GÉOMÉTRIQUES D'ORDRE QUELCONQUE

Dans les précédentes Sections, comme dans tout le cours du premier volume de cet Ouvrage, nous nous sommes bien plus occupés de l'établissement

(*) Cette Section constituait un quatrième Mémoire séparé du précédent, mais qui devait raccompagner dans la présentation, en i83i, à l'Académie des Sciences de Tlnstitut, et dont les ma* tériaux avaient été préparés ou du moins ébauchés, dès avant mon entrée comme professeur à rÉcote d'application de Metz, en janvier i8!^5. Ce ne fut que dans l'hiver de i83o à i83i, pendant la suspension du cours de Mécanique, que je pus en reprendre la rédaction et lui donner la forme actuelle, demeurée imparfaite en raison des lacunes qu'elle renferme à divers points de vue, et qui proviennent de la suppression de nombreux corollaires et développements, suppression maintenue Bdèlement dans la présente publication, afin d en resserrer le contenu dans de justes limites. Seulement, j'ai tâché de suppléer à ces lacunes par l'addition de quelques passages ou résumés servant de points de transition et de supplément aux parties supprimée.-}, quoique non entièrement effacées dans Tancien manuscrit.

A cela près, comme dans les précédentes Sections, je n'ai apporté aucune modification essentielle au texte, sauf une correction qui sera mentionnée plus loin au n" 392 ; car je ne considère pas comme telles l'arrangement indispensable des titres, sous-titres, le numérotage des articles et les renvois laissés en blanc dans les parenthèses, dont le remplissage, après trente-cinq ans écoulés, m'est devenu extrêmement pénible et peut contenir quelques inexactitudes, malgré la scrupuleuse attention que j'y ai apportée. La seule chose qu'il me soit permis d'affirmer, c'est que je n'ai introduit dans cette publication aucun perfectionnement qui puisse en altérer le sens, en étendre la portée, ou m'approprier des idées que je ne possédais pas en i83i, alors que je présentai mes derniers Mémoires à notre Académie des Sciences. Et c'est précisément en vue de sauvegarder mes propres droits de priorité qu'obligé d'ajourner la publication du volume que je livre au public si tardivement, j'ai cru devoir à diverses époques prendre date relativement aux théories principales qu'il renferme, par certains articles ou passages d'articles imprimés, qu'on trouvera reproduits dans la Section supplémentaire ci-après.

A l'égard des suppressions mentionnées ci^dessus et qui remontent toutes à l'époque précitée (i83o à i83i), il est nécessaire de remarquer qu'elles concernent principalement les applications du principe de réciprocité polaire (Sect, III) à diverses propositions dans le genre de celles que M. Gergonne avait si fortement recommandées dans les Annales de 1827, et dont j'avais non moins vivement combattu en 1828 et 1829 la fastidieuse multiplication et superfluité [voir la Seciion supplémentaire, § II, ou le n"* 304 ci-après'). J'ajoute que les propositions principales, maintenues dans la rédaction de l'hiver de i83o à i83i, sont en majeure partie extraites d'un cahier manuscrit remontant à l'hiver de 1822 à 1823, cahier conservé parmi mes papiers et dont le préambule seulement est rapporté dans le § P^ de la Section ci-après. — (Note de y 865.)

(les méthodes et des principes généraux que de Texpositioa dogmatique des propriétés ou théorèmes individuels relatifs à certaines figures, quels qu'en fussent d'ailleurs le mérite et l'utilité propres. Car les méthodes, les principes généraux et féconds sont à mes yeux» je dois le redire, les acquisitions les plus précieuses comme les plus rares en Mathématiques; tandis que les théorèmes particuliers, isolés, sans lien nécessaire, les problèmes et les corol* laires plus ou moins ingénieux qui découlent de ces principes étant en nombre pour ainsi dire illimité, ne peuvent se retenir dans la mémoire quand ils ne sont pas d'une application journalière et en quelque sorte usuelle. C'est là une vérité incontestable et jusqu'à présent incontestée, qui doit nous diriger dans l'exposé des méthodes de cette quatrième Partie, dont l'étendue serait sans bornes si nous ne prétendions nous restreindre aux conséquences les plus générales, les plus élégantes et les plus simples de chaque espèce.

De Vimolution dans les systèmes de points en ligne droite^ de courbes ou de surfaces à intersections communes.

252. Les précédentes Sections nous ont offert des exemples divers de faisceaux formés de droites et de plans quelconques rayonnant autour d'un lieu commun d'intersection ou de convergence mutuelle, et susceptibles de prendre différents noms selon la loi ou condition qui les unit entre eux : par exemple, d'être tangents à des lignes ou surfaces données, etc.

La Section III, en particulier, offre des exemples de systèmes plus complexes, dont les propriétés remarquables sont énoncées sous une forme plutôt implicite qu'explicite; quoique, en y réfléchissant, il soit facile, pour les lecteurs attentifs, d'en tirer, sans trop d'hésitation, les divers corollaires qui doivent nous occuper dans ce paragraphe, j'entrerai néanmoins ici dans quelques développements sur certaines théories géométriques d'un intérêt spécial, relatives à de tels systèmes, notamment sur celles de ces questions qui se rapportent aux transversales ou sécantes (réelles ou idéales), communes à tout un système de lignes, de surfaces géométriques de même ordre.

Cette étude, en effet, est facile d'après les procédés généraux de la Section III, c'est-à-dire en considérant de telles sécantes comme faisant partie des côtés indéfiniment prolongés d'un triangle ou polygone rectiligne

transversal du système proposé. Car, par la combinaison mutuelle, successive ou simultanée, des équations de segments qui se rapportent aux hypothèses adoptées dans chaque cas, on éliminerait de ces relations purement métriques tous les segments communs aux lignes ou systèmes de lignes géométriques prises deux k deux, et Ton arriverait ainsi à de nouvelles relations métriques ou descriptives, tout k fait indépendantes de la grandeur et par conséquent de la réalité effective de ces segments communs ou des intersections qui s'y rapportent; ce dont on a eu de nombreux exemples dans la précédente Section. On pourrait ensuite passer au cas de deux, de trois systèmes distincts de sécantes communes, etc.; mais il m*est impossible ici de suivre cette marche méthodique ou ascendante, et je dois me borner à présenter quelques éléments ou fragments épars de cette théorie, propres seulement k fixer l'attention des lecteurs.

PRfiLIIIINÀl&B8 RELATIFS A DBS CAS glHPLBS d'iNTOLUTION ET d'iNTBRSBCTIOK VUTVBLLB

DE L1GNB9 GtOMtTEIQCES SUR UN PLAN,

253. Commençons par rappeler que les propriétés individuelles des lignes géométriques continues s'appliquent également aux systèmes composés de droites ou de courbes, en nombre quelconque, situées sur un même plan, et considérées dans leur ensemble comme un lieu géométrique unique, sinon continu dans toutes ses parties, ayant pour degré la somme de leurs degrés propres, et assujetti aux mêmes conditions, telles que de passer par certains points, etc. Or, cette double considération conduit k un grand nombre de propositions curieuses, relatives aux combinaisons de lignes géométriques situées dans un même plan.

Considérant, par exemple, une courbe plane géométrique (A,„) du degré m, coupée par deux droites arbitraires ca, cfr, puis une seconde courbe quelconque (Bm) du même degré et passant par les intersections respectives de ces droites avec la première; ces deux courbes seront telles, que si on les coupe ainsi que leurs sécantes communes {réelles ou idéales) par une troisième droite arbitraire a6, les groupes distincts de m intersections, qui leur correspondent respectivement sur cette dernière droite, seront en involution simple par rapport aux points a, b d'intersection relatifs à ce couple de sécantes; c'est-à-dire que, si Ton nomme p, p'.p",..., q, q\ 9^.•., les intersections respectives de la transversale arbitraire ab avec les deux courbes, a ei b étant les points où elle est coupée par les deux premières sécantes indéfinies ca^ cby communes aux courbes (Â^) et (B^), on aura l'égalité de

rapports composés

ap . ap\ ap" ... aq,aq\nq*' * , .

bp . bp' . bp" ... bq.bq' . bq" . . .

soit» selon nos conventions (165)»

{ap) {aq), (bp)-(bqy

relation métrique dans laquelle on peut évidemment échanger entre elles les lettres a et b sans la troubler.

Cela paraîtra évident à priori^ si Ton considère successivement les deux courbes comme transversales du triangle a6c formé par la rencontre des trois droites ci-dessus^ et qu'on élimine des relations métriques qui leur appartiennent les segments relatifs aux intersections communes..

254. Remarquons d'ailleurs que, si Tun des points p^p\... venait a se réunir avec Tun quelconque des points q^ 7'»...» les segments relatifs h ce couple de points disparaîtraient naturellement de l'équation, et qu'il en serait de même des segments relatifs à un nombre quelconque de couples de points confondus, ce qui réduirait Tinvolution à une autre d'ordre inférieur, relative toujours à deux groupes ou systèmes de points en nombre é^al de part et d'autre.

255. Si, au lieu de deux courbes de même degré sur un plan» on avait eu à en considérer deux (Am)« (B») de degrés différents //i et n, m étant plus grand que n, on pourrait ajouter à celle du degré le moins élevé une ligne ou un ensemble de lignes formant un lieu du degré m — /i, par exemple, un système de m — n droites, et alors» en séparant dans l'équation ci-dessus les produits des segments relatifs aux intersections de la transversale et du système additionnel, on aurait, en nommant i, A',... ces intersections, et que nous distinguerons ainsi du système des points 9» q\q",,.. relatifs à la ligne du degré n :

(ap) {aq){ak) (aq) W — kI*/^).

K désignant le rapport de [ak) à [bk] que l'on peut regarder comme donné, ce qui permet d'étendre la notion de l'involution simple au cas où les groupes de points pfp\... et de points ^, q\... sont en nombres différents.

256. Au lieu de considérer comme situées d'une manière quelconque sur

SECTION IV, — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. ixScj

le plan des deux courbes les m — n droites ou la ligne de degré m — n que Ton adjoint à la courbe (B«) pour former un lieu de degré m, on peut leur supposer des situations tout à fait particulières, et arriver ainsi a divers théorèmes plus ou moins remarquables.

Ainsi, par exemple, on peut supposer que la ligne complémentaire de (B;,), au lieu d'intersections distinctes A;, k'^ ¥ avec la transversale ah^ ait un point mult^le ou de convergence de ses diverses branches rectilignes ou curvilignes, situé en k sur a6, de sorte que

[ak]

ah" ", {bk] = bfc* ",..., cl par conséquent K= [jt]

On peut même supposer que ces branches deviennent parallèles ou que le point de convergence i passe h Tinfini, ce qui donne simplement

K = I, el par conséqueni 7-— = rïr4^

forme particulière de Tinvolution qui ne dépend plus de la donnée numérique K, et peut conduire à beaucoup de conséquences jusqu'ici inconnues.

257. Considérons maintenant les 3 m intersections d'une courbe géométrique continue et plane de degré m avec le système de trois transversales rectilignes arbitraires, et supposons que 3n de ces intersections, situées n par n sur des transversales différentes, appartiennent à une courbe unique du degré /i ou k un système de droites et de courbes de degrés -équivalents en somme à n : il est aisé de voir^ d'après les mêmes principes, que les i{m — n) intersections restantes seront à une courbe du degré m — n.

En effet, si nous regardons la courbe proposée de degré m comme transversale du triangle formé par les trois droites, et que nous conservions du reste les dénominations du n^ 165, nous aurons

{ ap)(bq){cr) [bq){cq)[ar) '

mais, attendu que les 3/i groupes de points/?, p\ /?\.^., z?^""'^; g, q\ y",..., ^(«-D. ^^ ^^ r",..., r^""*^ appartiennent à une courbe du degré /i, on aura une relation semblable entre les segments relatifs à ces points, ce qui réduira la proposée a celle-ci :

laquelle, d'après nos conventions, montre que les trois groupes de points p{fi) à pc^^ q'"\ à q''^\ r^J à r^^ sont à une autre courbe du degré m —n.

Mo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Ce théorème peut s'étendre à un nombre quelconque de droites arbitraires ou à un polygone quelconque considéré comme transversal d'une courbe plane géométrique.

DB l'INVOLUTION COMPLÈTE DE TROIS GROUPES DE 171 POINTS EN LIGNE DROITE.

CONSTRUCTION LINfiAIKE DE l'uN DES GROUPES PAE LES DEUX AUTRES.

258. Considérons le système des intersections de m transversales droites arbitraires tracées sur un plan avec une ligne géométrique quelconque du degré m située sur ce plan : il résulte des principes établis dans la précédente Section ( 210 à 216 ) que, par ces m^ intersections, on pourra en général conduire une infinité d'autres lignes géométriques de même degré m, et que si un nouveau point est arbitrairement donné pour y faire passer l'une de ces lignes, elle sera complètement déterminée aussi bien que ses m — i autres intersections avec une transversale arbitraire passant par le point dont il s'agit. Or il existe entre le groupe de ces derniers points et les deux groupes de m points d'intersections de la transversale arbitraire, soit avec la courbe, soit avec le système des m droites données, considéré comme une autre courbe de degré m, des relations extrêmement remarquables et qui se déduisent immédiatement du théorème des n^* 180 et suiv. Il en résulte en effet que les systèmes d'intersections de ces deux courbes sont à la fois en involution par rapport à tous les couples d'intersections relatives aux lignes

droites données, ce qui donne en tout ^^^ '^ relations métriques pro-

jectives analogues à celles du n^ 253, mais parmi lesquelles m — i seulement sont distinctes (210 et 213) et comportent naturellement toutes les autres; de sorte qu'elles sont seulement aptes aussi à donner m — i des points qui appartiennent à l'une ou à l'autre des deux courbes quand les am •+• I points restants sont assignés.

Soient p^ p\ /''",.•.> les m intersections de la transversale avec les m droites données; q^ q', t',..., ses m intersections avec l'une des deux courbes correspondantes, et r, r\ r'\..., celles qui appartiennent à l'autre; les ttz — i relations distinctes dont il s'agit pourront être écrites ainsi :

dans lesquelles la première lettre de chacun des produits indiqués par les parenthèses est censée conserver le même indice supérieur pour tous les

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 241 facteurs de ces quantités» tandis que l'indice relatif à la seconde lettre change, suivant nos conventions générales (165), en passant d'un facteur à un autre.

259. Les trois systèmes de points considérés jouissent d'un grand nombre d'autres propriétés curieuses et qui établissent entre eux une réciprocité complète.

Substituons en effet à l'une de nos deux courbes, à celle, par exemple, qui contient tous les points r, r', r*',.--. un système de m droites quelconques, et concevons, par les m^ intersections de ces droites avec les proposées relatives aux points/?, p\p\..,^ une nouvelle ligne géométrique qui contienne de plus ^, on aura, pour déterminer les m — 1 autres points où elle rencontre la transversale /^r, m — i relations semblables à celles cidessus qui définissent les m — i points q\ q'\ q'\...\ donc les mêmes constructions (210 et suiv.) qui donnent ces derniers points au moyen du premier q serviront aussi à construire les m — i points inconnus de la nouvelle courbe, lesquels par conséquent ne pourront être autres que les points q\ qf\ (f^... eux-mêmes. Car, pour chacun de ces systèmes de points inconnus, on aura

(p'q)-(p'r)' (p''q)'^\fr)' ip^q)-^ (p'r)' ^ ''"

relations dont les seconds membres sont des rapports numériques de produits donnés, les mêmes pour les deux systèmes dont il s'agit.

Donc enfin on aura aussi entre les points proposés, les m — i nouvelles relations

exprimant que les deux groupes de m points/?, />',/?",•.. et q, q\ q"f... sont, chacun à. son tour, en imolution par rapport à chacun des couples de points du troisième groupe r, r', r",..., c'est-à-dire que ce dernier et le premier jouissent de propriétés exactement réciproques à l'égard du second.

Supposons maintenant qu'au lieu de mener les nouvelles transversales rectilignes par les points r, r\ r'^,..., on les eût conduites par 9, 9', 9'',..., respectivement, on en conclurait pareillement que ce dernier groupe et celui des points/?, p\ /?'',... sont en iwohuion réciproque par rapport au premier, de sorte qu'on aurait encore

(çr)-(y'r)-(?V)-"(9-r)-^ ' IL 3i

Les trois systèmes de relations que nous venons d'établir sont donc tels^ que Tun quelconque d'entre eux entraine forcément les deux autres; ce qui permet généralement de construire m — 1 points de l'un des trois groupes auxquels ces systèmes d'équations appartiennent quand le dernier point de ce groupe et tous ceux des deux autres sont donnés.

260. Cette liaison remarquable entre trois groupes de m points situés en ligne droite peut se nommer irwohition complète et réciproque de ces points, pour la distinguer de celle (253) qui est relative à deux systèmes de m points comparés à deux points seulement. On voit qu'elle est absolument analogue a l'involution ordinaire de trois couples de points due à Desargues, de sorte qu'elle doit entraîner avec elle un grand nombre de conséquences curieuses relatives aux propriétés des systèmes de lignes et de surfaces géométriques, analogues par extension à celles (143, 150, 151) des lignes et des surfaces du second ordre. Mais, avant de les exposer, donnons un procédé graphique suffisamment simple et rapide pour déterminer les points de Tun des deux groupes au moyen de ceux des deux autres et de l'un quelconque des points du premier de ces groupes.

261. Proposons-nous, par exemple [fig. 4^) de construire le groupe des points r, t\ r",..., en nombre m, quand on en donne le premier r et tous ceux des deux autres groupes /?,/?',/?",..., et^r, y', ^r",....

Menons par les points de ces derniers groupes deux systèmes de droites arbitraires s'entrecoupant en rr? points dans un plan quelconque passant par la droite qui contient tous les groupes; par le point donné r et lesm^ points dont il s'agit, traçons également une ligne géométrique du degré m, ou plutôt déterminons par les méthodes des n°' 210 et suivants les m — i nouvelles intersections de celte ligne 2i\ec pq : évidemment ces intersections se confondront avec les m — r points demandés. Mais on peut ici notablement diminuer le nombre des opérations graphiques que supposent ces méthodes, en imaginant qu'après avoir mené par le point r une transversale arbitraire, on ait pris à volonté m points sur cette transversale pour y faire passer les deux systèmes de droites considérées; il résultera en effet des principes souvent cités (Sect. III) que les m* — m = m (m — i) autres intersections de ces systèmes seront à une courbe du degré m — i complètement déterminée, qu'on pourra construire (224) par points avec la règle, et qui viendra couper la droite des points donnés />,/?',..., y, ^',..., aux m — i points demandés. Mais on peut simplifier davantage encore la construction en supposant que, des m points choisis arbitrairement sur la transversale

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 24^ issue du point donné r, m— i soient confondus en un seul s, et que le dernier point, soit a, reste seul distinct des autres et de s.

En efTett par suite de cette hypothèse, la courbe du degré m — i dont il vient d'être parlé acquerra un point multiple de Tordre w — 2 confondu avec le point donné s\ de plus, elle passera par les m — i intersections des transversales de chacun des systèmes qui contiennent s avec la dernière transversale de l'autre système, ne renfermant pas s mais a, ce qui fixe complètement la courbe de position et permet de la construire entièrement par points à l'aide du procédé linéaire très-simple du n^ 204, qui n'exige en effet que l'emploi de la règle.

La courbe ainsi obtenue viendra rencontrer la droite/?^ aux m — i autres points r', r^, r"",... demandés, lesquels, avec r, sont en ins^obition complète par rapport aux deux groupes de m points />, //, />",... et q, y', ^'',... qu'on s'est donnés à priori sur cette droite indéfinie/^^r.

262. Ces constructions faciles nous permettent de résoudre très-simplement la question où il s'agirait de faire passer par un point quelconque donné sur le plan de deux systèmes indépendants ou faisceaux distincts de m droites, une courbe géométrique qui contint tous les points de rencontre de ces systèmes, au nombre de m*, ou plus généralement de tracer la courbe géométrique qui passerait par un point arbitraire et par les m^ intersections réelles ou imaginaires de deux lignes géométriques ou systèmes de lignes droites ou courbes du degré m, problème entièrement analogue à celui que nous nous sommes proposé de résoudre dans les n^* 210, 216 et suivants, pour le cas où les intersections dont il s'agit sont immédiatement données et situées m par m sur m lignes droites distinctes.

Prenons, en effet, le point qu'on s'est arbitrairement donné sur la courbe cherchée, pour pôle d'une suite de transversales rencontrant les deux lignes ou systèmes de lignes donnés en m points respectivement; déterminons, d'après ce qui précède, les m — i autres points qui, avec le pôle fixe, sont en involution par rapport aux ^m points dont il s'agit; la suite de tous ces points formera une ligne continue passant une seule fois par le pôle des rayons vecteurs et qui sera par conséquent du degré m seulement. Je dis, de plus, qu'elle passera nécessairement aussi par les m^ intersections communes aux lignes données; car, d'après les relations qui lient entre eux (259) les trois groupes distincts de points en involution, il est clair que deux points quelconques de deux groupes différents ne peuvent se confondre en un seul sans qu'il n'en arrive autant à l'un des points du troisième

groupe. Concevant donc que la transversale ci-dessus ait été menée par l'une quelconque des rr? intersections des lignes données, on voit que Fun des m — I points inconnus relatifs à cette transversale et à la troisième courbe devra nécessairement se confondre avec Tintersection commune dont il s'agit.

Deux lignes planes quelconques du degré m ne pouvant se rencontrer en plus de m^ points, il est clair que la courbe qui vient d'être construite ne saurait rencontrer aucune des proposées en d'autres points que ceux qui sont communs k leur système; mais c'est ce qui résulte immédiatement aussi des raisonnements par lesquels nous venons de prouver que cette première courbe passe par les intersections des deux autres.

263. Pour démontrer que la courbe ne passe qu'une seule fois par le pôle des rayons vecteurs, ce qui est assez évident en soi, il ne s'agit que de démontrer que cette courbe n'a qu'une tangente unique en ce pôle. Or, si l'on considère une pareille tangente comme transversale des deux lignes données, il faudra que l'un au moins des m — \ points inconnus qui lui appartiennent se confonde avec le pôle fixe; et« comme d'après les propriétés de l'involution complète ces deux points, avant d'être confondus en un seul, devaient être tels (258) que, par rapport à leur couple, les systèmes d'intersections des courbes données fussent en involution simple, il faut bien (37) que, dans le cas où ils cessent d'être distincts, les centres de moyennes harmoniques de ces systèmes d' intenections soient aussi les mêmes^ pris par rapport au pôle fixe. Mais, d'après le théorème de Côtes, le lieu des centres de moyennes harmoniques conjugué à ce pôle pour chacune des deux courbes est une ligne droite (n^4-2 et p. i3i); donc la tangente cherchée devra passer par l'intersection des deux droites ou axes pareils relatifs aux courbes données; donc enfin cette tangente est unique, comme il s'agissait de le démontrer.

264. On peut arriver aux mêmes conséquences, et par conséquent au tracé de la tangente du pôle, sans rien emprunter aux données précédentes. Sup* posant en effet qu'on ait mené deux transversales infiniment voisines par ce pôle, et concevant par les intersections voisines de nos deux courbes autant de lignes droites qui seront des tangentes véritables de ces courbes, il est aisé de voir que la tangente cherchée sera aussi la tangente d'une quatrième courbe qui passerait par le pôle fixe et par les m^ intersections des deux systèmes distincts formés par les m tangentes de l'une des courbes données et par les m tangentes de l'autre. Cherchant donc l'intersection des deux

axes de moyennes harmoniques de ces systèmes, conjugués au pôle fixe, on aura un second point de la tangente cherchée.

265. Revenons à notre courbe qui, passant par le pôle fixe, contient en outre tous les points d'intersection commune des deux courbes données, et prouvons directement : i^ que toute droite arbitraire la rencontre au plus en m points; a^ que ces m points sont toujours en involution complète avec les deux systèmes d'intersections de la même droite et des courbes proposées.

Soient rie pôle fixe, et 5, t deux quelconques des intersections de la courbe qui y passe avec la droite arbitraire dont il s'agit; traçant les transversales rSf rt, dont la première rencontre l'une des courbes données aux m points P* P^fP^f'^f 6t l'autre aux m points ^, ^, ^',..., tandis que la seconde les rencontre respectivement aux m points p^, p\f f^',..- et aux m points q\, q\9 /i,-.., les deux premiers groupes de points seront évidemment en involution par rapport aux points r, 5, et les deux derniers le seront également par rapport aux points r et tp de sorte qu'on aura

(i2i — (vj, i[Ei}:={lPà.

{rq) (sqf (rq,) {tq,)'

Soient enfin /»s, /'s» /^s»*** et ^3, q^, q\***- l^s intersections respectives de nos deux courbes avec la droite arbitraire st^ et considérant successivement ces courbes comme transversales du triangle rst^ on aura

{rp)(8pi)(tp^) {rq){sqt)(tq,) {rp.}{sp.){tp) ' {rq.)[sq.){tq) '

divisant l'une par l'autre ces équations et égalant entre eux leurs premiers membres, on obtiendra, en vertu des deux équations primitives, qui définissent s ett par rapport à r,

(Vil = ilEÛ,

{sq^) [tq^)'

ce qui indique que les deux groupes/^j, jOj,/?^,... et qr^, q\, q\,... de points d'intersection des courbes proposées, avec la droite arbitraire st, sont aussi en involution simple par rapport ^ set i.

La même chose ayant lieu pour deux autres points d'intersection quelconques de la droite dont il s'agit et de la courbe qui contient le pôle fixe, on voit que toutes ces intersections sont telles, que les systèmes des m points P2 et des m points q^ sont à la fois en involution par rapport à chacun des groupes qu'elles forment; donc leur système total est en involution com-

plète par rapport à ceux dont il s'agit» et leur nombre ne saurait surpasser m, comme il s'agissait de le démontrer; donc enfin le degré de la courbe à laquelle ils appartiennent ne saurait non plus surpasser m, de sorte qu'il est en général ou précisément m.

De là résulte un grand nombre de conséquences dont il nous suffira d'indiquer les principales.

THÉORÈMES RBLA.T1FS A l'iNYOLUTION DES LIGNES OU SURFACES DE MÊME DEGRÉ