DES PÔLES ET POLAIRES

250. La polaire d^une courbe plane quelconque, par rapport à une section conique ordinaire, prise pour directrice ou auxiliaire, fait découvrir sur-lechamp, comme nous l'avons vu, la corrélation ou la dépendance qui lie les systèmes de tangentes aux systèmes d'intersections; mais on peut choisir un mode de transformation plus simple encore, et qui permet de discuter, avec une égale facilité, les affections générales des lignes relatives aux unes et aux autres. Nous croyons ne pouvoir mieux terminer les discussions qui précèdent, qu'en faisant ici connaître, en peu de mots, ce nouveau genre de transformation, qui se trouve pour ainsi dire tout indiqué par le rapprochement des propositions exposées dans les n'^' 204 et 205, 210 et 211 du tome I^ de ce Traité^ p. 106 et suivantes, propositions qui periAettent de construire linéairement les lignes du premier et du second ordre par l'enveloppement de leurs tangentes ou par les intersections de simples lignes droites.

Soit, en effet, abc un triangle variable dont les sommets a, b sont assujettis à demeurer sur les droites ou directrices arbitraires as et fo, se rencontrant en s sur son plan, et dont les côtés ac^ bc prolongés indéfiniment aillent sans cesse concourir aux points respectifs ou pôles invariables p et 9, choisis arbitrairement sur une droite quelconque passant par le point de concours s des directrices. On a vu, par les n°* 205 et 211 de l'ouvrage cité, que : i® si

( * ) yoyez à la fin de ce volume ( Section supplémentaire ) les Annotations relatives à divers passages, points de doctrines scientifiques ou renseignements historiques et critiques.

le dernier sommet c du triangle afrc est assujetti à demeurer sur une droite quelconque de son plan, le troisième côté ab^ qui reste libre, pivotera luimême sur un dernier point fixe comme pôle, lequel se trouvera à Tintersection des deux droites menées, de p et de 9, vers les intersections respectives de la droite donnée et des directrices sb etsa; 2^ réciproquement, si le côté ab pivote sur un dernier point fixe quelconque comme pôle, le sommet c, qui lui est opposé, décrira une troisième ligne droite passant par les intersections des directrices sa, sb et des droites qui joignent respectivement le point fixe dont il s'agit avec les pôles q et p.

En nommant le sommet c point dérivé de a6, et le côté ab droite dérivée de c, par rapport au système des pôles et des directrices proposés, on pourra énoncer plus simplement ces deux théorèmes de la manière suivante :

Si un certain point est assujetti à demeurer sur une droite donnée, sa dérivée pivotera sur un point fixe ou pèle qui aura réciproquement pour dérivée la droite dont il s'agit, et vice versa, si une certaine droite pivote autour d'un point fia>e quelconque comme pâle, son dérivé demeurera sur la dérivée même de ce pâle.

Ainsi les points et les droites dérivés jouissent de propriétés réciproques qui permettraient encore ici de les nommer pâles et polaires réciproques, comme dans le cas où la dérivation a lieu par rapport aux lignes du second ordre.

251 . Ces propositions, qui se démontrent de la manière la plus simple et la plus élémentaire, conduisent sur-le-champ au mode de transformation annoncé^ Car, si on remplace la directrice linéaire du sommet c par une courbe quelconque du degré m, le côté ab ou la dérivée de ce sommet enve«* loppera une autre ligne que la discussion apprend être généralement du degré m (m •— 1), et qui sera réciproquement le lieu des sommets c qui ont pour dérivées les tangentes de la courbe proposée.

Pour démontrer ce double théorème, qui prouve que la courbe primitive

et sa dérivée sont exactement réciproques entre elles par rapport aux direc*

trices5a, sb et aux deux points ou pôles fixes /> et q, à peu près de la même

manière que le sont, par rapport à une ligne du second ordre quelconque,

deux courbes tracées sur le plan de cette ligne et dont chacune serait la

polaire de l'autre; pour démontrer, disons-nous, ce double théorème, il ne

s'agit que de remarquer que les raisonnements par lesquels nous avons établi

cette dernière réciprocité, soit dans les n^* 233 et 234 du tome P% soit dans

les n^ 63 et suivants de la précédente Section, demeureraient exactement II. 3o

applicables aux hypothèses actuelles relatives à la manière de conclure le point ou la droite qui sont les dérivés d'une droite ou d'un point donnés.

Il résulte aussi de cette remarque que tous les principes généraux» toutes les conséquences que nous avons établis, dans cette même Section, sûr les figures qui sont réciproques polaires par rapport à une ligne du second ordre, se trouvent aussi l'être pour les figures qui sont réciproques suivant la nouvelle acception» et qu'ainsi on arriverait exactement aux mêmes conclusions relativement aux propriétés métriques ou descriptives des figures tracées dans un même plan, sauf celles qui concernent les dépendances particulières qui lient chaque figure et sa dérivée aux directrices et aux pôles fixes donnés.

D'après cela, il parait fort inutile que nous nous appesantissions sur ce nouveau mode de transformation des figures, et que nous recherchions ce qu'il deviendrait pour le cas de l'espace, puisqu'il n'aurait, sur celui qu'offre la théorie des polaires réciproques, guère d'autres avantages que ceux qui peuvent résulter d'un peu plus de simplicité dans les constructions et l'exposition des principes.

SECTION IV. - DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. î35