de ses différents points e^^i au contraire une véritable surface développable comme la proposée, et qui est osculatrice de cette courbe; circonstances qui semblent tenir (82) a ce que, sous certains rapports, il est comme impossible de distinguer une courbe k double courbure de sa dévëloppable osculatrice, ou, ce qui revient au même, une dévëloppable de son arête de rebroussement.

Revenons au cas général des surfaces quelconques k double courbure.

93. Supposons que, en vue de découvrir le degré de la surface réciproque polaire d'une surface de degré m donnée dans l'espace, on considère une droite transversale arbitraire de cette réciproque : chacun des points d'intersection de cette droite aura pour réciproque (91) un plan tangent k la surface [m) passant (77) par la droite polaire de celle dont il s'agit; donc le degré de la polaire réciproque d'une surface [m) est égal k celui qui exprime combien, d'une droite donnée k volonté dans l'espace, on peut mener de plans tangents k cette surface (m).

Pour découvrir ce dernier nombre» nous supposerons que> de deux points quelconques de la droite proposée, on mène deux cônes enveloppes de la surface (m), les courbes de contact de ces cônes se couperont en des points qui seront évidemment ceux des points de contact des plans tangents de-

mandés, et leur nombre sera précisément égal à celui de ces plans; mais on démontre que la courbe de contact d'un cône circonscrit a une surface du degré m est sur une autre surface du degré m — i, quoique ce cône soit luimême du degré m {m-- i); donc les points de contact des plans tangents ci-dessus sont à l'intersection commune de la surface [m) et de deux autres surfaces du degré m — i; donc aussi leur nombre ou celui des plans tangents est, engrènerai et au plus,, m (m— i)^, et par conséquent :

La polaire réciproque d'une surface de degré m estf en général et au plus , du degré m[m — i)^.

C'est évidemment aussi, en général» le degré de toute section plane faite dans cette surface polaire.

94. On remarquera que tout cône circonscrit à l'une de nos deux surfaces a pour polaire réciproque (83) une section plane de l'autre, et vice versa; mais toute section plane faite dans une surface de degré m est elle-même du degré m\ donc (84) tout cône enveloppe de la polaire réciproque de [m) est du degré m[m— i) seulement, bien que le degré de cette surface polaire soit, en général, m(m— i)^, d'après ce qui précède. Supposons, par exemple, m= a : on aura à la fois m (m — i)* = a et m(/n — i) =a, c'està-dire que :

La polaire réciproque d'une surfojce du second degré est elle-même du second degré y et toute surface conique circonscrite à cette polaire est pareillement de ce degré.

En se rappelant (75) que le pôle et le plan polaire d'une surface du second degré ne sont autre chose que le sommet et le plan de contact d'une surface conique quelconque circonscrite à cette même surface, on conclura en particulier, de ce qui précède, qu'un pareil système a four polaire, à l'égard de la surface auxiliaire, un nouveau point et un nouveau plan qui ont entre eux la même corrélation par rapport à la surface du second degré réciproque de la proposée.

95. Considérons maintenant un polygone gauche quelconque inscrit à l'une (m) de nos deux surfaces réciproques {m) et (m') : il est évident (81 ) que son réciproque polaire sera lui-même un autre polygone dont les difTérent3 angles aux sommets seront simplement compris (91) dans des plans tangents à la seconde {m\) de ces surfaces, formant ainsi un polyèdre indéfini (80) circonscrit à cette surface suivant des points qui seront les pôles respectifs des plans tangents aux sommets du premier polygone. Or, les intersections consécutives de ces derniers plans tangents donnent lieu à un autre

solide indéfini circonscrit à la surface (m), et ayant à son tour pour réciproque le polygone formé par les points de contact déterminés sur [m*], pris pour sommets successifs de ce polygone; donc ces deux polygones inscrits, sans être réciproques polaires, sont néanmoins tels, que les côtés de Tun sont les polaires des arêtes du solide indéfini circonscrit aux sommets de l'autre , et que ses sommets sont les pôles des faces planes de ce même solide.

Les choses se passent d'une manière différente pour le cas où Ton considère un polygone circonscrit à Tune [m] des surfaces; car son réciproque est évidemment (91) lui-même circonscrit à l'autre {m')^ et ses angles ne sont plus compris dans des plans tangents à cette autre surface. On apercevra encore mieux la différence qui existe entre les deux cas, en supposant qu'on inscrive aux surfaces [m) et [m') les polygones qui ont pour sommets les points de contact des côtés des premiers; car les polyèdres circonscrits qui leur appartiennent renfermeront simplement sur leurs surfaces les contours des polygones circonscrits dont il s'agit, de telle sorte que les sommets de ceux-ci seront situés sur les arêtes respectives de ceux-là.

96. Passant donc au cas où les polygones inscrits ou circonscrits aux surfaces proposées deviennent des courbes véritables qui se confondent en une seule pour chaque surface, les polyèdres circonscrits deviendront des surfaces développables elles-mêmes circonscrites aux proposées suivant ces courbes, et dont chacune sera V enveloppe des plans polaires des points de la courbe de contact de Vautre : les arêtes de rebroussement de ces développables restant d'ailleurs distinctes de leurs courbes de contact, puisque les osculatrices développables de celles-ci, polaires réciproques (83) de ces arêtes, sont sup-» posées quelconques à l'égard des surfaces proposées. Quant aux degrés des développables et des courbes de contact de la figure réciproque, ils se détermineraient aisément par des moyens analogues à ceux qui ont été mis en usage précédemment.

Enfin, nous croyons devoir ajouter que, d'après les considérations précédentes et d'après la définition des tangentes conjuguées des surfaces, donnée par M. Dupin [Développements de Géométrie, p. 4^ et suivantes), le système de deux pareilles tangentes d'une surface a pour polaire un autre système de deux tangentes conjuguées de la réciproque de cette. surface.

97. Nous pourrions encore ici reproduire, sur les dépendances graphiques qui lient entre elles les surfaces polaires, des réflexions et des remarques analogues à celles que nous avons établies (n^* 67 et suiv. ) pour les simples

courbes tracée$ dans un plan; car les surfaces présentent» aussi bien que les courbes, des modifications de forme tout à fait particulières dans certaines régions de leurs cours. Ainsi , non-seulement elles ont des points multiples et conjugués^ des points de rebroussement et d'injlecvion, mais elles ont aussi des lignes tout entières, soit conjuguées, soit multiples, nommées lignes de striction, enfin des lignes d'inflexion et de rebroussement^ etc. : or, ces lignes et ces points singuliers donnent lieu à des considérations importantes, qu'il ne faut pas négliger dans la recherche du degré et des aiTections des surfaces polaires; mais, comme elles conduiraient à une discussion qui n'a de difficulté que la longueur, nous croyons, d'après ce qui a été dit du cas simple des courbes, devoir ne pas nous y arrêter en ce moment.

Ces observations s'appliquent d'ailleurs également aux points et aux courbes des surfaces polaires, qui sont à l'infini : ainsi, par exemple, tout point k l'infini de l'une de ces surfaces a pour polaire un plan tangent à l'autre, passant (75) par le centre de la surface du second ordre auxiliaire, et vice versa; or, le plan tangent en un tel point, qu'on peut nommer asymptotique de la surface correspondante, a pour pôle le point de contact du premier plan. La suite des points à V infini de l'une des surfaces est donc remplacée par la suite des plans tangents de l'autre, qui passent /?ar le centre delà surface du second degré auxiliaire, et la suite des plans asymptotiques de cette même surface est remplacée par la courbe des points de contact des différents plans tangents dont il s'agit; d'où il résulte, en particulier, que la deïeloppable asymptotique de l'une des surfaces est la polaire de la courbe de contact du cône, circonscrit à l'autre, qui a son sommet au centre de la surface du second ordre auxiliaire. Or, c'est ce qu'on aurait pu conclure immédiatement des principes qui précèdent (94), en se rappelant que tous les points à l'infini de l'esptzce doivent être censés appartenir à un plan qui a pour pôle (75) le centre dont il s'agit.

Pour les raisons déjà déduites ci-dessus, nous ne nous arrêterons pas à discuter ce qui arrive dans le cas où le plan à l'infini touche une ou plusieurs nappes de Tune des deux surfaces, ni les diverses autres circonstances que peuvent présenter en général les nappes infinies de ces surfaces.

. 98. Après ce qui vient d'être dit sur les surfaces polaires réciproques à l'égard d'une surface du second ordre prise pour auxiliaire, il ne sera pas difficile de découvrir ce qui se passe dans le cas où l'on considère un système de deux ou de plusieurs surfaces de degrés quelconques et le système de leurs polaires réciproques.

Pa> exemple, si Ton considère deux surfaces de degrés m et n et leurs polaires réciproques de degrés (93) m (m— i)*, n (n — i)^, il paraît évident: 1^ que la courbe d'intersection des deux premières surfaces, qui est du degré mn, aura pour réciproque une surface développabie circonscrite aux systèmes des deux dernières, et que cette développabie sera (84) du degré mn{mn — 1) au plus; a^ que la développabie circonscrite aiux surfaces (m) et (n) a aussi réciproquenoent pour polaire la courbe d'intersection des surfaces polaires m(m— i)*, n(/i-^ i)'^ laquelle est évidemment, en général, du degré mn{m^ i)* (n— i )'; 3^ que, par conséquent (84), la développabie circonscrite aux surfaces met n est elle-même au plus du degré /wi (m— i)*(n— i)* [mn(/n— 1)* (n— i)*— 1], et le nombre des plans tangents qu*on peut lui mener d'un point donné, lequel est aussi celui des plans tangents communs a la fois aux surfaces (m) et (n), passant par le point en question, ne peut surpasser le nombre mn (/w — 1)* (a — i)^ inférieur à celui de cette développabie, etc., etc.

99. Supposons encore que les surfaces (m) et {n) se touchent en un point ou aient un plan tangent commun en ce point : il est clair (91) que leurs réciproques se toucheront pareillement eu un autre point correspondant au premier; et, par suite, si ces mêmes surfaces (/n) et (n) se touchent en s'enveloppant suivant une courbe tout entière, leurs polaires réciproques se toucheront de même suivant une courbe tout entière , de telle sorte que chacune de ces courbes (96) pourra être considérée réciproquement comme le lieu des pâles des plans tangents qui appartiennent à Taulre, et dont Venve-loppe est la développabie circonscrite k la fois aux deux surfaces tangentes suivant cette autre.

Si d'ailleurs les deux surfaces (m) et [n], au lieu de se toucher suivant une courbe entière, ne s'osculaient que suivant une portion de courbe, c'est-à-dire si, au point commun à ces surfaces, deux courbes tracées sur elles avaient un contact d'un certain ordre, et que de plus les surfaces se touchassent simplement suivant la portion commune à ces courbes, il en serait de même encore de leurs surfaces polaires. Enfin, si les différentes courbes tracées sur les surfaces {m) et(n), à partir d'un point commun et dans la même direction, avaient toutes un contact de r ordre p entre elles, c'est-à-dire si ces surfaces avaient autour du point en question un contact de l'ordre p^ on voit que leurs polaires réciproques auraient i^n contact du même ordre au point qui correspond au premier.

lOO*, Mais il serait fort inutile de pousser plus loin ce rapprochement

entre les figures qui, dans l'espace, sont réciproques polaires Tune de l'autre . à l'égard d'une surface du second ordre prise pour auxiliaire; la discussion, aidée des principes généraux qui précèdent, suffira pour faire découvrir, dans chaque cas particulier, l'espèce de relations graphiques ou descriptives qui lieront entre elles la figure primitive et sa dérivée; de sorte qu'on sera toujours en état de traduire leurs propriétés de situation, et par la d'en découvrir de nouvelles si l'on en connaissait déjà. C'est ainsi, par exemple, que, pour le cas de l'espace, les propriétés àe^ polygones plans et des courbes planes se changeront (81 et 83) en d'autres appartenant aux angles solides et aux surfaces coniques; que les propriétés des courbes à double courbure se changeronten d'autres des 5Wir/â(?e5 c?eVe/c/?paWe5, et réciproquement; qu'enfin celle des polygones et des polyèdres inscrits aux courbes et aux surfaces se changeront en d'autres propriétés des polygones et des polyèdres^ indéfinis ou definisy circonscrits, au contraire, a de telles lignes et surfaces.

Au surplus, il est essentiel de le rappeler ici sur de nouveaux frais, l'échange dont il s'agit ne saurait avoir lieu pour toute espèce de propriétés ou de relations descriptives, mais seulement pour les propriétés de situation des figures, et qui, étant ainsi indépendantes de toute relation particulière de grandeur, se trouvent comprises parmi celles que nous avons nommées ailleurs propriétés projectiles,

101. Une autre remarque tout aussi importante, c'est que les propriétés des courbes et des surfaces ne pourront donner lieu à de nouvelles propriétés, lorsqu'on leur appliquera les considérations de la théorie des polaires réciproques, qu'autant qu'elles seront Ats propriétés de genre et non d'espèce, ou plutôt qu'autant qu'elles appartiendront à la fois à toutes les courbes et à toutes les surfaces, quel qu'en soit le degré. Je vais m'expliquer plus clairement.

Concevons sur un plan une courbe du degré m, sa polaire réciproque sera donc en général du degré m (m— i); cela étant admis, si la courbe proposée (m) jouit d'une certaine propriété ou relation graphique projective, on pourra, à coup sûr, traduire cette relation en une autre qui appartiendra à sa réciproque m[m'-' i). Mais celle-ci n'est que d'une espèce particulière (67) parmi toutes celles du même degré; donc on ne saurait affirmer que la propriété qu'on lui a découverte appartienne en effet à toutes les courbes de ce degré. Au contraire, si la propriété qu'on suppose déjà connue pour la courbe (m) est une propriété commune à la fois à toutes les courbes, quel qu'en soit le degré, c'est-à-dire si m est indéterminé, alors la

polaire réciproque m{m—i) en jouira en même temps que la primitive (m), et par conséquent celle-ci, dont le degré est d'ailleurs quelconque, jouira en même temps de la propriété réciproque, qui se déduit de l'autre par la théorie des pôles et polaires. Or, si la première propriété n'est pas ellemême sa réciproque» on en aura découvert une tout à fait diiTérente et tout aussi générale, puisqu'elle appartiendra en même temps à toutes les courbes géométriques.

Propriétés spéciales aux sur/aces du second degré.

102. Le cas des courbes et des surfaces du second degré fait exception à la règle que nous venons de poser, c'est-à*dire que toute propriété graphique et projective d'une telle ligne et surface peut se traduire immédiatement en une autre appartenant aux courbes ou surfaces diverses de ce degré, sans que, pour cela, cette propriété appartienne indistinctement aux courbes e(aux surfaces géométriques en général. Or, cela tient à ce que les polaires réciproques d'une courbe ou d'une surface du second degré sont elles-mêmes de ce degré (66 et 93); de sorte que les propriétés qu'elles possèdent doivent aussi appartenir à ces réciproques.

. Dans le Supplément placé à la fin du précédent volume du Traité des Pro^ priétés projectiles des figures ^ j'ai indiqué quelques-unes des conséquences qu'on peut déduire de cette remarque particulière, pour les surfaces du second ordre; ce qui précède met en état d'en découvrir beaucoup d'autres. Mais ayant principalement pour objet, dans ce Mémoire, la théorie générale des polaires réciproques, je me bornerai à un petit nombre de nouveaux exemples, dans la simple vue de faciliter l'intelligence des principes, et de montrer le degré d'utilité ou d'importance qui peut leur être propre dans les recherches relatives aux figures.

103. Considérons deux surfaces quelconques du second ordre : leurs réciproques polaires seront elles-mêmes deux autres surfaces quelconques de cetordrCt dont l'intersection mutuelle sera une courbe à double courbure du quatrième degré, polaire (98) de la développable circonscrite à la fois aux surfaces proposées, laquelle est ainsi au plus du douzième degré (84)(*).

(*) ^'^oycz, à la fin de ce volume {Section supplémentaire)^ une Note sur rabaissement ou réduction dont sont susceptibles, dans certains cas y les résultats numériques' des diverses formules de celte Section U, qui concernent les courbes à double courbure et les surfaces développables ou non développables dont il y est fait mention. — (Note de i865.)

Mais nous avons prouvé, dans TendroUdéjà cité ci-dessus {Supplément ^ 1. 1,

n** 611 et suiv.), que t les branches d*une telle courbe peuvent toujours

> être placées sur quatre surfaces coniques du second degré, dont les som-

> mets respectifs ont pour plans polaires communs» à l'égard des surfaces

> auxquelles ils appartiennent, les plans qui renferment les trois autres « sommets de c6nes semblables; > et, d'un autre côté, chaque cône a pour polaire, dans le système proposé ou primitif, une ligne du second ordre (94) dont les différents points appartiennent nécessairement (87) à la développable circonscrite aux deux surfaces de ce système, et qui est la pénétration commune de deux de ses nappes, c'est-à-dire que c'est une des lignes de striction de ces nappes; donc, en premier lieu :

La sur/ace dés^doppable circonscrite à deux surfaces quelconques du second ordre offre, en général, quatre lignes de striction distinctes, planes et du second ordre seulement.

Et, comme les sommets des cônes qui les remplacent dans le système réciproque ont mêmes plans polaires à l'égard des surfaces de ce système, il en résulte en outre que :

Les plans de striction du système primitif ont aussi mêmes pôles dans les deux surfaces proposées. Donc, d'après les articles 612 et 615 du tome I*', ces pôles sont^ à leur tour, les sommets des cônes du second ordre qui contiennent la courbe d^ intersection des deux surfaces proposées; mais, selon ce que nous venons de rappeler, chacun d'eux est aussi le pôle du plan qui renferme les trois autres; donc enfin ces quatre pôles sont, trois par trois ^ situés sur les quatre plans de striction^ c'est-à-dire qu'ils sont l'intersection mutuelle de ces quatre plans.

. Quant aux deux courbes de contact de la surface développable circonscrite à la fois .à deux surfaces quelconques du second ordre, il est facile de prouver qu'elles sont en général du quatrième degré, et placées à l'intersection respective des surfaces proposées et de deux autres surfaces comme elles du se-cond degré.

En effet, considérons en particulier la courbe de contact qui appartient à l'une (m) des deux surfaces, et supposons que, prenant cette surface pour auxiliaire, on détermine (91) celle qui est la polaire réciproque de l'autre (m'), cette polaire réciproque sera aussi du second degré ; mais, d'après sa nature, elle est le lieu des pôles des plans tangents à la surface {m') par rapport à la surface. auxiliaire (m), et d'ailleurs le pôle de tout plan tangent à cette auxiliaire se confond nécessairement (75) avec le point de contact même de ce plan; donc, si l'on recherche les points où la réciproque ci-des-

sus coupe la surface auxiliaire, les plans tangents à ces points seront en même temps tangents à la seconde {m!) des surfj^ces proposées; et par con* séquent la suite des points d'intersection pareils formera une courbe à double courbure du quatrième degré, qui sera précisément, sur (m), la courbe de contact de la développable circonscrite aux deux surfaces du second ordre proposées ^/7i) et [rnl). On déterminerait, de la même manière, celle qui appartient à l'autre de ces deux surfaces.

On remarquera que la courbe de contact, qui vient d^étre déterminée sur chacune des deux surfaces considérées, est précisément celle qui sépare entre elles sur cette surface Vombre^ h pénombre et la partie entièrement éclairée» quand on suppose l'autre surface lumineuse; or, ce qui précède donnerait lieu ii une construction assez simple de la courbe de séparation d'ombre et de lumière pour les surfaces du second degré, et qui n'exigerait d'autres instruments que la règle et le compas, lorsqu'une fois on aurait obtenu un seul point de la courbe dont il s'agit; ce qui est facile.

104. Considérons encore un système quelconque de surfaces du second ordre ayant une même courbe d'intersection; on prouve aisément que :

Les plans polaires qui répondent à ces surfaces et à un même point quelconque de l'espace, concourent tous suivant une même droite.

En effet, si, par le point donné, on conduit un plan quelconque, il rencontrera les surfaces proposées en autant de lignes du second ordre passant par les quatre points d^intersection de ce plan et de la courbe commune aux surfaces; or ce même plan ira déterminer, dans chacun des plans polaires du point donné, autant de droites qui seront évidemment (75), pour les courbes dé ce plan, les polaires du point dont il s'agit; et, d'après le n^ 388 du tome Y^ à\y Traité des Propriétés projectiles des figures, ces polaires passent toutes par un même point distinct du premier; donc aussi les plans polaires auxquels elles appartiennent vont concourir en une même droite, comme il s'agissait de le démontrer.

Cela étant posé, appliquons à ce système général les principes qui font Tobjet de ce Mémoire, c'est-à-dire recherchons ce qui se passe dans le système des surfaces du second degré polaires réciproques des proposées à l'égard d'une dernière surface quelconque du même degré prise pour auxiliaire; il est évident que ces nouvelles surfaces auront (98) une même développable circonscrite à la fois à tout leur système, et polaire réciproque de la courbe d'intersection commune à toutes celles du premier système. Or le point arbitraire de ce premier système sera remplacé par un plan, et

ses différents plans polaires, par rapport aux surfaces proposées , le seront par des points pôles respectifs (94) de ce plan à l'égard des nouvelles surfaces; enfin tous les points semblables seront situés (77) sur une ligne droite réciproque de celle où concourent, d'après ce qui précède, les plans polaires dont il s'agit; donc, tout étant (109) i*éciproque entre l'ancien et le nouveau système, on pourra en conclure la proposition générale qui suit :

Lorsque plusieurs surfaces du second degré ont une même déçeloppahle circonscrite, un plan quelconque a pour pôles ^ dans ces surfaces respectives , une suite de points rangés sur une même droite y qui contient (75) tous les centres de ces surfacfis quand le plan est supposé à V infini.

105. On démontre encore, par un genre de raisonnement analogue à celui que nous venons de mettre en usage précédemment, que:

Lorsque plusieurs surfaces du second ordre passent toutes par les mêmes huit points d'intersection, leurs plans polaires respectifs, par rapport à un point quelconque de ïespojce, concourent tous en une seule et même droite.

Passant donc à la figure polaire, on aura à considérer un système de surfaces du second ordre à la fois tangentes aux huit mêmes plans, ce qui est le plus grand nombre de plans qui puissent toucher en même temps trois surfaces quelconques du second ordre. Or, par les mêmes raisons que cidessus, le point arbitraire du système primitif est remplacé par un plan dans le nouveau système, et les plans polaires qui lui appartiennent sont remplacés par les pôles de ce plan pris relativement aux surfaces dérivées; donc, puisque ces plans polaires contiennent une même droite d'après le précédent théorème, les pôles qui les remplacent seront réciproquement (77) compris sur une autre droite; proposition qu'on peut énoncer ainsi :

Lorsque plusieurs surfaces du second ordre ont les huit mêmes plans tan-^ gents communs , un plan quelconque a pour pôles, dans ces sur/aces respectives, une suite de points rangés sur une seule et même droite.

Huit plans quelconques peuvent toujours être censés former par leurs rencontres successives, et lorsqu'on les prend dans un certain ordre, un octaèdre indéfini (80) ou à faces triangulaires; on peut donc énoncer plus simplement encore le théorème qui précède en cette manière :

Le lieu des pôles d'un plan donné, par rapport à une suite de surfaces de second ordre inscrites à un même octaèdre indéfini, est une Ugne droite qui contient à la fois (75) tous les centres de ces surfaces, lorsque le plan est supposé à l'infini.

Les principes établis dans le précédent volume du Traité des Propriétés pro-^ jectives, pour le cas des sections coniques, conduiraient k plusieurs autres théorèmes sur les systèmes de surfaces du second ordre, au moyen desquels on en déduirait d*autres tout aussi généraux à Taide de la théorie des polaires réciproques; de là ensuite on serait conduit à divers corollaires intéressants et utiles, qui permettraient d'aborder, d'une manière purement géométrique, plusieurs des cas généraux de ce problème très-difficile et jusqu'ici non complètement résolu :

Construire une surface du second ordre assujettie à passer par des points ou à toucher des plans et des droites en nombre suffisant pour la déterminer parfais tement de grandeur et déposition*

Mais nous ne saurions nous arrêter ici sur ces conséquences et ces théo-. ries particulières, qui d'ailleurs méritent .toute l'attention des géomètres.

106. Pour donner un dernier exemple propre, par l'étendue des conséquences qui en dérivent, à montrer les avantages que peuvent offrir les principes de la théorie des polaires réciproques, nous rappellerons que les propriétés projectis^es des surfaces du second degrés qui ont une section plane commune f réelle ou idéale, sont les mêmes (tome Y^^ Supplément, art. 637) que celles qui appartiennent aux systèmes de sphères quelconques ^ propriétés nombreuses et bien connues des géomètres. Or, si l'on applique à ces propriétés générales des surfaces du second ordre les principes qui font l'objet du présent paragraphe, on verra sans peine qu'elles se convertiront toutes en d'autres propriétés des surfaces du second degré qui» au lieu d'avoir un plan de section commune, ont (94 et 99) un cône enveloppe commun^ ce cône pouvant d'ailleurs être imaginaire comme la section dont il s'agit, et n'ayant alors de réel que son sommet et le plan indéfini de son contact avec chaque surface individuelle, c'est-à-dire le plan polaire de ce sommet. Dans cette transformation, d'ailleurs, les plans tangents communs deviennent des points communs, les sections planes deviennent des cônes enveloppes , et réciproquement, etc., etc.

De là résulte donc une foule de propriétés nouvelles des surfaces du second degré assujetties à toucher un même cône, et des moyens de construire ces surfaces d'après des conditions données; enfin on voit qu'on serait conduit pareillement aux propriétés générales des surfaces du second degré qui sont inscrites à la fois à deux côneSf ou qui se touchent suivant une courbe tout entière^ réelle ou idéale, en partant simplement de celles, si bien connues, relatives aux sphères qui ont, à V infini^ une section plane commune de

contact, ou qui sont concentriques [voyez le Supplément déjà cité, n® 630). Mais nous laisserons là ces applications particulières, que nous nous contenterons d'avoir indiquées et qu'il serait facile de multiplier, pour reprendre, dans le paragraphe suivant, l'exposition générale des principes de la théorie des polaires réciproques.

§' IV

Des relations d'angles relatwes aux figures polaires réciproques

dans un plan ou dans V espace.

107. Jusqu'ici nous nous sommes uniquement occupés des relations gra- -phiques ou descriptives des figures, celles qui ne concernent que la direction indéfinie, l'intersection et le contact des lignes et des surfaces; il nous reste à examiner ce qui a lieu pour les relations purement métriques^ ou qui n'ont trait qu'aux rapports généraux de grandeur des parties rectilignes et angulaires des figures.

Pour faciliter cet examen, nous remarquerons, en premier lieu, qu'il n'est pas nécessaire, comme nous l'avons fait précédemment, de prendre, pour courbe ou surface auxiliaire des pôles ou polaires, une ligne ou surface du second ordre, et que, sans rien ôter à la généralité des raisonnements et des conséquences, on peut tout aussi bien se contenter de choisir une circonférence de cercle ou une surface de sphère^ ce qui rend beaucoup plus simple la description des figures polaires de figures données, et l'étude des changements qui s'opèrent dans leurs propriétés métriques par suite de cette espèce particulière de transformation.

Rappelons d'abord, en peu de mots, les relations très-simples qui existent entre le pôle et la droite ou le plan polaires, dans les cas tout particuliers dont il s'agit.

108. Puisque le pôle d'une droite située sur le plan d'un cercle est, en général (55), le sommet de l'angle circonscrit à ce cercle, dont la corde de contact a pour direction indéfinie celle de cette droite, on en peut de suite conclure que, relativement à cette courbe particulière, la direction du diormètre ou du rayon qui renferme le pôle d'une droite quelconque est nécessaire m£nt perpendiculaire à cette droite; mais c'est ce qu'on pourrait aussi établir directement et sans restriction, en s'appuyant simplement sur la définition générale du pôle et de la polaire, posée art. 55.

Maintenant, si l'on remplace le cercle par une sphère quelconque, on

arrive à la même conséquence pour le pôle et le plan polaire dans Tespace; c'est*à-dire que le rayon ou le diamètre indéfini qui renferme le pôle d* un plan quelconque est perpendiculaire à ce plan.

Ce théorème se déduirait d'ailleurs du précédent, en considérant ce qui se passe dans les différents plans qui renferment à la fois le pôle et le centre de la sphère.

Le cas de l'espace donne encore lieu à la considération des droites m:iproques polaires (77); or il est également facile de reconnaître que, pour le cas de la sphère, le plan diamétral qui contient l'une de ces droites estperpen^ dicukUre à l'autre; de sorte qu'il existe un diamètre de cette sphère dont la direction est perpendiculaire à la fois sur ces droites, et qui se trouve divisé harmoniquement aux deux points oii il les rencontre. Il serait d'ailleurs inu* lile de rappeler ici les autres relations descriptives qui appartiennent aux polaires réciproques, et qui ont été exposées aux n^ 77 et suivants.

109. Ces préliminaires étant établis, nous considérerons d'abord les rela* tiens de réciprocité qui peuvent avoir lieu entre les ouvertures d'angles dans la figure proposée et dans celle qui en est la polaire réciproque à l'égard d'un cercle ou d'une sphère auxiliaire quelconque.

Soit ABC ifig* ^3, PL III) un angle quelconque situé sur le plan d'un cercle (S) de rayon arbitraire et dont le centre est S. Soient A' et C les pôles respectifs des côtés AB et BC de cet angle; les rayons indéfinis SA' et SC seront donc perpendiculaires à ces côtés, et l'angle en S ou A'SC sera supplé* ment de l'angle en B, qui comprend le centre S entre ses côtés, ou est égal à celui des angles en B qui, au contraire, ne comprend pas le centre S entre ses côtés; ces angles auront donc, dans tous les cas, mêmes sinus. Quant à la polaire du sommet B, elle devra passer par les pôles A' et C; ce sera par conséquent la droite A'C'qui, sous-tendant l'angle au centre Sou A'SC, est perpendiculaire à celle SB, qui joint ce centre au sommet B.

Si maintenant nous remplaçons le cercle (S) par une sphère, et les droites AB et BC par des plans quelconques, il arrivera pareille chose à l'égard des pôles A' et CI de ces plans, si ce n'est que la droite AX', qui les joint, sera la polaire même de l'arête B, commune à ces plans ou a l'angle qu'ils forment.

Dans le cas actuel d'une sphère (S), on peut aussi avoir à considérer, au lieu de deux plans, deux droites AB, BC se rencontrant en B, et formant par conséquent un angle plan; alors les choses se passeront un peu difTérem* ment; car les réciproques de ces droites ne seront plus des points, mais des droites A'B', C'B' situées elles-mêmes dans un plan (78) polaire du sommet B,

et dont rintersection B' sera, à son tour, le pôle du plan ABC. Néanmoins les plans SA'B', SB'C, qui contiennent respectivement ces polaires et le centre de la sphère, étant (108) perpendiculaires aux droites AB et BG, formeront encore entre eux un angle supplément de celui ABC de ces droites, qui est tourné vers le centre S; proposition qui aura même lieu pour deux droites quelconques dans l'espace, c'est-a-dire qui ne se rencontreraient pas, et pour les polaires réciproques appartenant à ces droites.

Quant à l'angle A'BX' formé par les polaires, il n'a aucun rapport déierminé avec l'angle ABC; en effet, d'après ce qui précède, il est le supplément de l'angle formé par les deux plans SAB, SBC qui contiennent le centre de la sphère ainsi que les droites AB, BC, et qui sont perpendiculaires aux réciproques A'B', B'C^ de ces droites; or cet angle dépend, comme on voit, nonseulement de Vouverture absolue de l'angle ABC, mais encore de S2l position à regard du centre S de la surface auxiliaire.

Enfin on peut avoir à considérer, dans le cas de l'espace, l'angle formé par un plan AB avec une droite BC; alors la direction du rayon SA qui renferme le pôle A' de ce plan, et la direction du plan diamétral SB'C qui renferme la polaire B'C de cette droite, formeront encore un angle égal à celui des deux angles en B, dont le côté et Védrey ou h/acCf ne comprennent pas entre eux le centre S, ou mieux ne sont pas dirigés vers ce centre.

En général, pour énoncer d'une manière simple les résultats qui précèdent et qui puisse les faire graver aisément dans la mémoire, on peut dire que c l'angle de deux droites, ou de deux plans, ou d'un plan et d'une droite quelconques situés dans l'espace, est supplément de celui sous lequel on voit leurs pôles ou polaires réciproques du centre de la sphère, prise pour auxiliaire, ou est égal à ce même angle, selon que ce dernier comprend ou ne comprend pas ce centre entre ses èdres ou côtés. »