A INTERSECTIONS COMMUNES

266. Concevons trois courbes géométriques de l'ordre m ayant les mêmes m^ points communs sur un plan; par l'un des points de Tune de ces courbes menons, d'après le procédé qui précède, une ligne géométrique de l'ordre m passant par les m'^ intersections des deux autres : il est clair qu'elle se confondra tout entière avec la troisième, puisque autrement elle aurait plus de w? points en commun avec elle, ce qui est absurde; donc :

Si Von coupe par une droite arbùrcdre le système de trois lignes géométriques quelconques du degré aw, ayant les mêmes intersections communes sur un plan, les trois systèmes de m points qui en résultent sont en involution complète.

Donc aussi :

Quand trois surfaces géométriques de même degré ont la même ligne d'intersection commune, toute transversale les rencontre en trois systèmes de points qui sont en inçolution complète,

267. Dans la vue d'abréger, nous pourrons dire par la suite, de trois pareilles surfaces, ou de trois lignes qui ont les mêmes intersections communes, que leur système est aussi en involution complète.

Concevons encore dans un plan ou dans l'espace trois lignes ou trois surfaces géométriques assujetties à ces conditions; leur ensemble ou système jouira de cette autre propriété liée d'une manière intime à la notion des involutions simples ou complètes.

Toute tangente à Vune de ces lignes ou surfaces [m) coupera les deux autres en deux groupes de m points^ qui auront le même centre de moyennes harmoniques />arrap/'or/ au point de contact de la tangente considérée.

268. Ce théorème, évident d'après les considérations du n*^ 264 ci-dessus, assigne la tangente ou le plan tangent en un point donné de Tune des trois courbes ou surfaces, quand on connaît les deux autres; mais leur construction suppose k connaissance de propriétés qui seront démontrées dans le § III ci-après, et on pourra substituer a cette construction une autre ana-

logue à celle qui a été exposée au d^ 264, et dont la justification paraîtra ici bien évidente d'après les propositions qui viennent de nous occuper.

269. Enfin concevons un système de quatre courbes du degré m, ayant les mêmes m^ points communs sur un plan; il est évident que les quatre groupes distincts d'intersections déterminées par une transversale arbitraire dans ces courbes respectives formeront trois par trois des involutions complètes; prenons en particulier la transversale tangente à Tune quelconque de nos courbes : il résulte de ce qui précède que le point de contact de cette tangente sera tel, que le centre des moyennes harmoniques, qui lui est conjugué dans les trois autres groupes auxquels il n'appartient pas, sera unique ou le même pour ces groupes. De la on conclut que :

Si trois groupes de m points^ en involuUion complète sur une droite, sont tels, que deux d'entre eux aient le même centre de moyennes harmoniques conju^ gué à un dernier point de la droite qui les contient, ce centre sera aussi le centre de moyennes harmoniques du troisième groupe par rapport au même point.

En effet, les trois groupes de m points dont il s'agit peuvent toujours être censés appartenir à trois courbes du degré m s'entrecoupant aux mêmes points dans un plan quelconque qui contient la droite donnée; conduisant donc par le point conjugué au centre de moyennes harmoniques, commun à deux de ces systèmes, une nouvelle courbe qui contienne eu outre les m* intersections des proposées, on conclura de ce qui précède, qu'elle touchera au point dont il s'agit la droite donnée.

270. Le centre des moyennes harmoniques d'un groupe de points quelconque se changeant en un centre de moyennes distances ordinaire, quand le point qui lui est conjugué passe à l'infini, il parait évident encore que :

Si trois groupes de m points, en involution complète sur une droite, sont tels, que deux d entre eux aient le même centre de moyennes distances, ce centre sera aussi celui du troisième groupe,

TRANSFORMATION DES RELATIONS D^INTOLUTIONS, ET COROLLAIRES RELATIFS AUX SÉCANTES DES COURBES OU SURFACES, PARALLÈLES A DES DIRECTIONS FIXES.

271. Les groupes distincts de points en involution jouissent de beaucoup d'autres propriétés auxquelles on peut parvenir par des considérations géométriques fort simples, mais qui nous obligeraient d'établir quelques lemmes préliminaires relatifs aux systèmes combinés de lignes droites ou de plans; et, bien que ces lemmes ne soient pas en eux-mêmes dénués de tout intérêt, nous préférons ici» pour la brièveté» mettre en usage les res-^

sources de l'Analyse algébrique» qui nous permettent d'arriver tout d'un coup à l'ensemble des relations qui lient entre eux les systèmes de points en involution complète.

Soient en effet {fig. 43) les trois systèmes de m points/), p', />'',...; q% q\ 9",..., et 07, x\ oc!\...^ en involution sur une droite, c'est-à-dire tels, qu'on ait (258 et 259)

{xp) ^{cif p) ^{x" p) ^ {xq) [x'q) {x^'q)

En considérant ces égalités comme propres a définir ou à déterminer les m points a?, x\ cf^...^ à l'aide de tous les autres, on pourra poser généralement l'équation unique

gj = K ou (xp)=lL(xq).

K étant une constante positive ou négative qui est donnée de grandeur et de signe dès que la position de l'un des points x, a?', a/',..., est connue et qui, lorsqu'elle est assignée à priori, suffira évidemment (261) pour construire tous ces points, si l'on convient, une fois pour toutes, que les facteurs linéaires qui entrent dans les produits [xp) et [xq) doivent être positifs ou négatifs, selon que les points auxquels ils appartiennent sont situés à droite ou à gauche du point x considéré en particulier comme origine commune des segments.

Cela posé, Imaginons que ce pointa? soit situé à gauche de tous les points donnés, et prenons à volonté une nouvelle origine o située elle-même à gauche de x\ l'équation ci-dessus deviendra, en nommant oo? simplement a?,

{xj^ {o2^^^ ou (x^op)^lL(x-oq)=^o, [xq) [oq — x) X r/ V y;

dans laquelle K est essentiellement positif. Si au contraire x devait être situé entre deux des points donnés, le coefficient K pourrait être négatif; mais dans tous les cas l'équation ci-dessus subsisterait en attribuant un signe convenable à la constante K.

Développant donc les produits de la dernière équation, ordonnant par rapport à x. nommant P« la somm^ des segments ou abscisses simples op, op\ op'\...f Pa^Pi»..., Pm-o Pm celles de leurs produits deux à deux, trois k trois,..., m — I àm — I, enfin /n à m, ce qui revient à leur produit total; nommant pareillement Qi, Q2, Qs, Qm-it Qm les quantités analogues relatives aux abscisses og, oq\ oq"f..., on aura évidemment

(,K)^«-(P,— KQ,)^-'-+-(P,— KQ,);c-»...±{P^.— KQ^,)^:F{P«— KQ«)=:o,

équation qui servirait k calculer directement les m valeurs de iP à défaut de constructions géométriques, c'est-à-dire à déterminer les m abscisses positives ou négatives oxj ox\ oa?",..., relatives au troisième groupe de points en involution par rapport aux proposés.

272. II résulte de là et de la théorie des équations, que, si Ton nomme semblablement X| la somme des abscisses dont il s'agit, Xa celle de leurs produits deux à deux, Xj celle de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite, on aura

X.(i — K)=P. — KQ., X,(i--K) = P,-KQ„..., X^,(i~K) = P«^.— Ky^„

équations dans lesquelles on doit toujours regarder comme positives les abscisses des points situés à droite de l'origine o, et comme négatives celles des points situés à gauche de cette même origine , mais oh l'on peut attribuer à K un signe quelconque et le remplacer même par le rapport de deux nombres A et B dont l'un demeure arbitraire, si Ton veut donner aux équations une forme entièrement symétrique.

On conclut encore de ces m équations combinées deux à deux une suite d'autres relations métriques indépendantes du nombre K, et qui expriment autant de propriétés nouvelles des groupes conjugués des points en involution complète, telles que m— i quelconques d'entre elles relatives à un certain groupe comportent nécessairement toutes les autres.

273. Si nous nous arrêtons au système des m équations posées en dernier lieu, il sera facile de conclure de la première d'entre elles que les centres de moyennes distances de deux des trois groupes de points considérés ne peuvent se confondre entre eux sans se confondre en même temps avec celui du troisième; des deux dernières équations, on conclura la proposition analogue relative aux centres de moyennes harmoniques de ces groupes respectivement conjugués au point o\ ce qui revient aux théorèmes déjà démontrés plus haut. Mais il convient pour notre objet d'étudier spécialement la dernière de toutes ces relations qu'on peut écrire ainsi d'après nos conventions :

(ox)(i — K) = (o/)) — K(oj) ou (ojc)(A4-B)=A(o/>)-f-B(o5f),

OÙ K= — Y (272) et qui exprime une propriété d'autant plus remarquable

des groupes de trois points en involution, qu'elle est tout à fait indépendante de la position particulière du point o; en sorte qu'elle demeure appli- II. 3a

a5o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

cable même quand ce point est censé confondu avec l'un quelconque des 3m points qui constituent les trois groupes Xy />, y; ce qui fait retomber successivement sur chacun des trois systèmes d'équations du n^ 259 qui définissent Tinvolution complète,

274. Supposons, par exemple, le point o confondu avec x^ le produit {ox) sera nul et Ton aura

{o/?) = K(og) ou (^/?)=K(^g).

Si donc on considère sur un plan, un système de trois courbes de degré m ayant les mêmes w? intersections communes et coupées par des transversales quelconques, le nombre K se trouvera défini pour chacune des positions de la transversale et chacune des courbes distinctes du système. Or, il faut remarquer que ce nombre, qui change avec l'inclinaison des transversales, reste constant pour toutes celles qui seraient parallèles à une même direction.

Soit, en effet, x' un nouveau point quelconque de la courbe qui passe par x\ traçons la droite indéfinie xx* rencontrant en F, P', P",..., la courbe des points p et en Q, Q', Q",..., celle des points q^ nous aurons (253), d'après la propriété de la courbe des points x^

Menons également par x' une transversale parallèle à celle qui contient a?, /i, y,..., et nommons/?,,jo'j,/?''j..., y,,^^,/^,..., ses intersections respectives avec la courbe des p et celle des ^, nous aurons, en vertu du théorème de Newton, les relations

[x' p,] [xp) {x'q,) (ory) ,

d'où Ton tire

{x'p,) (xp) {x^V){xQ) [xp) (x'q.)'^{xq)^{xV){x'Q)^{xqy

en vertu de Téquation déjà posée ci-dessus; ce qui démontre évidemment que le rapport de {xp) à {xq) est invariable pour toutes les transversales parallèles de la courbe des points x^ conformément à ce qui a été avancé plus haut.

275. Dans le cas où la transversale x' p^ q^, au lieu d'être parallèle à/?^, Ja rencontre en un point a, il est aisé de se convaincre que le rapport dont il s'agit ne peut rester invariable que moyennant des conditions tout à fait

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. sSi

particulières; car si Ton coDsidëre successivement le triangle axx' comme transversale de la courbe des p et de celle des q, il en résultera deux relations quiy comparées entre elles, donneront

\ cause de la première des équations ci-dessus; ce qui démontre que le rapport de [xp) à {xq) ne deviendrait égal à celui de {x' p^) à {oc' q^) qu'autant que a serait tel, qu^on eût

(a^)(fl/?.) ^ {ap){aq,)

circonstance qui n'a lieu généralement que pour le cas cité où a se trouve à l'infini.