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î^8 PROPRIÉTÉS PR0JBCT1VE8 DES FIGURES.

des transversales de la courbe se trouvent situés sur cette courbe, ni quand un ou deux de ces sommets se sont éloignés k Tinfini sur son plan. Mais toutes ces nouvelles relations se réduisent, ainsi que la primitive, à des identités de la forme i =£ i , quand ce même triangle vient à s'évanouir complètement» soit que d'ailleurs les directions indéfinies de ses côtés restent distinctes en convergeant en un point unique, soit que deux quelconques d'entre elles se réunissent en une seule également distincte de la troisième.

Toutefois, les relations purement descriptives et linéaires auxquelles nous sommes parvenu aux n®* 175, 176 et 183, en éliminant successivement de celles dont il s'agit tous les segments qui y entrent, ces relations, dis-je, ne cessant nullement d'être applicables au système des transversales, et devant être considérées comme les traductions immédiates des relations métriques dont elles dérivent primitivement, il faut bien encore que l'indétermination de celles-ci tienne purement au changement de forme qu'elles doivent subir dans la nouvelle hypothèse.

188. Substitution des sommes de réciproques aux produits de segments, — II est évident qu'on ne saurait ici employer le mode d'élimination successive des segmente dont nous nous sommes servi précédemment, car il nous ferait retomber sur les mêmes relations linéaires. Mais, si on met Téquation du n^ 165 sous cette forme :

{ap){bq){ar-^ac) = ( ar) [ap -h ab) ( bq -h 6o) (*),

qu'ensuite on développe tous les produits des facteurs binômes en négligeant successivement, dans les résultats, les termes qui contiennent ah^ bc et oc à des degrés supérieurs au premier, attendu que les côtés du triangle abc [fig. 34 ou 38) peuvent, ici, être censés infiniment petits ou nuls, on obtiendra la nouvelle équation

ad i^\ = abl ( — \ + 6c2 (—\ \arj \ap) \aqj

( * ) Conformément aux règles de TAnalyse géométrique des coordonnées, précédemment adoptées et justifiées rigoureusement dans le troisième Chapitre ou Cahier du tome H de nos Applications de t864, on n'a point ici, en vue de généraliser, donné à priori des signes explicites ou algébriques aux diverses quantités, ce qui offre d'apparentes contradictions entre tes données du calcul et celles des figures. Mais on évitera ces difficultés et l'on ramènera tout à une évidence élémentaire eu supposant que, dans les diverses figures relatives au triangle transversal abc d'une courbe géométrique plane, non-seulement ce triangle est tout à fait en dehors et d'un même côté de la courbe, mais encore que ses sommets /z et ^ en sont les plus voisins, comme le montre la fig, 38, qui pourrait être prise pour figure type on de départ, ainsi qu'on Ta expliqué dans l'endroit cité des Applications, Mais cela ne serait utile que pour les esprits peu exercés.— (Note de iS65.)

dans laquelle le signe 1 désigne la Bomme algébrique ( * ) des valeurs in- Tarses ou des ridpmques de segments analogues et différant seulement par le signe de position et Taecenc ou indice qui affeete les lettres/?, q^ r.

On arrivera plus rapidement encore à cette transformée, en prenant la différentielle logarithmique des deux membres de l'équation primitive (165), dsns laquelle on devra, selon ce qui précède, regarder les produits {cr)^ {bp) et [oq) comme les seules quantités susceptibles de varier, et considérer les variations des segments relatifs à chacun des côtés du triangle abc comme égales entre elles et à ces côtés respectifs censés devenus infiniment petits.

Observant maintenant que ces mêmes côtés sont proportionnels aux sinus des angles respectivement opposés du triangle, et supposant finalement que les trois sommets de celui-ci viennent à se confondre en un seul a, par exemple, on obtiendra la relation