SU

ïn.paql (^^) =sin,qarl (^^^sm.parl [^^ ,

pour remplacer celle du n^l65 dans le cas où les trois transversales arbitraires de la courbe convergent en un même point a [fig^k^]* en formant entre elles des angles dont, conformément aux hypothèses faites tacitement dans les raisonnements qui précèdent, le plus grand de tous est censé Tangle/^oy comprenant or dans son intérieur.

169. Jusùficcuion de ces résultats par voie géométrique. — Mais, ainsi qu'il a déjà été observé au n^ 53, relativement aux centres de moyennes harmo^ niques, il n'est nullement indispensable de recourir aux transformations algébriques pour se convaincre que la relation ci-dessus s'étend aux lignes géométriques d'un ordre quelconque, comme elle s'applique également aux systèmes composés de simples lignes droites, d'après les considérations purement élémentaires du n^51.

Rappelons-nous, en eiïet, la manière dont on parvient aux relations linéaires et purement descriptives des n^' 175 et suiv. (y^^-36), relations directement applicables (177) au cas où les transversales a&, oc, bc concourent en un même point a, et observons que si, des trois derniers points en ligne droite obtenus sur ces transversales, on remonte successivement au système des six points qui appartiennent à une même ligne du second ordre, à celui des douze points qui appartiennent à une même ligne du

(*) Section l'*, relative avx centres de mo/ennes harmoniques, n^4 et saivaDts.

i8o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

quatrième ordre, etc., od aura à considérer ud égal QOihbre d'équations, de la forme de celle ci-dessus, qu'on obtiendra en combinant, de proche en proche, par voie d'addition ou de soustraction, toutes celles qui, d'après leii^51 déjà cité, se rapportent tant à la droite qui contient les trois derniers points, qu'aux diflerenta systèmes de droites auxiliaires (175) qui servent à remonter, de ces points, aux six précédents, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on soit parvenu aux intersections mêmes des transversales ap^ aq tlar avec la courbe proposée.

A l'inverse, en partant de la relation qui convient au système total de ces intersections, et en opérant d'une manière analogue k celle qui a été mise en usage dans les n^M75 et 176, mais en substituant toujours les additions

aux multiplications, les soustractions aux divisions, on retombera finalement sur les relations descriptives mêmes auxquelles on est parvenu pour le cas de trois transversales dirigées d'une manière quelconque.

Quant à la relation générale dont il est question aux n^51 et 53, on s'assurera aisément qu'elle n'a pas lieu pour les courbes géométriques, bien qu'elle soit applicable aux simples systèmes de lignes droites; ce qui tient à ce que la diversité des coefficients numériques dont ses termes sont affectés s'oppose à ce que, dans les opérations ci-dessus, les éliminations de segments puissent s'opérer par de simples additions ou soustractions des égalités relatives aux transversales rectilignes. Telle est aussi la manière dont on doit entendre, dans le cas présent [voyez l'Introduction de cette Section, p. 1^7 et suiv.), que les propriétés concernant les systèmes de lignes droites

peuvent s'étendre aux courbes géométriques d'un ordre quelconque.

190. Autres transformations de la relation fondamentale. ■— Il résulte d'ailleurs, de ces rapprochements et de ce qui a été exposé au n** 54 (Sect. P®), que, si l'on suppose {fig*l\o) le faisceau des trois transversales o^, ar^ap^ coupé en A, B, C respectivement par la droite arbitraire AC, on aura, pour remplacer la relation du n^ 188 ci-dessus, cette autre équation

ACx2(^^)=ARxz(^WrCx2(^), \arj \apj \aq )

qui a l'avantage particulier de ne pas devenir identique ou insignifiante quand on suppose le point de concours a à l'infini, .ou les transversales ap^ aq, or parallèles. En effet, elle devient simplement alors

AC2(Rr) = AR2{C;;)-hBC2(Ag),

AC étant la plus grande des trois distances AB, AG et BG.

SECTION IIL - ANALYSE DES TRANSVERSALES. i8i

191 . Réduction des équadons d' insolation quand les deux points d'origine se confondent en un seul. — Je ne m'arrêterai point k montrer comment ces dernières relations peuvent être déduites directement (*) de l'équation générale du n® 188» ni comment elles peuvent être étendues à un nombre quelconque de transversales convergeant en un point unique et situées dans un même plan, s'il s'agit de courbes géométriques données dans ce plan, ou d'une manière arbitraire dans l'espace, s'il s'agit de surfaces géométriques en général.

Quant aux relations des n^* 180 et suivants, qui expriment {fig. 37 et 38) qu'il y a inçohuion simple entre les systèmes de points /?, p\ /?'',...» et P, P', F',..., rangés sur la transversale ab, par rapport aux intersections a, b de cette transversale avec les deux autres ac et 6c, il est aisé de voir qu'elle se réduit simplement à la suivante, lorsque ces intersections se confondent en une seule a [fig- 4^)1

OU à cette autre, si l'on adopte les conventions du n^ 190,

équation qui, à son tour, se réduit à cette égalité plus simple encore, quand le point de concours a des transversales passe à l'infini, ou que ces transversales deviennent parallèles entre elles,