APPLICATION DB LA M£TH0DB AUX LIGNBS DU SECOND ORDRE

143. Quadrilatère inscrit au système de deux droites; inpolution. — Soit ABCD {^g. 3i, PL IV) un quadrilatère quelconque, avec ses deux diago** nales AC et BD'se rencontrant au point 6, et dontE, F' sont les points de concours des couples de côtés opposés AB et CD, AD et BC. Soit ae une droite ou transversale arbitraire, rencontrant les directions indéfinies des

diagonales AC, BD aux points e,/, et celles deâ côtés AB, BC, CD, DA aux points a, 6,c, ^respectivement. On aura, en vertu du théorème fondamental de Carnot, et en tant que le triangle Eac se trouve coupé par le système des deux côtés opposés ADF, BCF du quadrilatère, considéré, comme une ligne du second ordre,

EA.EB ad.ab cD.cC

ED.EC cd,cb aA.aB

Le même triangle, coupé par le système des deux diagonales ACe, BD/* donnera pareillement

ED.EC aXsaB ce.cf EA.EB ' cD. cC ' ae.af *'

comparant entre elles ces équatioifs, on en déduira cette troisième

ah . ad cb.cd

ae . af ce . cf

i43 PROPRIÉTÉS PROIECTIYES DES FJGUBUS.

Il est clair qu'en traitant de même les triangles T&J, ç/*fi, qoi sont formés |)ar la transversale arbitraire efti par le couple des deux autres côtés op^ posés ou des diagonales du quadrilatère ADCD, on aurait également

ba.bc da.dc ea.ec fa^fc

be.bf de.df eb.ed fb-fd

relations qui, étant combinées entr^ elles et avec la précédente par voie de multiplication ou de division, donnent lieu k ces quatre autres

ec.ab.df= eb.af.de, ea.cd.bf=z cd.cf.ab, ad.be.cf:=^ ae.be. d^, ad.bf.ce = de.af.bc.

Ce sont là, -en effet, les sept relations démontrées par M. Brianchon dans son Mémoire sur les lignes du second ordre, imprimé a Paris en 1817; relations qui, diaprés Desargues, expriment que les six points d'intersection a, by c, df e, / de la transversale arbitraire sont en invoUition.

On sait d'ailleurs que l'une quelconque d'entre elles comporte nécessairement les six autres, qui ainsi n'expriment individuellement que la même propriété de situation Ses points auxquels elles s'appliquent, savoir : que, c si l'on décrit, à volonté, sur un plan, un quadrilatère simple quelconque, 1 dont les cètés et les diagonales, à la réserve d'un seul ou d'une seule» * soient assujettis à passer respectivement par cinq quelconques de ces > points pris dans un ordre convenable, le dernier côté ou la dernière » diagonale ira naturellement passer par le dernier point. >

1 44. Quadrilatère inscrit à une conique quelconque; théorème de Desargues. — Supposons maintenant qire le quadrilatère ABCD soit inscrit à une ligne du second ordre quelconque, comme il l'est en effet au système indéfini des deux <)iagonales AC et BD; soient^' et/' les nouvelles intersections de la transversale ai^bitraire ^avec la courbe, intersections qui -peuvent d'ailleurs être réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues en une seule, etc., on aura d'abcrd, entre les six points a, 6, c» d, ^,/, les sept relations ci-dessus. De plus, si l'on considère, à son tour, la courbe comme transversale des triangles formés par l'arbitraire ef, soit avec chacun des couples de côtés opposés du quadrilatère ABCD, soit avec le système des diagonales de ce quadrilatère, on en déduira trois .nouvelles équations qui, étant combinées entre elles et avec les précédentes par voie de division ou de multiplication, conduiront à sept autres relations indépendantes des points e et /des diago^ nales, et qui exprimeront que les intersections e',/', relatives à la courbe, jouent, par rapport aux intersections a, &, c, d des côtés du quadrilatère,

SECTION IIL - ANALYSE DES TRANSVERSALES. i43

absolument le même rôle que les intersections propres e^/Aes diagonales; proposition qui a son analogue pour les courbes géométriques d*un ordre quelconque, comme on le verra plus tard, et qui peut s'énoncer ainsi d'une manière fort simple :

Un quadrilaiére quelconque étant inscrit à une Ugne du second ordre^ toute transversale coupe les côtés de ce quadrilatère et la courbe en six points qui sont en inçoluiion.

Ce principe, comme on sait (* ), est d'une fécondité remarquable : outre qu'il conduit immédiatement, et par forme de simples corollaires, aux propriétés des pôles et polaires des lignes du second ordre, k celles de la division harmonique des lignes droites, au tracé des tangentes, etc., il permet encore de construire directement les courbes du second degré par points, soit à l'aide du calcul, soit par de simples intersections de lignes droites. Mais ces dernières qualifés, il ne les possède pas d'une manière exclusive, et l'on arrive aux mêmes résultats, plus rapidement encore, en partant directement de notre principe fondamental, qui a Tavantage de s'appliquer immédiatement aux lignes et surfaces géométriques de tous les ordres, et qui, en particulier, définit ou caractérise celles du second ordre, de la manière la plus générale et la plus précise, comme on va le voir.

1 45. Tracé par points des coniques. — Soient {jîg* 3a )/), p\ y, q' et r cinq points choisis arbitrairement sur le périmètre d'une ligne du second ordre; traçons lesdroites jd/i', qq' se rencontrant en 6, et proposons-nous de trouver l'intersection r'-de la courbe avec une droite quelconque rr' qui, passant parr, rencontrerait en a et c? respectivement les^deux premières. Le tri* angle abc^ considéré comme transversale de la courbe, nous donnera, pour déterminer r\

ap , n p' bq . bq' cr, cr'

TpTîi/ cq.cqf ûr.ar^ *

relation dans laquelle tout est connu sauf te rapport de cr^ à ar'\ on pourra donc calculer ou construire géométriquement ce rapport, et, par suite, obtenir lepoîntr' sur la direction rr'\ car, quoiqu'il y ait deux points qui résolvent la- question par rapport aux sommets a et c du triangle abc^ il ne saurait néanmoins y avoir ici aucune incertitude sur la véritable position de celui r* dont il s'agit [voyez le n® 149 ci-après). Faisant donc varier

la position de la droite /r', ou ac, autour du point r, on obtiendra successi-

«^— «^».— I «II» I . ■ I i.i ■ I ■ ■ II» . ■

(*) Foyez le Mémoire déjà cité de M. BrianchOD, ainsi que le tome l**^ des Propriétés projto Upet dcffigureSf Sect» S, Cli«p. L

i44 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

vemeDt tous les points de la ligne du second ordre qui passe par les cinq

points donnés/?,/?', y, ^r' et r.

On simplifiera un peu Téquation ci-dessus et par conséquent le calcul ou le nombre des opératioos nécessaires pour trouver le point r, en traçant, une fois pour toutes> la transversale qr qui rencontre en K le côté du triangle abc dont les points ^ et r ne dépendent pas ; car cette transversale donnera lieu à la nouvelle équation

ar cq 6K

cr' bq' ÔK *

de laquelle on tire, après l'avoir multipliée par la précédente,

ap.ap' bq' cr' bK

bp. bp' cq' ar' ' aK

Au lieu de déterminer directement r' sur la droite r&, on pouri*ait encore se borner à construire le point L où la direction de bc est rencontrée par celle de/?'r\Or, en considérant/^' r' L comme une nouvelle transversale du triangle abc, on aura

ar' bi/ c L cr'. ap' TL '

et, en multipliant par la précédente,

ap bq' bK cL

bp cq' aK bL '

nouvelle équation où tout est connu, sauf le rapport de cL a bL, qu'elle servira k déterminer ainsi que le point L dont dépend finalement r\

146. Tracé ^.détermination des tangentes. — Veut-on supposer maintenant que les points r et q, par exemple, au lieu d'être distincts, soient confondus en un seul, ou que Krq soit une tangente de la courbe en ce point? On le pourra, car il n'y aura rien à changer dans l'égalité obtenue en dernier lieu.

Cette relation, jointe aux précédentes, sera donc très-propre à déterminer la tangente au point dont il s'agit, à l'aide des quatre autres points quelconques />, p\ q' et r' de la courbe.

Pareillement encore, les points r, q, q\ p' étant donnés, on pourrait supposer que/?' et r' vinssent, à leur tour, se confondre en un seul, sans que les relations dont il s'agit éprouvassent aucun changement, de sorte qu'elles ne cesseraient pas de donner la direction de hr'p' devenue une tangente de la courbe.

Enfin, pour rendre ces mêmes relations indépendantes de la position res-

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i45

pective des points/? et ^, on tracera la droite /)y', rencontrant enl le côté opposé ac du triangle abc; et, la considérant comme une nouvelle transversale de ce triangle, on aura

bp cq' al .

ap' bq' ' cl '

équation qui, multipliée par la dernière des précédentes, conduit à cette autre

6K cL al aK' 6L "cl""^''

laquelle, ne renfermant aucun des segments relatifs aux intersections de la courbe et du triangle abc^ subsiste évidemment quelle que soit la position respective de l'un et de l'autre, pourvu seulement que leurs intersections ne soient point imaginaires, et qu'aucun des côtés de ce triangle ne passe à l'infini.

147. Remarque générale. — Quoi qu'il arrive, on pourra toujours débarrasser la relation dont il s'agit des segments qui la rendent illusoire, en imaginant, par les intersections correspondantes, soit une nouvelle section conique quelconque ou même une simple circonférence de cercle, si ces intersections sont entièrement impossibles, soit de nouvelles droites quelconques si ces intersections sont seulement éloignées à l'infini sur le plan de la figure; après quoi on se servira des relations qui appartiennent à ces différentes lignes, pour éliminer de la proposée tous les segments qui proviennent des intersections impossibles.

Je reviendrai bientôt sur la combinaison des lignes du second ordre que suppose la première hypothèse; quant à la seconde, j'admettrai, pour oflVir un exemple, que ce soit le côté bc qui s'éloigne à l'infini sur le plan du triangle, et je me proposerai d'éliminer, de la dernière des relations ci-dessus, les segments 6L et cL qui appartiennent à ce côté et dont le rapport devient seul indéterminé, puisque celui des segments infinis 6K et cl, qui ne diffèrent entre eux que d'une quantité donnée, doit être censé égal à l'unité.

Traçant donc une droite quelconque, telle que KT [fig. 32), qui contienne le point L censé à l'infini ^xxv p'r\ ou, ce qui revient au même, qui soit parallèle à la droite jcV» on aura, en nommant K' et F ses intersections avec les côtés ab et ac du triangle, la nouvelle équation

6K' cL ar aK'' bh^ cV^^'