II

i46 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

qui, étant divisée parla proposée, membre à mem'bre, donnera

6K' cl «K al' aK al

bK"^'' ^' al -'' ''" «K'-"ar*

attendu que les rapports de SK' k iK, de cl à cV sont égaux à l'unité. Or cette dernière relation, qui est indépendante du point à l'infini» n'exprime évidemment autre chose que le parallélisme de la droite K'T avec celle qui joindrait les points K et I obtenus comme il a été dit ci-d-essus.

148. Hexagone inscrit aux coniques. — On peut arriver tout d'un coup à

l'équation

frK.cL. al

relative au cas général. Car, en tant que la courbe est considérée comme transversale du triangle abCf on a

ap-ap* X bq . bq' X cr. cr'

bp.bp' X cq.cq'Xar.ar' *

et, en tant que le même triangle est censé coupé par le système des trois droites yrK,/?VL, q'pïf on a aussi

bp.bp''XbKxcq,cq'XcLxar.ar' Xal ap.ap'X.bKxbq,bq'X,bhy<cr.cr' Xcl'^ '

équation qui, multipliée par la précédente, redonne celle dont il s'agit.

On remarquera d'ailleurs que les six points jo,p', y, q'f r, r' peuvent être censés pris, d'une manière entièrement arbitraire, sur le périmètre de la courbe proposée, et ne sont autre chose que les sommets de l'hexagone quelconque pq'qrr'p'p inscrit à cette courbe. Or je dis que la relation qui vient de nous occuper et qui concerne les points de concours I, K, L, des côtés respectivement opposés de cet hexagone, exprime que ces trois points sont toujours situés en ligne droite.

En efîet, il suffit évidemment de prouver qu'ils sont en nombre pair sur le périmètre même du triangle a&c, ou en nombre impair sur les prolongements de ses côtés; ce qui est incontestable puisque les six intersections de ce triangle avec la courbe, et ses neuf intersections avec le système des trois transversales qr¥i, p'r'L^ q'pl^ parmi lesquelles se trouvent les I, K, L, sont elles-mêmes en nombre pair sur le contour de ce périmètre, ou en nombre impair sur ses prolongements, de sorte qu'en retranchant, des neuf dernières

intersections» les six premières, les intersections restantes doivent nécessairement se trouver aussi dans les mêmes circonstances.

149. Remarques générales. — Pour bien saisir l'esprit de ce raisonnement, il est essentiel de remarquer que les relations du genre de celles qui nous occupent peuvent fort bien subsister entre les segments de points situés sur les côtés d'un triangle ou leurs prolongements, sans que, pour cela, ces relations expriment nécessairement une propriété relative .à une certaine ligne géométrique ou à une combinaison de droites ou de lignes de cette espëce. Le théorème général de Garnot suppose en effet implicitement que les intersections considérées se trouvent en nombre égal sur chaque côté; que l'on ne néglige aucune de celles qui peuvent être confondues avec d'autres^ imaginaires ou situées à l'inBni; que les produits des segments soient pris dans Tordre qu'assigne l'énoncé du théorème; qu'enfin et notamment les intersections réelles soient en nombre pair sur le périmètre même du triangle ou du polygone transversal, en regardant 2^n> comme un nombre pair.

Les premières conditions sont évidentes par elles-mêmes; quant k la dernière, elle est une conséquence inévitable du principe de continuité . appliqué aux intersections des courbes décrites en vertu de lois géométriques quelconques. En effet quelle que soit une telle courbe, on pourra toujours construire, d'une infinité de manières différentes, un triangle ou un polygone qui, étant considéré comme transversal de cette courbe, ne contienne aucun des points de celle-ci sur le contour même de son périmètre. Supposant donc que ce polygone change de position et de grandeur, par degrés insensibles ou continus, de manière à venir coïncider finalement avec le polygone considéré,, il parait évident qu'attendu la continuité de la courbe, une branche quelconque de cette courbe ne pourra pénétrer dans l'intérieur du polygone variable que de deux manières différentes : i® en passant par l'un de ses sommets; :2^ en devenant tangente à Tun de ses côtés. Dans l'un et l'autre de ces cas, le nombre des intersections de la courbe» qui sont venues se placer sur le périmètre même du polygone, sera de s, d'abord confondus en un seul sur le même côté ou sur deux côtés différents, mais bientôt distincts. La même chose ayant lieu pour de nouveaux points d'intersection qui passeraient du dehors au dedans du périmètre du poly-* gone et réciproquement, on voit que le nombre effectif des points réels qui se trouvent situés sur le contour de ce périmètre est nécessairement pair, ainsi que noui^ l'avons avancé.

La même conséquence peut se déduire aussi de la considération des chan*

i48 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

gements de position et de signe que doivent subir, dans la relation proposée ou sur la figure, les différents segments qui appartiennent aux intersections des côtés du polygone et de la courbe; car, d'après la forme même de cette relation, il est clair qu'aucun des segments dont il s'agit ne peut devenir nul ou négatif sans qu'aussitôt un segment, appartenant à un point différent, ne devienne nul ou négatif en même temps, et sans que par conséquent deux points distincts ne quittent simultanément le périmètre du polygone transversal, ou ne viennent s'y placer a la fois.

Ces remarques nous seront principalement utiles pour la partie de ces recherches qui concerne les applications de la théorie des transversales aux lignes géométriques d'un ordre quelconque.

150. Système de coniques à intersections communes; imolution. ^- On vient de voir avec quelle singulière facilité la théorie des transversales conduit aux propriétés les plus générales et les plus fécondes des lignes du second ordre, car nos lecteurs auront reconnu, dans celle qui a été démontrée en dernier lieu, sur l'hexagone inscrit à ces courbes, le théorème de Pascal quir est fondamental, et qu'on retrouve dans presque toutes les recherches relatives aux propriétés de situation des figures. Il nous reste maintenant à prouver que la même méthode s'applique, avec une égale facilité, aux systèmes de courbes du deuxième degré.

Considérons, par exemple, l'ensemble de deux lignes du second ordre quelconques situées dans un même plan, ainsi que l'un des trois couples formés respectivement par celles de leurs cordes ou sécantes communes qui sont conjuguées deux a deux (t. I^'', Sect. III) ou se rencontrent hors du périmètre des deux courbes; je dis que, si l'on vient à couper ces courbes et l'un quelconque des couples dont il s'agit, par une droite ou transversale arbitraire, les six intersections ainsi obtenues seront en involution entre elles (144 et 145).^

En effet, cette transversale et les deux sécantes conjuguées déterminent, par leurs rencontres mutuelles, un triangle qui, étant considéré successivement comme transversale des lignes proposées, donnera lieu à deux relations qui ne différeront entre elles que par les produits des couples de segments appartenant aux intersections de la droite arbitraire, puisque les intersections relatives aux deux sécantes communes sont censées les mêmes pour les deux courbes. Divisant donc ou multipliant ces relations de manière à éliminer les segments relatifs à ces dernières intersections, on en déduira une autre qui, ne contenant plus que les produits dont il s'agit, se con-

SECTION III. — ANALYSE DES TRANSVERSALES. i49

fondra avec Tune des six équations établies au n^ 143 ci-dessus, dont nous avons vu qu'une seule entraine avec elie les cinq autres et suffit pour établir qu'il y a irwolution entre les six points correspondants.

Substituons maintenant, à l'une de nos deux courbes, une troisième section conique qui ait les mêmes intersections qu'elles ou les mêmes sécantes conjuguées communes, il est clair qu'elle donnera li^u à une nouvelle équation analogue à la précédente. Enfin si l'on élimine, à leur tour, de ces dernières équations, les produits de segments relatifs aux sécantes communes, on en obtiendra une troisième, toujours de la même forme et ^ui donnera lieu à ee théorème fondamental :

Les intersections d'une droite ou transversale arbitraire avec trois lignes du second ordre quelconques, ayant les mêmes intersections ou les mêmes sécantes communes, forment entre elles une inçoUition de siôc points ( * ) .

Cet énoncé s'étend évidemment au système de trois surfaces du second ordre quelconques, 'coupées par une transversale arbitraire et qui ont la même courbe d'intersection commune.

151. Généralisation. — Plus généralement, soit {fig* 33) le système de deux sections coniques quelconques situées sur un même plan; soit abc un triangle formé par leg intersections de trois transversales arbitraires a6, bc et ca, dont la première rencontre nos deux courbes aux points/? et/?', P et F respectivement, la seconde aux points q et q\ Q et Q', la troisième enfin aux points r et r', R et R'; on aura, en vertu du principe de Carnot,

ap . ap' X bq . bq' x cr. cr'

bp,bp' Xcq.cq' Xar.ar' '

gP.aFX bQ.bQ'Xcl^.cW 6P.6P'xcQ.cQ'XaR.aR'""''

(*) Ce théorème, qui, ainsi que ses inverses [vojrez plus loin n°i53), renferme une des premières applications que nous ayons faites de l'Analyse des transversales, sera étendu, dans la seconde partie de ces recherches, aux lignes et surfaces géométriques de tous les ordres, et nous conduira à un grand nombre de conséquences curieuses. M. Sturm, qui, le premier, en a donné une démonstration analytique pour les lignes du second ordre, s*est attaché à en montrer la fécondité dans un excellent Mémoire inséré à la page 173 du tomeXVïI des Annales de Mathématiques^ et dont la suite^ qui devait contenir les applications du théorème inverse, n'a point été publiée, au grand regret de ceux qui cultivent la Géométrie. Parmi les choses remarquables que contient la partie de ce Mémoire qui a reçu le jour, se trouve, entre autres, une démonstration de la propriété de Thexagone inscrit de Pascal, fondée absolument sur les mômes principes que celle que nous en avons donnée ci-dessus n*' 148, et à laquelle nous étions parvenu dix ans auparavant.

t5o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

et par conséquent

ap . ap' X bq . bq' X cr. cr' 6P.6FX cQgQ'X (gR^R' __ bp.bp* X cq.cq' X ar.ar' ^ aP.aP'X *Q.6Q' X cR.cR' "" ' *

Supposons en particulier que les six points p^ q^ r, F, Q, R soient pris sur une troisième ligne du second ordre quelconque» il est clair qu'en vertu même du principe cité, tous les segments relatifs à ces points disparaîtront de la relation ci-dessus» et que la nouvelle équation n'exprimera autre chose si ce n'est que les six derniers points/)', qf^ r', P', Q', R' se trouveront, de leur côté, sur une troisième section conique conjuguée à la précédente.

Supposons encore qu'un ou plusieurs des points appartenant aux mêmes transversales ou aux mêmes côtés du triangle ahc soient communs aux deux lignes du second ordre proposées, ou se confondent deux à deu^; les segments relatifs à ces points disparaîtront de la relation dont il s^agit, qui demeurera toujours propre à faire trouver l'une des intersections restantes au moyen de toutes les autres.

Par^exemple, si les points r et R, r' etR' se réunissent respectivement en un seul ou deviennent communs aux deux courbes, auquel cas la transversale ttc se changera en une sécante ou corde indéfinie commune à ces courbes, on aura, entre toutes les intersections restantes, la relation

ap.ap'Xbq.bq' 6P.6P^x cQcQ' bp.bp'>:cq.cq'^aV.a?'XbQ.bQ'~^'

qui pourra servir à construire l'une des deux courbes au moyen de l'autre et de certains points donnés, sans qu'il soit nécessaire, pour cela, de recourir aux intersections communes de ces courbes, lesquelles pourront ainsi devenir imaginaires ou se confondre par couples sans que les constructions cessent d'être applicables.

Si les points q' et Q' se réunissaient, à leur tour, en un seul commun à- la fois aux deux courbes, la relation ci-dessus se simplifierait encore; et elle exprimerait, conformément a ce qui a déjà été démontré précédemment, que les six intersections appartenant à la transversale ab sont en involuùon; si, de plus, il arrivait que les points^ et Q se confondissent également en un seul commun à la fois aux deux courbes, etc., etc.

152. Cas des intersections imaginaires ou coïncidentes. — Enfin on pourrait encore faire intervenir de nouvelles transversales rectilignes contenant, deux par deux, les intersections des .proposées, et éliminer de la relation primitive tout ce qui leur appartient en commun. Ces intersections pourraient

SECTION III. -^ ANALYSE DES TRANSVERSALES. i5i

donc devenir inoaginaires, ou se confondre par couples» sans que la relation transformée cessât, pour cela, de conserver une signification réelle, et de fournir des moyens de construire Tune des deux courbes à Taide de l'autre, censée décrite, et de certaines données. En particulier, il en résulterait des méthodes pour le tracé des osculatrices des lignes du second ordre assujetties en outre à remplir certaines conditions; mais, comme ces méthodes se trou* vent indiquées, pour la plupart, dans la Section III du tome I^ du Traité des Propriétés projectiles, et qu'elles sont susceptibles de s'étendre, d'une manière analogue, aux osculatrices des lignes géométriques de tous les degrés, nous n'en dirons pas davantage pour le moment, et renverrons le lecteur soit au volume dont il s*agit, soit au § II de la Section IV de celui-ci.

Notre objet étant ici uniquement de faire pressentir la fécondité du principe des transversales, il conviendrait peu de nous étendre sur les nombreux corollaires qui peuvent découler de son application particulière aux lignes du second ordre, corollaires qui se trouvent également exposés dans le Traité des Propriétés projectives, et qui sont trop connus des géomètres pour exciter désormais l'intérêt. Seulement nous ferons remarquer que beaucoup de ces corollaires seraient difficiles k établir si l'on voulait y appliquer directement le principe de Carnot, tandis qu'on les obtiendra sans aucune hésitation, en combinant les conséquences immédiates de ce principe avec les considérations qui résultent de la Théorie des polaires réciproques, considérations qui permettent de traduire, sur-le-champ, chaque théorème sur les intersections des lignes courbes, en un autre sur leurs tangences.

153. Théorèmes réciproques relatifs aux systèmes de coniques. — C'est ainsi, par exemple, que le théorème de Pascal, sur l'hexagone inscrit aux lignes du second ordre, qui a été démontré au n^ 146 ci-dessus, conduit immédiatement a celui de Brianchon, sur l'hexagone circonscrit à ces mêmes lignes, et que, des théorèmes établis aux n^* 143, 144 et 149, on conclut également ceux qui suivent :

< 1^ Si d'un point, choisi à volonté sur le plan d'un quadrilatère corn- » plet formé par la rencontre mutuelle de quatre droites quelconques, on » mène d'autres lignes droites aux six sommets de ce quadrilatère, ces six * lignes droites seront en irwolution, c'est-à-dire telles, qu'en les coupant » par une transversale arbitraire, les intersections qui en résulteront for-

> meront elles-mêmes entre elles une involution (144). >

c a^ Un quadrilatère simple quelconque étant circonscrit à une ligne du

> second ordre, si, d'un point choisi à volonté sur son plan, on mène des

droites vers ses quatre sommets et de plus deux tangentes à la courbe, ces six lignes droites seront en inçolution. >

c 3^ Trois lignes du second ordre quelconques étant inscriptibles à la fois dans le même quadrilatère, ou ayant les mêmes centres d'homologiCf c'est-à- dire les mêmes points de concours des tangentes communes, les six tangentes menées, d*un point arbitraire, à ces sections coniques, sont en inçolution. >

Ces mêmes théorèmes et tous leurs analogues pourraient, au surplus, être déduits directement de la proposition générale qui a été démontrée aux n^* 129 et 130 de la précédente Section. Mais, sans plus m'arrêter sur ces corollaires, je me hâte de dire quelques mots touchant les applications de la théorie des transversales aux lignes du troisième ordre.