Donc réciproquement

Sii dans le plan commun à deux lignes géométriques quelconques, mais du même degrés on mène une suite de transversales parallèles à un cujcefixe arbi^ traire^ puis qu'on prenne sur chacune d'elles tous les points tels, que les produits de leurs distances à chaque courbe respective mesurées sur cette transversale soient entre eux dans un rapport invariable, le lieu de tous les points pareils sera une troisième ligne géométrique du même ordre que les proposées et passant par tous Us points qui leur sont communs.

Par conséquent aussi le système de ces trois courbes géométriques jouit des diverses propriétés d'involution qui nous ont précédemment occupés relativement à des transversales entièrement arbitraires.

278. Ces énoncés s'étendent aux systèmes analogues de surfaces géomé-^ triques d'un même degré, pourvu qu'elles aient les mêmes courbes d'intersection, comme elles s'appliquent également au cas où l'on remplacerait les lignes ou les surfaces par des systèmes de droites ou de plans constituant

chacun un lieu du même ordre. De plus, les considérations exposées dans ce qui précède indiquent les moyens de construire géométriquement tous les points qui jouissent de la propriété énoncée.

279. Au lieu de conduire par chacun de ces points une transversale unique pour les deux courbes ou surfaces, concevons qu'on leur mène deux transversales distinctes, sous des inclinaisons déterminées; d'après le théorème de Newton, il est clair que les produits des segments compris sur chacune d'elles entre le point dont il s'agit et la courbe ou surface correspondante seront encore entre eux dans un rapport invariable pour tous les points de la troisième courbe ou surface. Car ces produits, comparés respectivement à ceux qui leur correspondent sur la transversale unique des énoncés précédents^ ont avec eux des rapports constants.

Dans le cas ou les deux courbes, les deux surfaces géométriques sont remplacées par des systèmes distincts de lignes droites ou de plans quelconques, mais formant des lieux du même ordre, on peut évidemment supposer que de chacun des points considérés on ait mené, sous des inclinaisons données, des transversales différentes pour chaque droite ou chaque plan, sans que nos théorèmes cessent d'exister; car les segments compris sur la transversale unique sont respectivement proportionnels aux distances mesurées sur les transversales distinctes qui correspondent à ces segments..

280. On reconnaît ici le célèbre problème des Ueux^ résolu par Descartes dans sa Géométrie, livre II, 2* partie ('), et dont la solution avait été vainement tentée par les Anciens, notamment par Pappus, pour les lieux supérieurs au deuxième degré; mais ce qui précède montre qu'en donnant un peu plus d'extension à la théorie des transversales dont les premiers linéaments leur sont dus, les Anciens eussent très-bien pu parvenir à la découverte de ces propositions universelles^ qui, entre les mains de notre géomètre philosophe, ont été le triomphe de l'Analyse moderne.

(*) yojrez aussi la Géométrie de position de Carnot, p. 444i n**387, et principalement Miscel" lanea analytica, etc., de Edw. Waring : Cantabrigiâ, 1762, p. loi à 104. Carnot, en considérant spécialement le cas de quatre droites sur un plan, en a déduit une série de propositions sur les coniques, parmi lesquelles se retrouve Thexagramme mystique de Pascal. Waring, peu cité par les auteurs, considère le cas d un nombre quelconque de groupes de n droites sur un plan et d'obliques correspondantes, abaissées sous des angles donnés d'un point mobile assujetti à la condition que la somme des produits relatifs à chaque groupe d'obliques multipliés par des constantes soit égale à zéro. Ces obliques s'exprimant par des fonctions linéaires des coordonnées variables, il en résulte que l'équation de la courbe cherchée est du degré n : pour le cas de deux groupes de trois droites, la courbe est du troisième degré et passe par les intersections mutuelles de ces groupes. Waring étend ces propositions à des courbes données du degré w. — (Note de i83o.)

Extension des théories précédentes.

Ces propositions, sur lesquelles je ne crois pas nécessaire d'insister, peuvent s'étendre à un nombre quelconque de courbes et de surfaces géométriques ou de systèmes de droites et de plans ayant ou non les mêmes intersections communes.

DES RELATIONS d'iNTOLUTION à PLUSIEURS TERMES ET A COEFFICIENTS INDÊTeRMINÉS.

281. Pour démontrer la possibilité de cette extension, concevons sur un plan plusieurs lignes géométriques du même degré m (* ) ; coupons toutes ces lignes par une suite de transversales parallèles à un axe fixe ; soient /?,/>',/?",..., les intersections de Tune quelconque de ces transversales avec Tune des courbes données que je nommerai {p)\ soient pareillement q% q\ ?''>•••> les intersections avec (y), r, r', r",..., les intersections avec (r), et ainsi de suite; prenons sur chacune de ces mêmes transversales le point a tel, qu'on ait

en ayant égard aux signes de position des différents segments relatifs au point a, et Â, B, C,... étant d'ailleurs des constantes numériques données, positives ou négatives: je dis que la suite des points a sera sur une ligne du degré m, qui passera par les intersections co/wmM^e5 aux proposées, si toutefois celles-ci ont une ou plusieurs intersections pareilles.

Considérant en particulier les courbes [p] et (^), on imaginera une nouvelle ligne géométrique du degré m passant par leurs m^ intersections communes, et dont les points de rencontre avec la transversale proposée, étant représentés par a?, x\ a?",..., soient tels, qu'on ait constamment (273), o étant sur cette transversale une origine quelconque des abscisses,

{A + B)(o^) = A(op)-f-B(o7);

on aura donc aussi

(A-+-B)(aa:) = A(ap)-hB(aî).

(*) Les courbes peuvent ne pas être du même degré; la courbe résultante sera du degré le plus élevé parmi ceux des proposées, comme on le verra dans une Addition à ce paragraphe. ~ (Note de i83o.)

Ceci se rapporte à diverses Notes manuscrites supprimées, et dont je me propose de donner une idée dans l*un des articles de la Section sapplémentaire (i865).

et par suite la courbe (a) devra satisfaire à la relation suivante, qui renferme un terme de moins que la proposée :

En opérant de même sur deux autres lignes quelconques relatives aux produits de segments qui entrent dans cette dernière équation, on pourra réduire le nombre de ses termes d'une seconde unité; par exemple, y, r', y",,., étant les intersections par la transversale proposée d'une nouvelle courbe (y) passant par les intersections de (r) et de (a?), on prendra pour la définir la relation

qui devient, quand l'origine o se confond avec a,

(A4-B-4-C)(ar)==(A4-B)(«:r)-+-C{ar) = A(a/^)-hB(a?)-f-C(«r).

Conlinuarrt donc ainsi, on arrivera finalement à une dernière égalité ne contenant plus que deux termes, laquelle appartiendra évidemment au lieu géométrique demandé (a) renfermant tous les points os, et qui sera du m''"" degré seulement» De plus, il paraît évident que, si toutes les courbes •proposées ont un point commun, les courbes auxiliaires, et par consé-? quent la courbe des a, passeront nécessairement aussi par ce point.

Le même raisonnement étant applicable mot pour mot au cas où Ton remplace les simples lignes par des surfaces de même degré, et trois surfaces pareilles, mais d'ailleurs quelconques, s'entrecoupant nécessairement aux mêmes points, qui sont en général au nombre de tw', on voit que toute autre surface du degré m qui sera assujettie à la relation ci-dessus par rapport aux premières, passera naturellement aussi par leurs intersectiops com-^r munes, réelles ou imaginaires.

282. Par l'un quelconque a des points de la courbe [a) ainsi obtenue, menons arbitrairement une transversale parallèle à l'axe tUe, on aura

A{<xp) -hB(a^)-hC(ar)-f-... = o;

relation qui aurait lieu également pour toutes les autres intersections Qc\ a",... de la transversale dont il s'agit avec (a). Par le point a concevons une nouvelle droite quelconque, qui pour toutes les positions de ce point doive demeurer parallèle à un autre axe fixe arbitraire; et soient /7,, p\, p'.-j ?i> 9i» /t»--» ''«' ^i* r\^.., ses intersections respectives avec les

SECTION ly.— DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 255 eourbes ou surfaces {p)f {q), (r),..., on aura» d'après le théorème de Newton,

(«/>) = K(a/?i), (ocq) = h{(xqt), (ar)= M (ar,),, . .,

eti par conséquent»

A. K( «/>,) -h B.L( a g,) H- C. M (ar.) 4-... = o;

ce qui montre que (a) jouit de la même propriété par rapport a tous les systèmes de transversales parallèles à des axes fixes quelconqueSi si ce n'est que les constantes qui entrent dans l'équation ci-dessus changent d'un axe à l'autre, conformément à ce qui vient d'être observé.

Une relation de la même forme aurait évidemment lieu encore, si, par les divers points de (a), on menait dans chaque courbe des sécantes parallèles à des axes fixes distincts.

DÉTERHINATIOn DES CONSTANTES SOUS DIVERSES CONDITIONS.

283. Supposons maintenant que l'on se donne arbitrairement autant de points a de (a) qu'il y a de constantes moins une dans cette relation, c'està-dire un nombre égal à celui des courbes ou surfaces données diminué d'une unité : on obtiendra ainsi autant d'équations linéaires qu'il en faut pour déterminer les rapports des constantes A, B, C,... à l'une quelconque d'entre elles, et, par conséquent aussi, pour déterminer complètement, de forme et de position, la courbe ou surface (a) qui passe par ces points.

Par exemple, si l'on n'a que trois courbes ou surfaces (/>), [q), (r) du degré m à considérer^ deux points a et af suffiront pour déterminer la quatrième courbe (a), puisqu'on aura pour la direction de aa!

A(ap)-hB(a g) + C(a r)=o, A(a» + B(a'ç)-|-C(a'r) = o;

d'où l'on tire immédiatement

B ^ iar){a'p)—{x'r){ap) ^ {cc' r){aq) — {ar){oc' g) C {ccp)(cc^q)-{oc'p)[ocqf C {ocp){oc' q)-[oc^ p){aq)'

Soit ce" un troisième point quelconque de (a) situé sur le prolongement de oca'f on aura également

A(aV) + B(««'î)4-G(aV) = o,

et, par conséquent,

[icc^r){aq)-{ar)[o:'q)](oL''p)-^[{ar){cc^p)-[a'r)(ap)]{a''q) H-[(«i>){«'g)-(«»(«fl)](«"r)=o;

ce qui démontre que les points a, a', a^...^ qui appartiennent à une même transversale arbitraire, ont entre eux, et par rapport aux intersections de cette transversale et des courbes ou surfaces (/?), {q) et (r), une corrélation telle, que, ces points étant pris trois par trois et dans un ordre arbitraire, ils donnent lieu à la même équation ou relation métrique, et que, de plus, deux quelconques d'entre eux étant donnés, les m — 2 autres s'en déduisent nécessairement.

284. Ces propriétés sont analogues à celles qui concernent trois systèmes de points en involution complète sur une droite; en les étudiant d'abord pour les systèmes de lignes droites ou de surfaces planes, on les étendrait facilement ensuite aux lignes et surfaces quelconques, à peu près comme nous l'avons fait pour les propriétés relatives à Tinvolution qui nous ont précédemment occupés; on serait ainsi conduit à des constructions géométriques élégantes et simples pour trouver la courbe ou surface qui satisfait aux conditions données, quand on assigne deux quelconques de ses points, ou une tangente et son point de contact, etc.

Il m'est impossible de m'arrêter à de telles conséquences, et je me borne à faire observer que la dernière des relations ci-dessus et toutes ses analogues deviennent identiques et, par conséquent, changent de forme quand on suppose a et a' infiniment voisins, ou la transversale aoc' tangente à (a); il est aisé en effet (187 et suiv.) de s'assurer qu'pn a alors

équations dans lesquelles il faut attribuer le signe -h ou le signe — à chaque abscisse ou segment, selon que ce segment est situé à droite ou à gauche de Torigine a ou u" d'où il se mesure; de sorte qu'on peut aussi leur donner cette forme plus simple :

ocp.otr A ^ocq.ar

77 = = ï TT =^ '

^ y Pg ^ y P^l ^(xp,aq ^ar.ocp

y 3L(«'/,)+y ZL(««'ç)+y£i(«",)=o,

SECTIOxN IV. - DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 267

sous laquelle on reconnaît que ces relations, de même que celles d'où elles proviennent, satisfont naturellement aux conditions de projectibilité énoncées au n^ 11 du tome P' de ce Traité. Ainsi, par exemple, des relations de même forme ont lieu entre les sinus des angles correspondants d'un faisceau convergent de droites qui s'appuieraient sur les points considérés, etc.

Mais cette analogie entre les systèmes de points qui nous occupent et les points en involution complète peut être rendue plus évidente encore par les considérations qui suivent.

ANALOGIE ENTRE LES NOUVELLES ET LES ANCIENNES RELATIONS b'iNTOLUTION.

285. Reprenons, en effet, le raisonnement du n^ 281 où nous avons fait intervenir les courbes ou surfaces auxiliaires (a?), (jjf.M pour construire celle (a) qui satisfait à la relation

A(a/?)-h B (aç)-i-C(ar) + . .. = 0,

et observons que, puisque nous avons, par rapport à une origine quelconque o de la direction de la transversale /?r parallèle à Taxe âxe,

(A-f-B)(oa:) = A(op)4-B(o/>), (AH-B-hC)(a7-)=(A-f-B)(oar)-4-C(or),

nous aurons aussi, en général, {z) étant la dernière des courbes ou surfaces auxiliaires considérées,

(A-f-B-4-C + ...)(<?2) = A(o/?)-hB(oç)4-C(or) +

Or il résulte de là que [z] et [a) jouissent absolument des mêmes propriétés par rapport à (/>), (y), (r),..., ou qu'elles sont de même espèce.

Supposons donc l'origine arbitraire o de /?r, successivement confondue avec divers points de la courbe (jz); le premier membre de l'équation cidessus s' évanouissant, on aura autant de relations de la forme

qui ont lieu aussi par hypothèse pour les divers points de (a).

Se rappelant maintenant que chacune des auxiliaires [x), (j)»-**» [z)

supposées en nombre n -*- 1 , si la relation proposée renferme n termes,

comporte un point ou une condition arbitraire, il sera facile de voir que [z)

se confondra entièrement avec (a), si l'on choisit les données de façon

a58 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES,

qu'elle passe par n— i <les poiats de (a). On aura donc aussi

(AH-B-hC-f-...)(<'«) = A(c>/?)-i-B(o7)-hC(or}

quel que soit le point d'origine o des segments; ce qui prouve que les systèmes de m points /i^ dcTn points^, etc., jouissent entre eux de propriétés entièrement réciproques, et analogues à celles qui constituent (260) Tinvolutlon complète de 3m points en ligne droite.

286. Supposant, par exemple, Torigine o successivement confondue avec a, avec p, avec ^, etc., on aura la suite d'équations

A(a/>)-^B(«9)-t-C(ar)-f-... = o, ( A 4-B-hCH-... )(/>«) -B(/?g)—C(/?r) — ... = o,

(AH-B-hC-h...) (ga) — A(g/?)— C{qr)—.., = o,

qui se rapportent au même genre de relations métriques, et subsistent sous la même forme quand on suppose cette origine successivement placée en a\ p\ 17", /,«.. ; ce qui ne fait que changer l'indice de la première lettre de chacun des facteurs des produits compris entre parenthèses, d'après nos conventions (165), cette lettre étant la même pour la même équation.

287. Concevons encore qu'un certain point a de la transversale />r soit tel, qu'il ait même centre de moyennes harmoniques conjugué par rapport aux diflerents groupes de points/?, de points q, etc., un seul de ces groupes excepté ; d'après les considérations générales qui précèdent, relatives aux surfaces auxiliaires (^), (/)f •••, (2), et qui peuvent s'appliquer immédiatement aux groupes des intersections a;, a/, a?*,..., des intersections y^y^ ^'",...1 etc.f qui leur appartiennent, le centre conjugué à ce point d'origine o dans le groupe réservé se confondra aussi avec celui qui est commun aux premiers groupes; car il est évident, par exemple, que si le groupe des points p et celui des points q ont même centre de moyennes harmoniques conjugué au point o, ce centre sera aussi celui (269) du système des points œ; que s^il est en même temps celui des points r, il devra également se confondre avec celui de^, et ainsi de suite.

Supposant le point o à l'infini, le centre commun des moyennes harmoniques se changera en un centre pareil des moyennes distances des différents groupes de points eonsidérés sur chacui^e des transversales parallèles à une même direction» la suite de tous ces centres formant un lieu unique, continu et linéairei dont nous n'avons point ici à nous occuper.

288. L'analogie de ces différentes relations entre les systèmes de points considérés avec celles qui concernent trois systèmes simples de m points (27t et suiv.) permettrait de nommer généralement inçohuion multiple et réci^ proque la corrélation de situation qu'elles définissent.

Mais, afin de ne pas confondre entre elles ces différentes espèces d'mvo* lutions, il conviendrait d'indiquer le nombre des systèmes distincts de points dont chacune se compose; ainsi» par exemple» on dirait une involufion complète de 3m points, de 4^7^ points» etc.» ou de trois groupes» de quatre groupes de m points» etc.

Sans insister sur cette dérmition, nous ferons observer que Ton pourra toujours substituer a chacune des relations qui viennent d'être posées en dernier lieu» une suite d'équations analogues à celles du n^ 285, et qui satisferont aux conditions de projectibilité dont il y est fait mention; ce qui prouve que toutes ces équations ont lieu de la même manière pour les perspectives ordinaires ou en relief de la figure proposée*; conséquence évidente en elle-*même» puisque les relations qui concernent les surfaces auxiliaires [x), {y)f'9 dont il a été fait mention précédemment (281), et qui appartiennent aux involutions complètes de 'Sm points» jouissent elles-mêmes de cette propriété.

DÉMONSTRATION DIBEGTE SE LA PROJECTIYITÉ BBS NOUVELLES RELATIONS d'iNYOLUTION ET COROLLAIRES RELATIFS AUX INTERSECTIONS DES LIGNES OU DES SURFACES.

289. Il me parait utile de montrer à priori comment toutes les relations jusqu'ici considérées» et qui contiennent des constantes» peuvent être ramenées de la manière la plus simple à la forme particulière de celles qui satisfont aux conditions de projectibilité du n^ 11 du précédent volume; car il en résulte» par là même» une série de relations ou de propriétés nouvelles et plus générales encore des points qu'elles concernent.

Considérant» par exemple» la relation particulière

(AH-B)(o:r)=A(o/?)4-B(og),

qui définit l'involution complète des trois groupes {/ig. 43) de /w points a;» x\ a?",...» p, p\p'\...^ y» y'» 5^',..., situés en ligne droite, on fera intervenir, conformément aux remarques de la Note II* du Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques (Sect. Il), le point w situé à l'infini sur cette droite, parmi tous les autres points considérés; car on aura identiquement

26o PROPRIÉTÉS PROJECÏIVES DES FIGURES.

attendu que les dénominateurs peuvent ici être censés égaux entre eux comme ne différant que d'une quantité finie négligeable. Mais, comme celte nouvelle relation est projeciive de sa nature, ou satisfait aux conditions spécifiées, on conclura qu'elle a lieu également quand on regarde o) comme un point quelconque au lieu de le supposer à Tinôni.

On généraliserait de même toutes les autres relations considérées dans ce paragraphe.

290. Le point o étant entièrement arbitraire (273) aussi bien que d), on pourra à son tour le supposer à Tinfini, et observant que les produits [ox]^ [op), [oq) convergent alors vers l'égalité, on aura

(A-hB) A B

[(ùx) (wp) (O)^)

nouvelle relation qui n'est pas moins remarquable que la proposée, et qui conduirait, ainsi que ses analogues, à beaucoup de conséquences curieuses, mais sur lesquelles encore nous ne saurions ici insister.

Contentons-nous de remarquer que toutes les relations ainsi transformées, ou les propriétés qu'elles expriment pour les groupes de points proposés, seront, en vertu de nos principes (120 et 131), susceptibles d'être traduites immédiatement en d'autres relations projectives appartenant à la figure qui est la polaire réciproque de celle dont cet ensemble de groupes fait partie.

Supposant ensuite que, dans cette figure, la droite et le plan polaire du point o ou du point u s'éloignent à l'infini, on retombera comme cas particuliers sur autant d'autres théorèmes ou corollaires qu'on pourra considérer comme les corrélatifs ou réciproques de ceux qui ont été établis pour les divers groupes de points primitivement considérés.

Remarquant enfin que, pour la figure dérivée dont il s'agit, tous les points ou groupes de points en ligne droite, tels que o, a>,/', 9, r,..., sont remplacés par des droites convergeant en un même point ou par des plans qui se (dupent suivant une même droite, on pourra encore supposer que ce pôle ou cette droite polaire conjugués à la droite primitive oq soient à l'infini, sans que les relations qui leur appartiennent cessent d'y être applicables autrement qu'en se modifiant suivant les lois simples établies d'après nos principes (Sect. III).

291. Au surplus, les considérations qui précèdent, applicables aux lignes et aux surfaces géométriques coupées par des transversales arbitraires ou parallèles à des directions fixes, peuvent s'étendre (278) au cas où la

transversale unique est remplacée par d'autres k directions distinctes pour chacune des lignes ou surfaces, issues du point à partir duquel se comptent les segments qui entrent dans les relations examinées; lorsqu'on fera cette extension, on devra (p. 53), pour opérer la transformation qui rend les relations projectives, considérer un point à Tinfini sur chacune de ces transversales distinctes, c'est-à-dire introduire autant de ces points qu'il y a de transversales : d'ailleurs, ces mêmes points devront, d'après nos principes {Propriétés projectives y t. I'', Sect. I et Supplément) ^ être censés situés sur une même droite à l'infini, si les transversales sont dans un plan donné, ou sur un même plan à l'infini, si ces transversales sont situées d'une manière quelconque dans l'espace.

Sans insister sur les nombreux corollaires auxquels donnent lieu ces considérations générales, nous nous attacherons spécialement à étudier les propriétés des systèmes de surfaces du même degré qui ont quatre par quatre les mêmes intersections communes, comme nous avons déjà étudié en particu* lier celles des systèmes de lignes planes passant par les mêmes points.

292(*). Soient (/>), (9), (r) et {s) quatre surfaces géométriques de degré m, ayant les mêmes m^ points d'intersection communs; soient x un point différent de ceux-ci situé sur la ligne d'intersection de (r) et de {s), eiy un point de {s) situé en dehors de cette ligne; par la courbe d'intersection de {p) et de {q) et par le pointa?, concevons une nouvelle surface (a?) de degré m, telle, par conséquent, que ses intersections par une transversale arbitraire soient en involution complète (259) par rapport aux intersections de cette transversale avec {p) et {q). Cette surface sera entièrement déterminée et pourra même (262) être construite géométriquement. Concevons pareillement une surface (y) passant par le point y et par l'intersection commune de {x) et de (r) ; il est aisé de voir que {y) et [s] se confondront en une seule et même surface ; en efTet, d'une part, la surface {s) contient x ainsi que les m' intersections communes à (/?), (9), (r); elle contient donc la ligne d'intersection de {x) et de (y), sans quoi elle la couperait en m' + i points, ce qui est absurde (240 et 241); d'autre part, la surface {s) passant par la courbe d'intersection de {x) et de (y), et contenant le point j situé sur (/), il est clair qu'elle se confond avec cette dernière. Ainsi les

(*) M. Moutard, qui a bien voulu relire le manuscrit et les épreuves de cette quatrième Section, m'a signalé et a corrigé dans ce n^ 292 une erreur de raisonnement, due sans doute à la rapidité de la rédaction ou à toute autre circonstance dont je ne puis me ressouvenir. — (Note de i865.)

surfaces (a?), (r) et {s) ou (y) ont une ligne d'intersection commune et sont par conséquent en involulion entre elles (267). Mais, d'après la manière dont (j) a été déterminée, cette surface est liée aux trois surfaces (p)^ {q) et (r) par les différentes propriétés ou relations métriques qui nous ont précédemment occupés (281); donc enfin il en est de même aussi de la quatrième surface arbitraire (5), ou, en d'autres termes :

Lorsque quatre surfaces quelconques du degré m ont les mêmes points d'intersections communes^ réelles ou idéales^ toute transversale les coupe suivant quatre groupes de m points chacun, qui sont en involution quadruple.

Cette proposition est la réciproque de celle qui se trouve énoncée a la fin du n^ 281.

293. D'après les conventions déjà admises au n^ 267, on peut dire encore que ces surfaces sont elles-mêmes en involution mutuelle ou réciproque; puis, par voie de continuité et de transformation polaire (Sect. II), ou arrive a des conséquences analogues relatives aux systèmes de surfaces qui ont quatre à quatre les mêmes plans tangents, notamment pour construire l'un des groupes de surfaces par les autres, etc., etc.

Le tour de démonstration ci-dessus est directement applicable à beaucoup d'autres théorèmes sur les courbes et les surfaces. Par exemple, on peut s'en servir pour démontrer ce théorème :

Si trois surfaces du degré m, s* entrecoupant en m^ points distincts corn-muns à leur système, mais qui, au lieu d'être quelconques, soient telles, que m^n de ces points appartiennent à une quatrième surface du degré n, les m^ — rn^ n = m^ [m — n) intersections restantes seront à une autre surface du degré m — n qui, avec la précédente, formera un système en involution mu-^ tu elle ou réciproque avec les trois surfaces proposées.

294. Ce théorème général est, en quelque sorte, évident en lui-même puisque, dès lors qu'il existe une infinité de surfaces du degré m qui oon-^ tiennent les intersections des trois surfaces données, il doit arriver dans certains cas que, parmi cette infinité de surfaces, il y en ait une ou plusieurs qui soient décomposables en deux ou plusieurs autres, dont la somme des degrés soit m; or, le signe auquel on peut reconnaître avec certitude l'existence d'une semblable décomposition, c'est évidemment qu'une cerUiine surface d'un degré inférieur a m ait toutes ses intersections avec les différents couples des proposées, comprises au nombre des m^ points communs à leur système.

Maïs on peut établir cette conséquence plus rigoureusement encore, ainsi qu'il suit.

295. Concevons par les m* intersections des surfaces (m) une infinité d'autres surfaces du degré m; elles coopèrent la surface {n) en une suite de courbes du degré mn qui s'entrecouperont toutes aux m^n points qui lui sont communs avec les proposées» mais qui ne sauraient avoir un plus grand nombre de points communs sans se confondre entièrement, puisque le nombre des intersections d'une surface du degré n et de deux surfaces quelconques du degré m ne saurait surpasser rn^n.

Supposant donc en particulier, qu'ayant choisi sur (n) un point queU conque a pour y faire passer (281) une infinité de surfaces de degré m conte^^ napt les m* intersections des proposées, il est clair que toutes ces surfaces, qui sont distinctes entre elles, devront néanmoins rencontrer (n) suivant la même courbe; mais si» pour déterminer complètement de grandeur et de position ces difTérentes surfaces» on exige que chacune d'elles contienne un nouveau point a' de (n), distinct de ac et entièrement arbitraire, commt; cette surface ne cesse pas d'être constructible géométriquement, il faudra bien que la surface (/i), tout entière, coïncide avec elle et toutes les semblables; autrement, en effet, elle les couperait toutes suivant des lignes du degré mn ayant, en outre du point a\ m?n autres points communs; ce qui est visiblement absurde.