AUX COURBES PLANES

306. Considérons en particulier les deux propositions du n^ 192; il est clair qu'elles donnent immédiatement lieu à ces énoncés : ,

Une courbe géométrique de degré quelconque et un point fixe étant donnés à volonté sur un plan^

I ** Si, de ce point considéré comme pôlCy on mène une suite de sécantes ou de transversales rectiUgnes dans la courbe, puis qu'on prenne sur chacune d'elles le centre des moyennes harmoniques des points d'intersection correspondants, par rapport au point fixe ou pôle, la suite de tous ces centres appartiendra à une droite unique que nous nommerons /'axe des moyennes harmoniques de cette courbe conjugué au pôle dont il s'agit;

a® Si, ayant choisi à volonté deux des transversales ci^dessusy enjoint deux à

deux, par de nouvelles droites, celles de leurs intersections qui appartiennent aux mêmes branches de la courbe^ le système de toutes ces droites^ en nombre égal à celui qui marque le degré de cette courbe^ aura même axte des moyennes harmo^ niques par rapport aupôUfixe des transversales.

307. Le premier de ces deux théorèmes, pour le cas particulier où les moyennes sont prises avec des coefficients numériques égaux, n'est autre que celui de Côtes, démontré par Mac-Laurin dans son Traité posthume d'Algèbre (1748). Il redonne le théorème de Newton sur le diamètre des courbes planes, conjugué à la direction d'une droite quelconque, quand on suppose le pôle à l'infini ou les sécantes parallèles entre elles et à la droite fixe dont il s'agit. Par cette supposition, en efTet, tous les centres de moyennes harmoniques des transversales se changent (15 et 26) en des centres de moyennes distances, et l'axe des moyennes harmoniques en un axe de moyennes dis-tances pour lequel la somme algébrique des segments interceptés sur les trans-^ çersaleSf entre cet axe et les différentes branches de la courbe, est égale à zéro.

Quant au second de ces théorèmes, il conduit immédiatement à ce nouveau corollaire :

« Si l'on coupe une ligne plane géométrique par une droite arbitraire, » puis qu'on mène des tangentes aux diverses intersections correspondantes , » le système de toutes ces tangentes aura même axe de moyennes harmo- > niques que la courbe par rapport à un point quelconque de cette droite » pris pour origine des segments et pôle d'une suite de transversales. >

308. Ce dernier corollaire renferme comme cas particulier une belle proposition démontrée par Mac-Laurin dans l'ouvrage déjà cité, et qu'on peut considérer également comme une conséquence fort simple du théorème de Côtes. En y supposant le pôle situé à l'infini sur la droite arbitraire, les transversales qui s'y rapportent deviendront toutes parallèles à cette droite, et l'axe des moyennes harmoniques se changera encore en un axe des movennes distances ou diamètre de la courbe, conjugué à la direction de celle même droite. Enfin, si l'on suppose que la sécante ou transversale d'abord considérée s'éloigne tout enlière à l'infini sur le plan delà courbe proposée, on retombera directement sur cette autre proposition due a Newton :

Dans toute courbe plane géométrique, le système total des asymptotes a même diamètre que la courbe, conjugué à une direction donnée quelconque; corollaire d'où l'on aurait pu inversement déduire, par nos principes, les théorèmes généraux ci-dessus; mais il est évident que Newton, Mac-Laurin et Côtes n'ont point aperçu la liaison intime existant entre ces différents théo-

rëmesy qui (Sect. T*) s'étendent aux cas où les moyennes sont prises par rapport à des coefficients numériques arbitraires.

THÉORÈMES CORRESPONDAirrS POUR LES UGITES ▲ VOURLE GOURRURB ET LES SURFACES.

309. Les mêmes propositions relatives aux courbes planes et à leurs asymptotes» qu'on pourrait multiplier pour ainsi dire à volonté à Taide des théorèmes généraux contenus dans les précédentes Sections* s'étendent immédiatement aux surfaces et aux lignes géométriques à double courbure quelconques; en vertu de raisonnements analogues à ceux qui ont été mis en usage dans les n®' 44 et 45 du Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques (Sect. I'*). On est ainsi conduit aux théorèmes généralisés qui suivent:

Étant donnés y dans t'espace^ une surface géométrique quelconque et un point fixe pris pour pôle commun d'une infinité de transversales rectihgnes arbi* traireSf le système de tous les centres de moyennes harmoniques des intersections de ces trançensales avec la surface^ conjugués au pôle fixe ^ appartiendra à un plan unique qu'on peut appeler : plan des moyennes harmoniques relativement à ce même pôle.

310. Considérant, en particulier, trois quelconques des transversales dont il s'agit» et concevant un système de plans-cordes joignant trois par trois les intersections qui appartiennent à des transversales distinctes et aux nappes diverses de la surface proposée, le plan des moyennes harmoniques de ce système de plans cordes, relatif au pôle fixe des transversales, se confondra avec celui de cette surface. Et, si les trois transversales dont il s'agit se réunissent en une seule, les plans-cordes se confondront avec les plans tangents de la surface aux extrémités de cette droite unique; de sorte que tous les systèmes de plans tangents pareils qui appartiennent à des transversales différentes, issues dudit pôle, auront un seul et même plan de moyennes harmoniques, confondu avec celui de la surface proposée par rapport à ce point fixe ou pôle.

Si, d'ailleurs, on suppose dans ces énoncés que le pôle fixe passe à l'infini ou que les transversales deviennent parallèles à une direction donnée, les centres de moyennes harmoniques divers se réduisant à des centres de moyennes distances, on arrivera à des théorèmes analogues relatifs aux plans de moyennes distances qu'on pourra nommtv plans diamétraux de la surface

conjugués à la direction dont il s'agit.

^^i PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Ainsi, par exemple, c tout plan diamétral d'une surface géométrique,

> conjugué à la direction d'une droite donnée, est aussi le plan diamétral » de chacun des systèmes de plans tangents à cette surface qui corres* ' pondent à ses intersections avec une droite quelconque parallèle à la

> direction fixe de la proposée. >

311. En remarquant qu'une surface géométrique donnée possède une infinité de développables du même degré, circonscrites aux contours de ses différentes sections planes, ou ayant mêmes plans tangents aux points de ces sections; en remarquant de plus que, parmi toutes ces développables, il en est une, mais une seule, qui est asymptote de la surface proposée, ou dont la ligne de contact est entièrement située à Tinfini dans un plan qui peut être considéré lui-même {Propriétés projectwes, 1. 1®% Supplément^ n**576 et suiv.) comme contenant tous les points à l'infini de l'espace; enfin, en se rappelant que, dans tout système de droites ou de plans parallèles, ces droites et ces plans doivent être censés concourir en un même point ou en une même drq^te commune à l'infini, on conclura de ce qui précède les propositions suivantes : ' .

i*' Toute surface développable circonscrite à une surface géométrique quelconque suwant le contour de l'une quelconque de ses sections planes, a même plan diamétral que la proposée, conjugué à la direction d'une droite arbitraire, parallèle à ce plan; ou, plus généralement ^ cette surface développable a avec la proposée f même plan de moyennes harmoniques conjugué à l'un quelconque des points de ce plan de section de contact.

2^ La surface déçeloppable asymptotique d'une surface géométrique quel^ conque a même plan diamétral que celles-ci, conjugué à la direction d'une droite arbitraire; ou^ en d'autres termes, toute transversale droite coupe l'une et l'ojuXre de ces deux surfaces en deux groupes de points qui ont le même centre de moyennes distances ^ pris toujours par rapport (38 ) à des coefficients numériques arbitraires.

3° Dans toute surface géométrique^ le système total des plans asymptotes

relatifs à la direction d'un plan donné, ou qui contiennent toutes les asymptotes

• des intersections de la surface parallèles à ce plan, ce système, dis-je, a même

plan diamétral que la surface proposée^ conjugué à la direction d'une droite

prise arbitrairement dans le plan donné.

312. Ce dernier théorème est, pour les surfat;es géométriques, l'analogue de celui de Newton pour les simples lignes planes : on y parvient immédia-* tement en supposant que, dans le dernier des énoncés du n^ 310, la droite

unique qui contient les poinis de contact des plans tangents passe tout entière à l'infini suivant la direction marquée par un certain plan.

313. Passons aux lignes géométriques à double courbure qui ont généra* lement pour projection sur un plan arbitraire d'autres lignes géométriques de même degré, et rappelons-nous que, d'après les définitions et propriétés (n^ 28 et suiv.) du centre des moyennes harmoniques d'un système de points situés à volonté dans un plan ou dans l'espace : ce centre n'a point, comme celui des moyennes distances, une position absolue, même quand on assigne (38) les coefficients numériques ou facteurs qui correspondent à chacun des points considérés, mais qu'il est toujours relatif ou conjugué à une certaine droite fixe, à un certain plan fixe que nous avons nommés axe^ plan des origines harmoniques, et dont l'éloignement à l'infini réduit le centre correspondant des moyennes harmoniques à un simple centre de moyennes distances.

En examinant ce qui a lieu dans les projections planes de ces courbes, sur un plan perpendiculaire à Tarête commune d'un faisceau de plans se* cants, on arrive tout de suite à ce théorème, qui est l'analogue ou l'extension de celui qui appartient (45) aux systèmes de simples lignes droites situées à volonté dans l'espace :

Une ligne géométrique à double courbure et un aœefixe étant donnés dans l'espace^ si^ par cet axe^ on conduit dans la courbe un faisceau ou infinité de plans transversaux, puis qu'on prenne pour chacun d'eux le centre des moyennes harmoniques des intersections correspondantes ^ la suite de tous ces centres appartiendra à une même droite qu^on peut appeler (49) /'axe des moyennes harmoniques de la courbe^ conjugué à laxefixe du faisceau.

L'axe des moyennes harmoniques dont il s'agit se confond évidemment (305, 306) à la fois, et avec celui quf appartient à* chacun des systèmes distincts de cordes joignant, deux par deux, les intersections relatives, à un couple quelconque de plans transversaux, et avec celui de chacun des systèmes de tangentes relatives aux intersections de la courbe et d'un même plan.

314. Supposant Taxe fixe à l'infini, tous les plans transversaux deviendront parallèles entre eux et à un plan donné ; les centres des moyennes harmoniques se changeront en des centres de moyennes distances, et Taxe des moyennes harmoniques en un axe des moyennes distances qu'on pourra nommer le diamètre de la courbe conjugué à la direction du plan fixe.

CoDsidérant d'ailleurs le système total des asymptotes de la courbe ou des tangentes qui répondent aux points à Tinfini de cette courbe, on s'assurera, par nos principes, qu'il a le même diamètre qu'elle, conjugué à la direc-^ tion d'un plan fixe arbitraire. De plus il sera évident encore que :

Les m asymptotes d'une courbe plane ou à double courbure de degré m^ devant être considérées comme une ligne de ce degré, tout plan transçerscd de ces m asymptotes et de la courbe y déterminera deux groupes de m points ayant un même centre de moyennes distances.

PROPRIÉTÉS DIVERSES DES AXES, DES PLIKS ET DBS CENTRES DE MOYENNES HARMONIQUES DES LIGNES OU SURFACES GÉOMÉTRIQUES, CONJUGUÉS À DES FAISCEAUX DE TANGENTES OU DE PLANS TANGENTS, ETC.

315. Des propositions plus générales encore ont lieu pour les courbes de l'espace, leurs enveloppes développables osculatrices ou tangentielles (82), par rapport aux faisceaux de plans tangents et de génératrices droites issus de points, de droites ou de plans arbitrairement donnés au dehors de la courbe, à laquelle on peut d'ailleurs substituer une surface géométrique quelconque. C'est ce dont on verra divers exemples ci-aprës.

Si d'ailleurs on applique à ces propositions générales les principes exposés dans le Mémoire sur la théorie des polaires réciproques (Sect. II, n°' 120, 131 et suiv.), on en déduira un grand nombre de nouveaux théorèmes relatifs aux systèmes de tangentes et de plans tangents, des courbes ou sur-* faces géométriques, issus de points et de droites donnés. Mais, comme il ne s'agit point ici d'un Traité complet sur ces lignes et surfaces, nous nous contenterons de quelques exemples propres à mettre en évidence la richesse et l'étendue de la matière, en même temps qu'ils nous offriront l'occasion de poser quelques définitions nouvelles.

316. Appliquons d'abord les principes de la théorie des polaires réciproques à la propriété du n^ 305 concernant les axes de moyennes harmoniques des courbes planes, conjugués à des points ou pôles fixes : il en résultera évidemment cet autre théorème, analogue au premier de ceux du n^ 29, qui concerne un simple groupe de points :

Une courbe géométrique et une droite fixe étant données arbitrairement sur un plan, concevons que d'un point quelconque de cette droite on mène toutes les tangentes de la courbe^ puis qu'on détermine ( 15 et 25) Vaa^e des moyennes harmoniques de ce faisceau de tangentes par rapport à la droite fixe donnée;

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 277 cet €1X6 et tous ses semblables concourront en un point invariable qu'on peut appeler : centre des moyennes harmoniques de la courbe proposée, relative^ ment à Voxsefixe dont il s'agit.

317. On remarquera que, pour chacun des faisceaux de tangentes, Taxe des moyennes harmoniques contient nécessairement (30) le centre de moyennes harmoniques conjugué à la droite fixe du système des points de contact de ces tangentes; donc :

Le centre des moyennes harmoniques dune courbe plane donnée , relativement à un axe fixe arbitraire^ est aussi le centre pareil de tous les faisceaux de tan'* gentes issues des différents points de cet axe.

318. Supposant que Taxe fixe passe à l'infini sur le plan de la courbe, les faisceaux de tangentes qui convergeaient en des points de cette droite deviendront des faisceaux de tangentes parallèles, et les mêmes' conséquences subsisteront toujours, si ce n*est (28) que les centres et les axes de moyennes harmoniques se changeront respectivement en des centres et des axes de moyennes distances . En nommant, pour abréger, centre de la courbe le point de concours unique de tous les axes des moyennes distances des faisceaux de tangentes parallèles, on devra se garder de croire que ce point est aussi le concours unique de tous les diamètres de la courbe, ni ce qu'on appelle en général le centre des moyennes distances d'une ligne : cette coïncidence ne peut avoir lieu que dans certains cas particuliers, comme nous le démontrerons un peu plus tard.

319. Les énoncés des n^' 308 et suivants conduisent encore aux propositions réciproques ci-après :

Une surface géométrique quelconque et un plan fixe étant donnés dans l espace 9 supposons que, par une droite choisie arbitrairement dans ce plan, on mène à la surface tous les plans tangents, puis qu'on détermine le plan des moyennes harmoniques de leur système total (Sect. V^) par rapport au plan fixe d'origine auquel il est conjugué; le rumveau plan ainsi déterminé passera, de même que tous ses analogues relatifs aux différentes droites de ce dernier, par un point unique^ que nous nommerons encore centre des moyennes hab-

HfONIQUES DE LA SURFACE, COnjUgué UU plojl fixC.

Le centre général dont il s'agit se confond évidemment avec celui qui, conjugué harmoniquement au même plan d'origine, appartient (31) à chacun des groupes de points de contact correspondants aux faisceaux distincts de plans tangents à la surface proposée, qui émanent des diverses

droites arbitrairement choisies sur le plan fixe, pour servir èioxe d^origines

aux segments harmoniques.

320. Ce théorème est l'extension évidente de celui du n^ 49, qui concerne un simple groupe de points situés arbitrairement dans l'espace. Quand on suppose que le plan fixe passe à l'infini, il fournit la définition du centre général de moyennes distances des surfaces géométriques, qu'il n'est pas permis, comme nous en avons déjà prévenu (3i8), de confondre avec ce qu'on nomme ordinairement le centre de figure des surfaces, et qui ne se confond pas non plus avec l'enveloppe des plans diamétraux conjugués k des directions de plans quelconques.

Passant aux propositions inverses de celles qui concernent la courbe à double courbure (313), rappelons-nous que la polaire réciproque (83) d'une telle courbe est une surface développable quelconque dont l'arête de rebroussement est, à son tour, la réciproque polaire de la surface développable osculatrice de la proposée ou qui est formée par le système de toutes ses tangentes. On arrive a ces divers énoncés :

Une surface déçeloppable et une droite ou axe fixe étant donnés , si, des différents points de cette droite, on mène autant de systèmes de plans tangents à la surface^ et qvCon détermine pour chacun d'eux le plan des moyennes harmo^ niques conjugué à cet axe fixe des origines (4-8), tous ces plans iront passer par une droite unique qu'on peut appeler elle-même Vktlyl des moyennes harmoniques de la surface y conjugué à la droite fixe. — Ce même axe est aussi I'axe des moyennes harmoniques de chacun des systèmes de génératrices de contact de la surface par rapport à la droite fixe dont il s' agit »

321. Les plans tangents d'une développable n'étant autre chose que les plans osculateurs de son arête de rebroussement, il résulte aussi de ce qui précède que :

Si, des différents points dune droite et origine arbitraire, on mène les sys-^ tèmes correspondants de plans osculateurs à une courbe à double courbure quelconque, le plan des jnoyennes harmoniques de chacun de ces systèmes par rapport à la droite fixe d'origine, ira passer par une autre droite ou axe de concours unique, quon peut nommer Taxe des moyennes harmoniques de la courbe proposée, relativement à la droite d^ origine, axe de moyennes harmo-^ niques qui est aussi celui des systèmes distincts de tangentes aux points de contact des dii^ers plans osculateurs.

322. L'axe des moyennes harmoniques dont il s'agit étant lui-même

distinct de celui qui appartient (313) aux différentes intersections des plans conduits par la droite d'origine, on pourra le nommer cixe harmonique par oscuUuioTiy et celui-ci aa^e harmonique par intersection.

Le théorème précédent est' d'ailleurs évidemment Textension du second de ceux énoncés au n^ 49 pour les assemblages de lignes droites.

Enfin la proposition du n^ 320 ci^dessus étant applicable aussi bien aux surfaces développables qu'aux surfaces courbes quelconques, on en déduit immédiatement la proposition réciproque qui suit :

Une courbe géométrique et un plan quelconque (A) étant donnés dans V espace, si, par une droite prise à volonté dans ce plan pour axe des origines harmoniques^ on conçoit le faisceau des plans tangents à la courbe et son plan harmonique conjugué (47) au plan (A), qui est aussi le plan moyen relatif aux points de contact de ces plans tangents, conjugué également à[k), ce plan moyen, harmonical ou harmonique, passera, ainsi que tous ses analogues émanés des divers axes d'origine compris dans le plan général d'origine (A), par un seul et même point qu'on peut nommer encore le centre général des moyennes harmoniques conjugué au même plan d'origine (A).

323. Ce théorème se déduirait sur-le-champ de celui qui a été exposé n^ 316. et 317 ci-dessus relativement au centre harmonique général des courbes planes; car si, d'un point quelconque du plan d'origine (A), on fait la projection conique ou perspective de la courbe à double courbure sur un plan arbitraire (X), la projection du centre harmonical ou harmonique de cette courbe s'y confondra évidemment avec le centre pareil de la projection de la même courbe par rapport k l'intersection du plan de projection (X) et du' plan (A) des origines harmoniques.

324. Supposant maintenant que, dans les théorèmes qui précèdent, les plans, les droites d'origine dont il s'agit passent à l'infini, on arrivera à autant de théorèmes dans lesquels les axes, les plans et les centres de moyennes harmoniques seront devenus des axes, des plans et des centres de moyennes distances. Enfin, si, des propriétés et définitions diverses qui appartiennent aux lignes planes géométriques, on passe à celles qui concernent les cônes et les cylindres en général ou les cônes, les cylindres circonscrits à une surface et à une courbe à double courbure quelconque, ce qui est facile, on arrivera a une série de nouveaux théorèmes dont la correspondance avec leurs analogues relatifs aux pôles, polaires et plans polaires conjugués dans les lignes ou surfaces du second degré est trop évidente pour qu'il soit nécessaire d'insister; car ces théorèmes peuvent être considérés^ par voie de

continuité, comme une simple extension de ceux qui leur correspondent (Sect. P*) pour les systèmes de points, de plans et de droites arbitraires.

325. Observant, par exemple, qu'un groupe quelconque de points dans Tespace peut être envisagé comme constitué d'autant de surfaces fermées, réduites à des dimensions infiniment petites et représentant une surface formée de points singuliers; observant, en outre, que les faisceaux de tangentes ou projetantes émanées d'un autre point fixe quelconque de l'espace représentent autant de petits cônes constituant une surface conique générale circonscrite à cette surface fictive; qu'enfin l'axe harmonique d'un tel faisceau, conjugué k un plan d'origine arbitraire contenant le sommet commun des cônes, doit être regardé comme l'axe pareil du faisceau représenté par l'ensemble de toutes les droites projetantes, etc.; par ces considérations purement inductives et fondées sur la notion de continuité, etc., on sera conduit (31 et 49) à ce théorème général (*), qu'il serait facile de justifier au moyen de raisonnements à priori analogues à ceux des n^ 313 et suivants, théorème qui se lie intimement d'ailleurs avec celui du n^ 319 :

Une surface géométrique et un plan fixe étant donnés dans V espace j si, des différents points de ce plan origine , on mène des cônes circonscrits à la surface, la série des axes harmoniques de ces cônes ^ conjugués au plan d* origine , passera par un seul et même point qui se confond à la fois et avec le centre des moyennes harmoniques de la surface proposée par rapport au plan fixe d' origine ^ et avec tous les centres pareils des différentes lignes de contact des cônes circonscrits à

cette même surface,

326. Â son tour, ce dernier théorème est susceptible d'être traduit dansle suivant par les principes de la théorie des polaires réciproques : \

Une surface géométrique et un point fixe étant donnés à volonté dans Ves^ ' pace, si, par ce point général d'origine des segments harmoniques, on mène une \ infinité de plans sécants dans la surface ^ puis qu'on prenne le centre harmonical ) des courbes d'intersection, conjugué au point fixe, tous ces centres seront situés en un seul et même plan qui est à la fois, par rapport au point fixe d'origine, le centre pareil de la surface proposée et des différentes développables qui lui sont circonscrites suivant les sections planes.

(*) Quelqu'un m'ayanl fait observer avec raison que Tancienne rédaction du n** 325 ne pouvait servir à justifier renoncé du théorème qui suit, malgré de légères corrections qui n'en changent nullement l'esprit ou le sens logique, cela m'engage à rappeler qu'il ne s'agit là que d'aperçus rapides que le temps ne me permettait pas de développer davantage. — (Note de i865.)

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. îiSi

REMARQUES ET DOCUMENTS DIVERS RELATIFS AUX THfiORIES PRÉCÉDENTES.

327. Mais en voilà assez sur cette matière, dont quelques corollaires intéressants ont fait récemment l'objet des investigations de M. Chasles dans des Mémoires sur les transformations paraboliques des relations métriques des figures^ insérés aux tomes V et VI de la Correspondance mathématique et physique de M. Quetelet, et reproduits plus récemment encore dans le tome XIII (année iSv'îo) du Bulletin des Sciences de M. de Férussac, p. 9 et 164. En effet, si Ton change, dans mes propres énoncés, les mots centres, axes et plans de moyennes harmoniques en ceux de pôles ^ diamètres et plans-diamètres conjugués au point ou à la direction de la droite et du plan que j'ai nommés points^ axes et plans des origines, parce qu'ils servent de point de départ commun aux segments qui définissent la relation harmonique; en faisant, dis'je, cette substitution de mots qui s'appliquent exclusivement au cas où, ces origines passant a l'infini et les moyennes harmoniques se changeant en moyennes distances (Sect. I), les droites ou rayons qui y aboutissent deviennent parallèles aux directions correspondantes, on retombera directement sur les théorèmes des Mémoires précités; auxquels d'ailleurs on parvient en prenant pour point de départ le théorème de Newton relatif aux diamètres ou axes de moyennes distances des courbes planes géométriques, théorème qui, par des considérations très-simples de projection, s'étend sur-le-champ aux lignes à double courbure et aux surfaces géométriques quelconques.

328. Appliquant ensuite à ces mêmes théorèmes les conséquences qui résultent de la doctrine des polaires réciproques envisagée dans le cas particulier où la directrice des pôles et polaires est une parabole ou un paraboloïde, M. Chasles en déduit les théorèmes inverses concernant les pôles ou centres des courbes et surfaces géométriques, à peu près comme j'en ai agi moi-même dans ce qui précède, mais en prenant pour point de départ le théorème général de Côtes et ses annexes de l'espace, relativement à une directrice quelconque; ce qui m'a conduit à des résultats qui comprennent comme cas particulier les théorèmes de cet habile géomètre, parmi lesquels ne se trouvent ni les miens propres, ni divers autres de Mac-Laurin, ni en général ceux qui définissent l'axe et le plan de moyennes harmoniques conjugués à un point fixe, bien qu'ils puissent s'en déduire immédiatement par la projection centrale, attendu que le centre des moyennes distances s'y change en un centre de moyennes harmoniques, en vertu des principes établis dans

la Section T®, qui contient d'ailleurs sur les systèmes de points, de droites ou II. " 36

de plans, assez de propositions et de démonstrations relatives au centre de moyennes distances en général, pour mettre sur la voie de théorèmes analogues relatifs au cas où l'on viendrait à substituer à ces systèmes, des lignes et des surfaces géométriques quelconques; remarque, au surplus, que je n'ai pas manqué de faire en présentant, en iSa^, les Mémoires des Sections I et II à l'Institut de France {voyez p. 8, 45, etc., de ce volume).

329. A cette occasion, je ne puis m'empécher de regretter que M. Chasles n'ait point adopté franchement et largement, dans ses diverses recherches géométriques, les principes et les définitions dont je m'étais antérieurement servi dans le Traité des Propriétés pwjectives des figures ou dans les Mémoires sur la Théorie des polaires réciproques et des centres de moyennes harmoniques: cela n'eût rien ôté au mérite de ses propres travaux, et il en serait résulté que, parlant une langue commune, tout le monde se serait parfaitement entendu dans une partie de la science qui commence à se compliquer tellement, qu'il n'est désormais qu'un petit nombre d'adeptes qui soient en état aujourd'hui (i83i) d'en suivre les progrès. Et, par exemple, à quoi bon substituer le mot axe de symptose à celui dJa^xe d'homologie que j'ai employé dans le Traité dont il s'agit, pour désigner les sécantes communes au système de deux lignes du second ordre, surtout lorsqu'on avait, avec moi, adopté celui de centre d'homologie pour les points de concours de leurs tangentes communes, et qu'on entendait d'ailleurs indiquer les mêmes propriétés de situation de ces objets? A quoi bon aussi remplacer les mots centres^ axes et plans de moyennes distances y qui paraissent très-convenables, par les mots vagues de pôles, diamètres et plans-^iamétreSj qui désignant les mêmes objets ne répondent à aucune idée nouvelle et précise?

Il est évident que dès qu'on se croit autorisé à changer ainsi les mots, soit pour l'élégance, soit pour la simplicité du discours, on devrait tout au moins indiquer au lecteur ce qu'ont de commun les dénominations proposées avec les anciennes. Ces réflexions, qui, je le répète, n'ôtent rien au mérite des travaux de M. Chasles, me conduisent naturellement à remarquer que les principes de la transformation parabolique, qui ne sont que ceux de la théorie des polaires réciproques, limités au cas particulier où la directrice des pôles et polaires est une parabole ou surface parabolique, ne sauraient conduire à aucune conséquence générale qu'on ne puisse en même temps obtenir par la combinaison des principes de cette dernière théorie et de la doctrine des projections coniques; je veux dire a aucune conséquence générale qui ne rentre dans la classe de celles des n^' 120 et suivants de ce

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 283 volume, et dont le caractère ou les conditions spéciales ont été établis au n** 10 du tome 1" du Traité des Propriétés projectiles*

330. En examinant» en effet, les conditions particulières que M. Chasles a assignées à la transformation parabolique des relations métriques {voyez son Y^ Mémoire sur cet objet, dans le tome V de la Correspondance de M. Quetelet, p. 283 et 3o6), on aperçoit qu'elles n'indiquent autre chose si ce n'est que les relations qui y satisfont sont projectiles, mais projectives orthogonalement par rapport à un axe donné. Or, cette remarque suffit pour montrer que ces relations doivent être comprises, implicitement ou comme cas particuliers, dans la classe de celles qui subsistent pour les projections analogues relatives à un plan quelconque, et à/ortiori{*) dans la classe plus générale encore de celles qui sont projectives coniquement, et dont j'ai spécialement étudié les caractères dans le Chapitre I*"", Sect. I, du Traité des Propriétés projectives (t. P'). C'est, au surplus, ce que j'établis directement dans une Note que je me propose d'adresser prochainement au savant Rédacteur de la Correspondance mathématique et physique de Bruxelles; Note qui faisait d'abord partie de ce Mémoire, mais que j'en détache à cause de son étendue et de la nature toute particulière des importantes questions qui s'y trouvent traitées (**).

331 • Ainsi donc, non-seulement la transformation parabolique ne saurait donner aucun résultat qu'on ne puisse obtenir également par la combinaison de principes généraux sur la projection centrale et la théorie des polaires réciproques, mais encore elle a Tinconvcnient de ne point permettre la traduction ou conversion immédiate de la relation métrique proposée en d'autres qui se rapportent simplement aux angles et aux lignes trigono* métriques de la figure corrélative; traduction toujours facile, d'après les n°* 123 et 137 de mon Mémoire sur cette dernière théorie, quand les relations sont projectives en général, et qui doit par conséquent l'être pour les relations particulières dont il s'agit, quand elles ont été convenablement étendues ou transformées; ce qui est possible de diverses manières, au moyen des règles fixes exposées dans les Notes indiquées ci-dessus.

Après cette longue digression, je passe à des considérations d'un ordre

{*) f^ojrez la Note II placée à la fin du Mémoire sur ie centre des moyennes harmoniques (p. 5-a du présent volume).

(** ) Cette nouvelle Note se trouve rapportée textuellement dans le § I de la Section supplémentaire, ci-après.

diflerent de celles qui nous ont jusqu'à présent occupés dans ce paragraphe, et qui connplétent ce que je voulais dire de spécial touchant les centres,, les axes et les plans de moyennes harmoniques des courbes et des surfaces géométriques.

DES PÔLES ET POLAIRES SUCCESSIVES DES COURBES ET SURFACES GÉOMÉTRIQUES.

332. J'ai remarqué, d^ns le n^ 22 du premier Mémoire (Sect. II), que le centre de moyenne harmonique d'un groupe de points quelconques situés sur une ligne droite n'était pas en général réciproque à l'égard du point qui sert d'origine aux segments ou lui est conjugué, comme cela arrive dans le cas particulier où ce groupe se réduit à deux points seulement; c'est-à-dire qu'en prenant, à son tour, ce centre pour rorigine des abscisses ou segments, le centre de moyenne harmonique qui iui correspond ainsi qu'au groupe des points arbitraires considérés, centre qu'on pourrait nommer le contre-harmonique du premier (*), ne se confondra pas essentiellement avec le point d'origine qui lui est conjugué dans la première hypothèse. Or il résulte de cette simple remarque, que la réciprocité qui s'observe entre le pôle et la polaire ou le plan polaire des lignes et des surfaces du second ordre, ne peut non plus se soutenir complètement entre les points, axes ou plans d'origines harmoniques, et les axes ou plans de moyennes harmoniques de courbes, de surfaces géométriques quelconques, ou conjugués respec» tivement aux premiers.

Ainsi, par exemple, le point d'origine conjugué à l'axe harmonique d'une courbe géométrique plane n'est pas nécessairement le point de concours^ unique des axes harmoniques de la courbe, conjugués aux différents points du premier axe.

333. Pour bien apercevoir la différence essentielle qui existe entre un pareil axe et la polaire des lignes du second ordre, conjuguée à un point ou pôle fixe donné, il faut considérer que cette polaire jouit d'une propriété particulière et caractéristique qui n'appartient pas à l'axe harmonique en général, à savoir : que ses intersections avec la courbe sont les points de contact mêmes des tangentes issues du pôle correspondant.

Soit, en eiTet, a un point quelconque du plan d'une courbe géoniétrique

(*) ^oy^^ dans le tome II des Applications d'analyse et de Géométrie (II* cahier, art. IV, p. i4a) un résumé des premières tentatives que j'avais faites en i8i6, sur l'application de la méthode des transversales aux courbes géométriques, tentatives qui sont devenues plus tard la base des développements géométriques qui suivent. — (Note de i865.)

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES Et DE SURFACES. 285

du degré /72, pris pour pôle d'une suite de transversales rectilignes; soient/i, p\p"^.,, les intersections de Tune quelconque de ces transversales avec la courbe et ce leur centre de moyennes harmoniques simple, par rapport à a, de sorte qu'on ait

ax ap ap ap

ou, ce qui revient au même (17),

ap ap ap

la suite des centres' pareils sera, comme nous l'avons vu (193), sur une droite unique.

Or, si Ton suppose que la transversale soit conduite par l'une quelconque des intersections de cette droite ou de l'axe harmonique dont il s'agit, il arrivera seulement, dans l'éqyation ci-dessus, que ax sera égal à l'un quelconque des segments a/?, ap\ ap'\..., correspondant, par exemple, à ap; ce qui réduira l'équation à cette autre

m — I I ^ I , , xp' xp"

ax ap ap ap' ap"

exprimant que x est devenu simplement le centre des moyennes harmoniques de toutes les intersections non communes à la transversale et à Vaxe des points x.

334. Au contraire, si l'on prend, pour déterminer le point x par rapport à a, la relation

m I I . I . ap ap' ap"

xa xp xp' xp xp xp xp

puis qu'on suppose x confondu avec/?, on aura ir/? = o, et l'équation contenant un terme infini dans son second nombre, il faudra qu'un autre au moins de ses termes le devienne également, afin que, retranché du premier, le reste soit une quantité finie donnée par les autres termes de Tégnlité. Le point a étant d'ailleurs étranger à la courbe, il est clair que ce ne peut être xa qui soit nul en même temps que xp, mais bien un autre segment quelconque tel que xp\ par exemple; ce qui exige que les points/? et/?' se confondent en un seul avec a?, soit que d'ailleurs la transversale qui les porte devienne tangente a la courbe, soit qu'elle passe par un de ses points multiples, etc. Dans ces mêmes hypothèses, on aura, pour déterminer tous les autres

points X différents de p et de/>\ l'équation de condition

mai lap ap"

xa xp xp" xp xp

attendu que œp = xp\ ou ap = ap\

Réciproquement aussi, quand p se trouve confondu avec p' ou que la transversale tangente à la courbe passe par un de ses points doubles, conjugués ou de rebroussement simple, Tun des points correspondants de la courbe x se trouve également confondu avec p, et le système de tous les autres est donné par la dernière des équations ci-dessus.

335. Des observations analogues sont applicables au cas où un nombre quelconque de points /?, p\ p'\... se trouveraient confondus en un seul pour certaines positions de la transversale, qui ne peuvent évidemment être que singulières ou en nombre déterminé pour une courbe de degré donné. Quant au cas où le pôle a des transversales se trouverait sur cette courbe ou se confondrait constamment avccFune des intersections/?, />', p*\... de ces transversales, avec/? par exemple, on aurait a:a = 059, et par conséquent

xa xp xp* xp" xp"

ou, ce qui est la même chose,

xp xp xp

équations qui définissent le point x par rapport à tous les autres censés donnés à/?non, et qui conduiraient à des conséquences analogues relativement au cas où quelques-uns des points/?, p\ />",... se confondraient entre eux, si ce n'est que la courbe passerait alors par le pôle a ou/?, ce qui n'a pas lieu dans le cas général ci-dessus.

336. Cette discussion prouve évidemment que le lieu des points o; a la propriété de rencontrer la courbe proposée du degré m aux points de contact mêmes des tangentes issues du pôle a, et cela seul suffit pour convaincre qu'elle n'est autre que la courbe du degré m — i, que l'Analyse ordinaire des coordonnées nous offre comme renfermant tous les points de contact analogues; mais c'est ce qu'on démontre aussi àpriori, en cherchant a construire géométriquement le système des points x qui, pour chaque transversale, sont définis par l'équation générale ci-dessus.

Concevez en effet que, d'un point quelconque 5, on mène aux différents points de cette transversale des droites ou projetantes 5a, 5/?, sp'^ sp'\... tisx^

toute transversale parallèle à sx coupera sa en un point qui sera (n^ 11) le centre des moyennes dislances des intersections relatives aux autres droites du faisceau» et réciproquement toute transversale qui aura cette propriété par rapport au même faisceau sera telle, qu'en lui menant par s une parallèle, elle viendra rencontrer la transversale cp'' en l'un des points x demandés; de sorte que la question est ramenée à celle de trouver le système des transversales auxiliaires qui remplissent les conditions dont il s'agit; ce à quoi on peut parvenir de différentes manières.

Supposez, par exemple, que, de l'un p des points donnés, on mène une suite de transversales arbitraires dans le faisceau des projetantes sp^ sp\ sp'\ . . . , puis qu'on détermine sur chacune d'elles le centre des moyennes distances des m intersections correspondantes, la suite de tous ces centres formera une certaine ligne continue que la discussion montre avoir, au plus, m — i asymptotes parallèles respectivement aux m — 1 droites sp\ sp'\...^ 5/^ étant excepté, et m — a branches distinctes passant par le pôle p des rayons vecteurs, en sorte que, d'après la loi de continuité, cette ligne est généralement et au plus du degré m — !• Ses intersections avec la projetante sa seront donc, en général, au nombre de m — i, intersections auxquelles correspondront un égal nombre de rayons vecteurs, et par suite de points x conjugués k a.

337. Si l'on veut résoudre analytiquement la même question, on mettra l'équation proposée sous cette forme :

pa i I I

xa xa — ap xa — ay>' xa — ap'* '"*

ou, ce qui revient au même, sous celle-ci :

ap ap' ap"

xa — ap xa — ap' xa — ap

réduisant ensuite au même dénominateur, et effectuant les produits des numérateurs, on obtiendra, en xa^ une équation du degré m — i dont la résolution donnera les m — i points x cherchés (*).

(*) Soient A la somme algébrique de tous les segments ap^ ap\ ap\,,.\ B, F celles de leurs produits aà2| 3à3,..., m — là/n — i, enfin G le produit de tous ces segments, Téquation développée et ordonnée par rapport à xa deviendra

— m-i 2B — w-î 3C — ^"-s . f/7i — i)F mG

ax — -T-xfl -\~^ xa — ...± — ^— xa q= — ^ = o.

Cette équation conduit à des conséquences curieuses. Soient, en effet, x^ x\ a^^,..^ les points en

om PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

338. Revenons à la courbe proposée et à la ligne du degré m — j qui^ outre tous les points a? des transversales issues du pôle a» contient aussi les points de contact, en nombre m{m — i), des tangentes issues du même pôle; il est clair que cette ligne, qu'on peut nommer la polaire par contact relative au point a qui est véritablement le lieu des centres contre-harmoniques conjugué à ce pôle des rayons vecteurs, cette courbe polaire, dis-je, devra jouir d'une série de propriétés distinctes de celles qui appartiennent à Taxe des moyennes harmoniques ordinaire de la courbe proposée, et qui seront analogues à certaines des propriétés de la polaire des sections coniques ou coui:bes du second degré. ^

Pour les découvrir, nous remarquerons que, de même qu'à chacun œ des points du plan d'une (fourbe géométrique de degré m, correspond (193) un certain axe de moyennes harmoniques, de même, à chaque droite donnée arbitrairement sur ce plan, doit correspondre aussi un ou plusieurs points, en nombre déterminé, qui soient respectivement conjugués à cette droite considérée comme axe des moyennes harmoniques. Mais, d'après les propriétés qui définissent un tel axe et les polaires de contact d'une courbe donnée, il est clair que, si, pour un point quelconque a de cet axe, on construit la polaire correspondante, cette polaire devra nécessairement contenir tous les points X conjugués à ce même axe; donc on a ce théorème :

Une droite étant donnée à volonté sur le plan d^une ligne géométrique du degré m, les polaires de contact qui correspondent à ses différents points s'en-trecouperont aux mêmes [m — i)* points fixes ou pôles, qui auront respectii^e-ment la droite donnée pour axe des moyennes harmoniques par rapport à la courbe que l^on considère,

339. Quand cette dernière courbe contient des points multiples, conjugués ou de rebroussement, ces points se trouvent nécessairement compris, une ou plusieurs fois selon leur espèce, parmi les [m—\y points fixes dont il s'agit.

nombre m — i qui satisfont à la question, -^ sera égal au produit de tous les segments ax, ax\ <«:*,. . ., et r^ ^ ^^ somme de leurs produits wi — a à /w — a, en sorte qu'on aura

.u ax ax aar m \ap ap ap )

ce qui indique évidemment que le centre de moyenne harmonique de tous les points x, x', ar",. , ., par rapport à a, est le même que celui des points /?, />', />*,..., conjugué au même point.

Quand l'origine a est à l'infini, le centre commun dont il s*agit devient un centre de moyenne distance, etc. ( Les lecteurs qui ont entre les mains le tome n des Applications d' Analyse et de Géométrie s'apercevront que le contenu de cette Note est extrait de Tart. IV, p. i4a à i6i.— 1865.)

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 289 Il résulte encore de la proposition qui précède que :

Si l'on /ait mouvoir la droite donnée autour d*un point fixe quelconque du plan de la courbe proposée, les [m— i)^ pôles qui lui correspondent décriront la polaire de contact relative au point fixe.

Ces théorèmes s'étendent aisément au cas de l'espace» mais ici ils acquièrent un degré d'évidence de plus.

340. Soit en effet une surface de degré m\ d'un point quelconque a de l'espace, menons dans cette surface diverses transversales rencontrant en p, p\ p"y*^'^ respectivement ses différentes nappes; prenons sur chacune d'elles les /7i — I points x définis par la relation du n^ 335, la suite de tous ces points formera une surface polaire du degré m— 1, la même que celle qui a été considérée par Monge, au n° 4 du § I*'' de son Application de l'Analyse à la Géométrie^ et qui contiendra la courbe de contact de la proposée avec la surface conique qui a son sommet au point donné. Supposant donc que ce point parcoure successivement tous ceux d'une droite fixe donnée à volonté dans l'espace, il est clair :

« I** Que la courbe de contact, qui est du degré m(/w — i), passera constamment par les m[m — i)[/w{/w — i) —1] points de contact des plans tangents issus de la droite donnée;

> 2° Que la surface polaire du degré /w — i , qui contient cette courbe de contact, passera également par les points fixes dont il s'agit, et coupera de plus toutes ses semblables suivant une même ligne à double courbure du degré (m — i)^ contenant tous les systèmes de (m — i)* pôles conjugués a la droite fixe par rapport aux différentes intersections planes de la surface, issues de cette droite;

> 3° Que si l'on fait pivoter arbitrairement la droite dont il s'agit autour d'un point fixe quelconque de sa direction, la courbe polaire correspon-r dante demeurera sans cesse sur la surface polaire de ce point, mais s'y trouvera d'une manière également arbitraire;

> 4"^ Que, si cette même droite est seulement assujettie à demeurer dans un plan fixe quelconque, la courbe polaire qui lui correspond coupera chacune de ses semblables eu des points qui auront respectivement ce plan pour plan de moyennes harmoniques par rapport à la surface proposée, et qui, étant en nombre déterminé, seront nécessairement cornmun^ a la fois à toutes les courbes polaires;

> 5^ Que ces mêmes points ou pôles fixes sont aussi les intersections com- 11. 37

» munes de toutes les surfaces polaires du degré m — i conjuguées aux dif-

> férents points du plan dont il s'agit, de sorte qu'ils sont en général et au

> plus au nombre de (m — i) » 6** Etc., etc. »

341. On reconnaît ici les théorèmes sur \t^ pôles ^polaires Qi plans polaires des courbes et des surfaces algébriques, que M. Bobillier a exposés par une voie analytique fort élégante et qui lui est propre, dans plusieurs excellents Mémoires insérés aux tomes XVIII et XIX des Annales de Gergonne (1827 à 18:29), et dont il a été rendu compte ensuite dans le Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac, t. YIII, p. 3o3, et t. IX, p. 3o2.

Les considérations qui précèdent laissent de plus apercevoir la liaison intime qui subsiste entre la droite ouïe plan donnés et les (m — i)', (m — i)' pôles fixes qui leur correspondent, liaison qui consiste, comme on Ta vu, en ce que le plan et la droite dont il s'agit sont l'axe, le plan des centres de moyennes harmoniques de la courbe ou surface proposée, conjugués à la fois à tous les points fixes. De plus, ces mêmes considérations fournissent un procédé géométrique direct pour construire la courbe ou surface polaire relative à un point donnée et elles conduisent à quelques propriétés nouvelles de ces polaires, qui paraissent dignes de remarque et auxquelles j'étais parvenu dès mes premières recherches (1816) sur les courbes géométriques (*).

Voici les énoncés de quelques-unes de ces propriétés choisies parmi les plus élémentaires et les plus simples :

c i^ Tous les points de la polaire de contact d'un point fixe donné ou

> pôle, par rapport à une ligne géométrique plane d'un certain ordre, ont

> pour axes de moyennes harmoniques, à 1 égard de cette dernière, des

> droites qui passent toutes par le pôle dont il s'agit.

> 11° Tous les points de la surface polaire de contact d'une surface géo-

(*) rofcz le tome II des Applications €r Analyse et de Géométrie (p. i4^ à i6i, articles déjà cités précédemment). Remarquez d'ailleurs que les énoncés de ces articles et les suivants sont des conséquences nécessaires des théories anciennes de l'élimination, appliquées aux équations dérivées qui expriment les conditions successives de Tégalité des racines, lorsque dans la proposition fondamentale ou de définition de la polaire de contact, on suppose le pôle ou point de concours des tangentes à l'infini, comme je l'ai fait dans mon Mémoire de 181 7, sur la Théorie des polaires réciproques (même ouvrage, 1. 11, p. 433 à 5oo).

Les propositions relatives en particulier au centre de moyennes distances se rattachent à des considérations analytiques analogues, comme on peut le voir dans un Mémoire présenté par M. Liouville à l'Académie des Sciences de Paris en août 1 841, et inséré à la page 345, t. VI, du Journal de Mathématiques, publié par cet éminent géomètre. — (Noie de i865.)

métrique quelconque ont pour plans de moyennes harmoniques, par rapport à cette dernière, des plans qui passent par le pôle conjugué à cette surface polaire.

> 3^ Tous les plans de moyennes harmoniques d'une surface géométrique, qui sont conjugués aux différents points de la courbe polaire de cette surface par rapport à une droite quelconque donnée, passent par celte même droite.

» 4** Toute transversale menée par le pôle conjugué a la polaire de contact d'une ligne ou surface géométrique donnée, détermine dans cette dernière et dans la polaire deux systèmes de points qui ont le même centre de moyennes harmoniques par rapport au pôle dont il s'agit (*). » 5^ L'axe ou le plan des moyennes harmoniques d'une courbe ou surface donnée par rapport à un point fixe quelconque, est aussi l'axe ou le plan des moyennes harmoniques de la polaire de contact de cette courbe ou surface, conjuguée à ce même point.

> 6^ Ayant construit par rapport à un point ou pôle fixe quelconque la polaire de contact d'une courbe ou surface donnée, puis la polaire de cette polaire et ainsi de suite, toutes ces polaires successives, dont le degré va sans cesse en diminuant d'une unité, et dont la dernière est une simple droite, ont le même axe ou le même plan de moyennes harmoniques conjugué au pôle fixe dont il s'agit, etc., etc. >

342. Ce dernier énoncé pourra servir à lier les élégants théorèmes démontrès par M. Bobillier, sur les polaires successives [s a^ et Annales de Mathématiques^ t. XIX, p. 3o2, et Bulletin des Sciences^ t. XI, p. 255), avec celles qui concernent les axes et les plans de moyennes harmoniques des courbes planes et des surfaces. 11 sera d'ailleurs facile d'étendre ces considérations aux courbes à double courbure situées arbitrairement dans l'espace; ce qui répandra un jour nouveau sur la théorie des pôles et polaires de contact. Supposant ensuite que certains points, certaines droites ou certains plans fixes de la figure passent à l'infini, on arrivera à une série de théorèmes analogues dans lesquels les axes et les plans de moyennes harmoniques se trouveront remplacés par des axes ou des plans de moyennes distances, c'est-à-dire par des diamètres ou plans diamétraux conjugués à la direction d'une droite donnée.

(*] Cette proposition, conséquence évidente de ce qui a été démontré dans la note du n° 337 ci-dessus, peut aussi être établie, ainsi que la suivante, par des considérations de pure Géométrie.

Mais je ne puis insister sur ces conséquences d'ailleurs très-faciles, et je me hâte de terminer ce que j'avais à dire sur cette matière, par quelques observations nouvelles qui compléteront toutes celles qui précèdent.

343. Nous venons de voir en particulier que les axes de moyennes harmoniques des différents points de la polaire de contact d'une courbe donnée allaient toutes concourir au pôle conjugué à cette polaire, propriété entièrement analogue a celle dont jouit la polaire d'une section conique ordinaire par rapport à son pôle; or, si l'on recherche par les moyens purement géométriques dont j'ai souvent donné des exemples dans le Mémoire sur les polaires réciproques (Sect. II), ce que c'est en général que l'enveloppe des axes de moyennes harmoniques des points d'une autre courbe quelconque du degré n située dans le plan de la proposée supposée du m'^'"* degré, on trouve, sans beaucoup de peine :

» 1^ Que, d'un point choisi à volonté sur son plan, on ne peut mener > que n(m — i) tangentes à cette courbe enveloppe; a® que son degré est, » en général et au plus, /i(/72 — \)\n[m — i) — i]. »

Supposant, par exemple, que la courbe directrice soit une droite, on aura

n = t et n{m — i)[n(m — i) — i] = (w — i)(/w — 2)

pour le degré de l'enveloppe de l'axe des moyennes harmoniques. Supposant, de plus, que la droite dont il s'agit s'éloigne à l'infini ou se confonde avec celle qui contient tous les points a l'infini du plan de la courbe proposée, les différents axes de moyennes harmoniques se changeant en autant d'axes de moyennes dislances ou diamètres de cette dernière courbe, il résultera de ce qui précède que :

Tous les diamètres d'une courbe plane du m'^"** degré enveloppent une autre courbe du degré (/n — i)(m — 2), à laquelle on ne peut mener que m — 1 tangentes d'un point quelconque de sonplan^ cest-^à^dire de la [m — i)'««<y classe^ selon V expression convenue.

Pour le cas des lignes du second ordre, on a/n = 2, et l'enveloppe des diamètres est du degré o ou un point; pour les lignes du troisième ordre, (m — i)(/7i— 2) = 2, par conséquent l'enveloppe est une section conique ordinaire; et ainsi de suite pour les courbes de degrés supérieurs.

344. Ces considérations confirment ce qui a été avancé plus haut (318) relativement au centre des moyennes distances des courbes et des surfaces géométriques, qu'on ne saurait généralement confondre avec le centre de

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 298 figure que dans quelques cas exceptionnels. 11 n'est pas non plus, en général, le concours commun de leurs axes et plans de moyennes distances, de leurs diamètres et plans diamétraux conjugués à toutes les directions possibles, mais bien uniquement celui de tous les diamètres et plans diamétraux de leurs systèmes de tangentes ou de plans tangents parallèles à des directions données, ainsi que de tous les diamètres et plans diamétraux des surfaces cylindriques circonscrites à leur périmètre ou qui embrassent leurs différentes nappes en les touchant. Enfin ce centre n'est pas davantage le centre des moyennes distances ou de figure, ordinaire, de tous les éléments linéaires et superficiels de la courbe ou surface proposée, mais bien uniquement celui des éléments ou points de contact distincts des faisceaux de tangentes et de plans tangents parallèles k des directions données.

345. Quant au théorème ci-dessus, relatif à l'enveloppe de tous les diamètres d'une courbe plane géométrique, je ne crois pas nécessaire de montrer ce qu'il devient pour les courbes à double courbure et les surfaces géométriques quelconques, je me contenterai de remarquer qu'il s'étend au cas où l'on substitue aux diamètres dont il y est question les axes de moyennes harmoniques conjugués aux différents points d'une droite fixe donnée, et qu'il a essentiellement pour point de départ la solution de ce problème :

c Un point quelconque étant donné sur le plan d'une courbe géométrique » du degré /w, combien peut-on par ce point mener de diamètres a cette » courbe, ou en général d'axes de moyennes harmoniques qui soient con- > jugués k des points d'une courbe donnée du degré n. >

D'après les propriétés dont jouit la polaire de contact de (m), relative au point proposé (336), il est clair que les points de (n) qui résolvent le problème doivent se trouver sur cette polaire, et par conséquent en nombre /i(/n — i) au plus.

En particulier, ce nombre, qui indique aussi celui des axes de moyennes harmoniques cherchés, se réduit à m — i quand n = i on qu'il s'agit de simples diamètres de la courbe proposée, puisque tous les points à l'infini d'un plan doivent être considérés idéalement comme distribués sur une droite unique [Traité des Propriétés projectwes^ t. P% Sect. 1).

346. De ce dernier théorème d'ailleurs, qui s'étend d'une manière analogue aux surfaces, on conclut immédiatement le suivant, en invoquant le principe de continuité ;

c Si, d'un point pris à volonté sur le plan d'une courbe géométrique de

> degré quelconque, on mène une suite de transversales dans cette courbe,

> puis qu'on prenne sur chacune d'elles le centre des moyennes distances des 9 intersections correspondantes, la suite de tous ces centres formera une » courbe unique du même degré que la proposée, dont les asymptotes se- » ront parallèles aux siennes propres, et qui aura m — 1 branches passant

> par le pôle fixe des transversales. >

347. Ce théorème, qui a été démontré, quant au degré de la courbe des centres, parle géomètre anglais Waring [Mélanges analytiques, p. 90), s'ap* plique d'une manière analogue aux surfaces géométriques, et aux courbes à double courbure en général; mais il s'étend également au cas où Ton rem* placerait les centres de moyennes distances des transversales par les centres de moyennes harmoniques de leurs intersections, pris par rapport aux points où elles vont couper une même droite ou un même plan donné. Appliquant ensuite à ces théorèmes ainsi généralisés, nos méthodes ou principe de réciprocité polaire, on arriverait à de nouveaux théorèmes non moins dignes d'intérêt.

En général, on déduit de l'application de ces mêmes principes aux diverses propositions qui nous ont occupé depuis le n** 338 une suite de théorèmes plus ou moins intéressants sur les courbes et les surfaces de tous les degrés.

348. Ayant vu, par exemple, que l'enveloppe de tous les axes de moyennes harmoniques d'une courbe plane de degré m, relativement aux différents points d'une droite donnée arbitrairement sur son plan, est du degré (m — i) [m — '2), on en conclura réciproquement que : le lieu de tous les centres de moyennes harmoniques d'une courbe géométrique^ de degré m, conjugués aux différentes droites issues d'un même point ou pôle fixe donné , est elle-même du degré m[m ^ 1 ) — i, etc., etc.

$ IV

^application de l'Analyse des transversales a Vosculation mutuelle

des courbes et des surfaces géométriques .

349. Pour comprendre comment des principes exposés ci-dessus on peut déduire tout ce qui concerne la théorie des contacts divers, il suffît de se rappeler en général que, quand deux courbes ou surfaces géométriques ont en commun un certain nombre de lignes ou de points actuellement dis-

tincts les uns des autres et qu'il existe entre ces courbes ou surfaces certaines relations métriques ou descriptives, en vertu du principe de continuité, ces relations doivent toujours demeurer applicables au système, pourvu qu'on ait égard aux modifications particulières survenues dans l'état des diverses grandeurs» et que la nouvelle figure puisse être censée provenir de l'ancienne par un mouvement progressif et continu de ses parties mobiles ou variables. Or, si deux ou plusieurs des points communs aux lignes qui y entrent, de distincts qu'ils étaient d'abord, se sont réunis en un seul dans le nouvel état de la figure, ces lignes ne seront plus simplement sécantes au point correspondant, elles auront un contact de l'ordre marqué parle nombre des points superposés, moins un; les relations descriptives ou métriques qui subsisteront alors entre les deux courbes pourront donc servir, si elles ne sont pas devenues identiques, illusoires, ou si elles ont simplement changé de forme, à construire l'une des deux osculatrices au moyen de l'autre et de certaines données, etc.

Le Mémoire précédent (Sect. III) nous a ofîert divers exemples de ces transformations qui permettent d'appliquer rigoureusement les nouvelles relations à la figure corrélative répondant à d'autres hypothèses déduites de l'ancienne par voie de continuité.

350. Ainsi, dans différents cas des art. 165» 178, 184, 187 et suivants, on peut supposer que deux, trois, quatre des points communs aux courbes qu'on y considère se réunissent en un seul, sans que les relations établies entre les points communs restants cessent de demeurer applicables a la nouvelle hypothèse; seulement, les relations métriques pourront subir des modifications plus ou moins essentielles (187), d'après la diversité de position du triangle transversal à l'égard des deux courbes, qui, d'ailleurs, seront devenues osculatrices du premier» du second, du troisième ordre au point choisi en particulier.

Il est à remarquer toutefois que trois, au plus, des intersections relatives à un même côté du triangle transversal, ne sauraient se confondre en un seul pour un point quelconque commun à deux courbes; car ce côté aurait alors lui-même, en ce point, un contact du second ordre avec chacune de ces courbes, ce qui ne peut avoir lieu qu'en des points singuliers de la nature des points d'inflexion et de rebroussement.

Faisons voir maintenant comment ces principes généraux conduisent sans peine à la solution des diverses questions que présente la théorie des osculations des lignes géométriques avec les courbes du second degré.

DES CONIQUES OSCULÀTRICES DU SECOND ORDRE EN UN POINT DONNÉ d'cNB COURBE