On prouvera plus simplement encore que

Sif parmi les rr? intersections communes à deux lignes du degré m, tracées sur un plan^ mn sont à une ligne du degré n, les m^ — mn = m{m'-'n) inter^ sections restantes sont à une autre ligne du degré mn.

En effet, prenons a volonté sur {n) un point a pour y faire passer une ligne du degré m qui contienne en outre les m^ intersections des propo-** sées, ce qui est toujours possible (262); il arrivera que cette nouvelle ligne devra comprendre tous les points de (/i), puisque autrement elle aurait mn + I points en commun avec elle, ce qui est absurde. Donc toute la partie de cette ligne qui n'appartient pas à {n) devra constituer elle-même une autre ligne du degré m-^ n^ passant par les m[m'--n) intersections restantes -des deux lignes proposées.

Donc aussi :

Si la ligne d* intersection de deux surfaces de degré m renferme une ligne de ^legré mn comprise entièrement sur une surface du degré n , le surplus de V intersection du degré m^ -^ mn =» m{m --^ n)^ sera à une autre surface du

degré m--' n, qui, avec la précédente, formera un système en involution (267) avec les surf aces proposées .

297. Le même genre de démonstration pourrait servir à établir beaucoup d'autres théorèmes de cette espèce; et» si Ton suppose qu'une ou plusieurs des lignes ou des surfaces considérées se réduisent à des systèmes de droites ou de plans en nombre égal à celui qui marque leur degré, on en déduira une quantité de corollaires plus ou moins intéressants et relatifs à de tels systèmes, tous conséquences particulières des considérations générales exposées aux n**' 266 et suivants.

On remarquera à cette occasion que, par cela même que Tune des courbes ou surfaces en involution avec deux ou trois autres se trouve décomposable en deux courbes ou surfaces distinctes, celles-ci jouissent séparément, avec les premières, de relations spéciales analogues à celles qui concernent leur ensemble ou système total.

Ainsi, par exemple, dans le cas du n^ 296, toute transversale rectiligne déterminera dans les courbes [m) deux groupes de m points en involution simple (181^ 253, etc.) par rapport à chacun des couples d'intersection de la même transversale avec la courbe [n) ou avec la courbe {m— n). Suppo*sant en particulier que les courbes {m) soient des systèmes de m droites arbitraires, et observant que les intersections de ces systèmes qui appartiennent a [n) ou a (m — n) et qui sont en nombre mn ou m{m — /i), peuvent être considérées comme les sommets de certains polygones inscrits à ces courbes respectives et dont les côtés de rang pair se confondent avec les m transversales de Tun des deux groupes et les côtés de rang impair avec les m trans-versalesde l'autre, on en conclura une série de théorèmes relatifs aux figures polygonales d'un nombre quelconque pair de côtés, inscrites aux lignes géométriques et qu'on supposerait coupées, ainsi que ces lignes, par des transversales arbitraires.

298. Pour le cas des lignes des trois premiers ordres, notamment, on re^ tomberait sur la proposition rappelée aux n^* 143 et suivants, à laquelle on arrive directement, comme on l'a vu, quand on suppose le polygone partagé en ses diflérents quadrilatères simples et qu'on les suppose coupés, ainsi que la courbe, par une transversale unique. Or, le même genre de démonstra^ tion directe pouvant s'appliquer aux polygones inscrits à des lignes d'un ordre quelconque, on voit qu'on s'élèverait sans peine aux théorèmes généraux qui viennent de nous occuper sur les intersections des lignes et des surfaces géométriques. .

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. a65

SUR LA RBPRÉSBNTATION DBS LIEUX PAR DBS PROCÉDÉS ANALYTIQUES OU GÉOMÉTRIQUES