GÉOMÉTRIQUE TRJLGÉE SUR UN PLIN

351. Nous avons montré (Sect. III, § I"), à roccasion des courbes du iroîsièmc degré, comment l'analyse des transversales peut directement et très-simplement conduire à la détermination des osculatrices de divers ordres, en un point donné d'une telle courbe; mais la marche que nous avons suivie ne laisse pas assez apercevoir comment on devrait se guider à Tégard des courbes d'un degré supérieur au troisième; c'est pourquoi nous allons entrer dans quelques développements nouveaux relativement à cette application intéressante de la doctrine des transversales. La théorie des osculatrices des divers ordres en un point donné d'une courbe géométrique forme d'ailleurs un chapitre considérable de nos anciennes recherches; et, quoique nous ne puissions donner ici qu'une idée sommaire de leur esprit et de leur objet, nous ne pouvons cependant nous dispenser d'en exposer au moins les principaux et plus intéressants linéaments.

352. Concevons deux courbes géométriques tracées sur un même plan et ayant entre elles divers points communs; concevons par un certain nombre de ces points des transversales rectllignes qui les contiennent deux par deux, trois par trois, etc., s'il y a lieu : ces transversales formeront par leurs rencontres mutuelles un certain polygone dont les côtés prolongés iront de nouveau rencontrer les deux courbes en des points distincts de ceux qui leur appartiennent en commun.

Cela posé, d'après le théorème de Carnot, il existera pour chaque courbe une relation de la forme de celle du n** 165, entre les segments formés, sur chacun des côtés de ce polygone, par les intersections correspondantes; or, ces relations étant combinées entre elles par voie de multiplication ou de division, donneront lieu à une autre relation analogue d'où auront disparu les segments relatifs aux points communs des courbes, et qui, par conséquent, sera indépendante de la position, de la réalité même de ces points ou de leur réunion deux par deux, trois par trois, etc.; c'est-à-dire qu'elle s'appliquera, sans modification quelconque, au cas où les courbes proposées auraient un contact du premier, du deuxième ordre, etc., au point qui représente tous les points communs réunis en un seul» La nouvelle relation dont il s'agit mettra donc en état de construire l'une quelconque des intersections restantes et qui sont demeurées distinctes, quand toutes les autres seront connues.

353. En appliquant ensuite à cette relation l'esprit des méthodes que nous avons mises en usage pour les simples triangles transversaux des courbes individuelles, c'est-à-dire en faisant intervenir de nouvelles transversales rectilignes contenant les points non éliminés, on transformera cette même relation en une infinité d'autres également propres à construire ou à définir l'un de ces points au moyen de ceux qui sont àonnés à priori ; et, ce qu'il y a surtout de remarquable, on pourra toujours (18 et suiv. J la traduire en quelque nouvelle relation qui soit purement descriptive et linéaire, ou qui exprime une propriété de situation du système des courbes proposées uniquement dépendante de la Géométrie de la règle.

D'ailleurs, si, par suite des suppositions admises pour faire coïncider certains points communs aux deux courbes, les relations métriques primitives deviennent identiques ou illusoires, les conséquences Anales relatives à la situation des points et des lignes n'en subsisteront pas moins en vertu du principe de continuité. Et, non-seulement elles seront applicables au système avec les modifications convenables, mais encore toutes les relations métriques d'abord considérées, et qui ont pris la forme indéterminée, pourront, en vertu des différents principes établis dans le § III de la précédente Section, être sur-le-champ remplacées par d'autres équivalentes et qui n'auront plus Içs mêmes inconvénients.

354. Passons maintenant de ces considérations générales aux applications particulières, en nous bornant, pour la simplicité, aux osculatrices coniques ou du second degré d'une courbe géométrique donnée; de telles osculatrices, en effet, suffiront pendant longtemps encore au besoin des arts et des applications de la théorie de l'osculation des lignes et des surfaces géométriques en général.

Occupons-nous d'abord des coniques osculatrices du second ordre en un point donné d'une courbe plane géométrique.

Soient ab, bc, ac [fig. 44» ^^« f^) ti'ois transversales rectilignes quelconques tracées sur le plan d'une tello courbe censée du degré m, et la rencontrant aux m points py /?'..., aux m points g, g'.--, et aux m points r, r', ... respectivement; on aura (165)

/.^ (a/y)(6g)(cr)

^ ^ {bp){cq)(ar)-''

Concevons une section conique ayant les points 9, ret r' en commun avec la courbe proposée, et nommons P et P', Q' les nouvelles intersections de cette section conique avec les transversales ab et frc, ce qui donne l'équation particulière

. frP.ftP' cq.cQ' ar.ar'

^*^ aP.aP' ^ 6g. 6Q' ^ cr,cr' "~''

puis, en éliminant par voie de multiplication les segments bq, cq, ar, ar\ cr, cr' communs aux deux courbes, et ayant égard à nos conventions et notations ( 165),

(ap)V)(cr^)6P.&F.cQ- ^^ (*/i)(cg')(ar")aP.aP'.6Q'"" '

résultat qui demeure applicable, sans modification, au cas où les points 9, r, r', étant confondus en un seul avec le sommet c, nos deux courbes deviennent osculatrices du second ordre, au point correspondant; la relation précédente donnant ainsi le point inconnu Q' de la section conique, quand on connaîtra tous les autres. Faisant d'ailleurs varier la transversale bcqq'..., qui contient le point Q' et passe par le point de contact des courbes devenues tangentes à ac ou rr', on obtiendra successivement tous les points Q' de l'osculatrice demandée, qui contient, de plus, les points P et P' choisis arbitrairement.

355. Pour opérer graphiquement, on mènera par P' une droite arbitraire ren- II. 38

contrant en ^i et n les côtés bc et ac du triangle abc; traçant ensuite PQ' qui coupe ac en r, » on aura évidemment par ce triangle

w. gP.gyx6Q^frg.Xcr..gf^,

^*^ bf.bV'XcQ'.cq,Xar,,a/, """^

d*oii, en combinant avec la dernière des précédentes,

^ lap){bq')bq.(cr'')crt <?y^.

^^ {bp){bq')cq^(ar^)an.ar\ ""*'

relation qui indique que les 3 m points p, p', p^y-^ qy q'.f q^^ - f >'i9r\,r\,.., sont sur une* courbe du degré m comme la proposée, et qui, appartenant à la classe de celles qui ont été traitées dans les n^ ilk et suivants, conduira à une construction purement linéaire du point Q' au moyen de tous les autres.

356. Supposons, en particulier, que la section conique Pçrr'Q'P', devenue osculatrice en c {fig. lfi)k\z courbe proposée, soit un cercle, on aura alors

aP.aP' = âc', ftP.6P' = 6c.6Q',

de sorte que la relation ( 3 ) ci-dessus deviendra simplement

{ap)(bq')(cr'^) hc {bpHcqn(ar')-^' "^ ~ '

et donnera toujours le point Q' du cercle osculateuf, appartenant à chacune des transversales arbitraires bcq'. . ., menées par le point de contact c représentant les points j, r, r' du cas général (^g*. 44 )• Ce cercle sera donc déterminé de grandeur et de position, puisque Ton sait construire la tangente en c de la courbe proposée, par les méthodes des n"^ 165 et suivants d'abord cités. D'ailleurs, la même relation donnera immédiatement le double du rayon de courbure, en prenant la transversale cq''(y normale en c à la courbe proposée.

357. Dans nos anciennes rédactions de 1816 et 1823, nous indiquions des procédés graphiques pour construire le point Q', et, en passant au cas particulier oit la courbe proposée est du second degré, nous en concluions divers corollaires relatifs au cercle osculateur de ces courbes; corollaires dont le plus remarquable, par l'analogie qu'il présente avec une propriété bien connue de la cycloTde» est sans contredit le suivant qui date de mon séjour à l'École Polytechnique :

Dans la parabole^ le rajron de courbure en un point quelconque est le double de la normale correspondante, comptée depuis la directrice, comme axe, et prise en sens contraire (*).

( * ) Si Ton intègre en efifet, par les méthodes connues, la double équation dz^ -4- <(^' = ±: yd^y, qui exprime la propriété en question par rapport aux abscisses et ordonnées orcjtinaires, on trouve qu'elle appartient à une cycloïde ou à une parabole suivant que l'on considère le signe + ou le signe — de l'ambiguïté.

358. Les méthodes que nous venons de rappeler pour construire la section conique osculatrice du second ordre en un point donné d'une courbe géométrique, exigent qu'on détermine préalablement la tangente en ce point ; ce qui, à la vérité, peut se faire d'après nos procédés, en faisant intervenir ( 171 ) une nouvelle transversale arbitraire passant par le point dont il s'agit, mais nécessite néanmoins des opérations assez longues. Or on peut aisément se passer de la tangente ou de la transversale arbitraire en question, en supposant que, dans l'exemple qui précède, la section conique ait été conduite primitivement par les trois points /?, q, r appartenant à des transversales distinctes, au lieu de l'être par les points 9, r et r' ; car en procédant d'une manière analogue sur le système des deux courbeç, on arrivera à des constructions graphiques propres à déterminer Tune des nouvelles intersections de la section conique par les transversales ab, bc et ac, quand on se donne les deux autres, et cela même lorsqu'il arriverait que les points p, 9, r fussent confondus en un seul; la section conique étant ainsi devenue osculatrice du second ordre avec la courbe géométrique supposée donnée et tracée.

On remarquera d'ailleurs que l'hypothèse où les points p, f , r se réunissent en un seul, rendant identiques toutes les relations métriques relatives au système des points considérés, ce sera le cas alors de les remplacer par celles que nous avons fait connaître aux n~ 187 et suivants du précédent Mémoire, numéros qui fourniront ainsi des moyens directs de construire la conique osculatrice demandée.

359. Parmi les différentes conséquences auxquelles on est conduit par les considérations dont il s'agit, nous citerons les suivantes, qui nous paraissent des plus simples et des plus élégantes (*].

D'un point quelconque a^ d'une courbe géométrique du degré m tracée sur un plan, soient menées les droites arbitraires op, aqy ar qui la rencontrent aux m autres points/^', p", . . . ; 7', ç*', . . . ; r', r^, . . . respectivement, et la section conique osculatrice du second ordre en a aux points respectifs px^qx^ n. Soient tracées les droites ou cordes jir,, g'r', q^r^j. . . relatives aux deux transversales aqf, ar'^ et rencontrant en Pi, F, P^,. . . respectivement la troisième transversale ap': le système des points /11, P', P", . . . et celui des points Pi, /, p^. . . seront tels, que si l'on inscrit à volonté, dans l'angle de deux droites arbitraires contenant a, un polygone dont les côtés de rang pair passent respectivement par les premiers points et les côtés de rang impair, un seul excepté, respectivement par les divers autres points, le dernier côté ira ( 183 ) nécessairement aussi passer par le point excepté.

De plus, on aura entre les segments api, aPi, aP", ap'... de tous ces points comptés de l'origine commune a, la relation

T ; T^ rr» ^^ • • • »

apx aV af" aVt ap' ap'

relation qui exprime que les deux systèmes distincts qu'ils forment ont le même centre de moyennes harmoniques (**}•

(*) Foyez la note dti n* 185, p. 176.

( ** ) C'est ici le lieu de rappeler que les sommes de valeurs inverses des segments relatifs aux

3oo PROPRIÉTÉS PROJEGTIVES DES FIGURES.

360. Voilà donc des moyens généraux et simples de construire graphiquement et avec la règle, ou par le calcul, un troisième point quelconque pi de la section conique osculatrice, à Taide de deux autres quelconques Çt et r, qui seraient donnés. Faisant d'ailleurs varier la transversale ap' qui contient le point pi autour du point de contact a des deux courbes, on obtiendra successivement tous les points de Tosculatrice demandée qu'on pourra aussi construire plus simplement par les méthodes rapportées Sect. Il, Chap. Il du tome P' du Traité des Propriétés projectwes, en recherchant seulement un point ^i de Tosculatrice, si Ton connaît la tangente en a, ou deux seuls points pareils, si cette tangente n'est pas donnée; car en y joignant les deux points q^ et r,, qui sont entièrement arbitraires, on aura tout ce qu'il faut pour tracer entièrement la section conique demandée.

361. Les propositions ci-dessus ne changent pas quand on suppose que les transversales aq'y ar' se confondent, si ce n'est que les cordes gV, q" r'\. . . deviennent des tangentes à la courbe donnée. Si, de plus, dans celte hypothèse, on admet que la section conique se réduise à un cercle, c'est-à-dire au cercle osculateur en a, on arrivera à différents corollaires, parmi lesquels se trouve compris celui qu'a donné Mac-Laurin dans le § i5 de son Traité des courbes géométriques, et dont il a déduit, pour construire le cercle osculateur, un procédé qui paraîtra d'autant plus pénible, qu'il exige le tracé d'autant de tangentes distinctes de la courbe qu'il y a d'unités dans le nombre qui exprime son degré. Or, en partant de notre proposition générale, on peut aisément éviter celte complication et réduire les tangentes à celle du point de contact a des osculatrices.

Traçant, en effet, un cercle arbitraire tangent en ce point à la courbe donnée et rencontrant en p\, q\ et r\ les transversales a/^, aq', ar'; traçant ensuite la corde indéfinie q\ r\ rencontrant en F, la transversale ap', il est clair, d'après les propriétés connues des cercles tangents, que le rapport de ap\ à aP^ sera le même que celui de àpi à aP, considérés dans le cercle osculateur. Nommant donc n ce rapport

désormais connu, on aura,

aPi api d'où, substituant dans la relation générale ci-dessus, on déduira

ap, aP' ' aP'' ' * ap' ap" '

au moyen de quoi on obtiendra la valeur de ap, ou la position de pi sur chacune

intersections de la courbe peuvent toujours s'obtenir directement, soit par le tracé effectif de cette courbe, soit par son équation en coordonnées ordinaires, ce qui embrasse même le cas où certaines intersections seraient imaginaires (196). En effet, de Téquation de la courbe on déduira aisément, par les principes connus, la nouvelle équation qui a *pour racines les segments à considérer ; supposant cette équation du degré m et divisant le coefficient qui représente la somme des produits des racines pris m ^ i à m — i par le coefficient qui exprime leur produit intégral, on obtiendra, selon la remarque que nous en avons déjà faite, la somme de réciproques demandée, et cela quel que soit le mode d'eiistence individuel de ces segments.

SECTION IV. -DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 3oi

des transversales arbitraires ap'; on pourra donc ainsi construire successivement tous les points analogues à p. appartenant au cercle osculateur. De là d'ailleurs on tire ces nouvelles conséquences.

362. Que, par exemple» ap' soit pris parallèle à 9, r, , ou de manière à former avec aq' le même angle correspondant que ar' avec la tangente en a, on aura n = o; ce qui donne immédiatement apt sans cercle auxiliaire, et résulte d'ailleurs aussi

de ce que aPi est infini ou —^ = 0.

Pareillement, si ap^ est normal à la courbe et que q'ar' soit un angle droit quelconque, (fiTi deviendra un diamètre du cercle osculateur qui aura g. pour centre; de plus, on aura évidemment 7i = ts ou a/i = 2aPi, d'où la relation

pour déterminer immédiatement le rayon de courbure aPi de la courbe proposée. Si Ton suppose ensuite que cette courbe soit une section coniqvie, on retombera sur les théorèmes exposés par M. Frégier, dans le tome VI (1816) des J anales de Mathématiques de Montpellier, etc., etc.

363. Je crois superflu d'examiner ce que deviennent nos méthodes dans le cas d'une osculatrice quelconque du second degré, quand, au lieu de deux points de son périmètre, on se donne deux conditions quelconques pour la construire, ou qu'on suppose ces points confondus en un seul, à Tinfini, etc. Je ferai seulement remarquer que, quand le point de contact lui-même est à l'infini sur la courbe, nos méthodes n'en donnent pas moins des moyens pour construire la parabole osculatrice en changeant les centres de moyennes harmoniques en centres de moyennes distances, ou les sommes de réciproques des segments en sommes simples de dis-' tances, prises toujours avec leurs signes de position : ces corollaires sont trop faciles pour qu'il soit nécessaire de s'y arrêter.

Enfin on remarquera que les propositions précédentes constituent un utile point d'appui à la théorie de la courbure des surfaces, attendu qu'elles fournissent un moyen direct de construire la surface du second degré osculatrice d'une surface géométrique donnée autrement que par son équation ordinaire.

DBS CONIQUES OSGULATBICES DU TEOISIÈHB OEDEB AUX GOUEBBS GÉOMtTElQUES.

364'. Nous venons de voir avec quelle facilité nos méthodes conduisent à la théorie, au tracé des osculatrices du second ordre des courbes planes géométriques, et par conséquent des courbes à double courbure et des surfaces; ces méthodes ne sont pas moins propres à faire découvrir tout ce qui concerne les osculatrices du troisième ordre en un point donné des mêmes courbes, ou ayant quatre points confondus en un seul en celui-là. Pour cela, il ne s'agira encore que de se reporter au cas général (165) des intersections distinctes d'une section conique et d'une courbe géométrique sur les côtés d'un triangle transversal quelconque, et de

3o2 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

supposer qu'au Heu de trois points communs, elles en aient quatre, puis de voir ce qui arrive dans les diverses relations qui établissent cette communauté de points, quand ceux-ci viennent à se confondre en un seul. Or, comme ici il existe deux manières distinctes de supposer ces points communs distribués sur les côtés du triangle transversal, il en résultera également deux systèmes différents de propositions touchant les osculatrices du troisième ordre. En effet, on peut d'abord supposer que trois des points communs aux deux courbes appartiennent à trois côtés différents du triangle transversal; ensuite, on peut admettre que les quatre points communs soient rangés par couples sur deux de ces côtés seulement.

Parmi les nombreux théorèmes auxquels on est conduit par cette double considération, nous nous bornerons à faire connaître ceux qui présentent le plus d'intérêt par leur élégance ou leur simplicité.

a 365. D'un point quelconque a d'une courbe géométrique de degré m, menez D les droites ou transversales arbitraires a^, ar rencontrant de nouveau aux n m — I points 5', g'^, g*,-., et aux m — i points r', r*', r"',... respectivement, les » différentes branches de cette courbe. Soient p"^ p"',. . . les m — 2 intersections s pareilles de la tangente en a à cette même courbe; soient enfin 9, et r, les intersec- » tions des premières transversales avec la section conique osculatrice du troisième j> ordre en a, et Pi celle de la corde Çin prolongée jusqu'à la tangente a/i'', le » système des 3 ( m — i ) points Pi, p'', . . . , 9', 5", . • • , r', r",,.. appartiendra à une » courbe du degré m — i; il y aura donc aussi entre tous ces points certaines rela- D tions descriptives et linéaires déjà rappelées (353), et qui seront telles, qu'on pourra toujours construire le point Pi, et, par suite, l'un des points Çi, ri de la D section conique osculatrice au moyen de tous les autres. »

Par exemple, laissant aq'^ fixe et supposant qi donné, on obtiendra autant de points Ti qu'on voudra de cette osculatrice, en faisant varier ar" autour du point de contact a des deux courbes.

On aura d'ailleurs (n~ 188 et suiv.) entre tous les points dont il s'agit les relations métriques

«n(/'ar")[2(^,)-^] = sin(^"<)[2(^,)-^]-Hsin(,'«r')2(„^

qui serviront à remplir le même but à l'aide du calcul, puisqu'elles donneront ar^ ou aPi à l'aide de quantités toutes connues.

366. Supposant qu'on trace les cordes q'r', q'r",,..^ dont la direction rencontre en P', P^, . . . la tangente ap" au point a, les relations ci-dessus pourront se remplacer par celle-ci

aP. ' af ' ûP' ' aP*

qui est fort simple et pourrait être déduite directement de la relation analogue

SECTION IV. -DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. 3o3

établie pour les oscalatrices du second ordre. Comme elle exprime que le centre des moyennes harmoniques de tous les points P', P'', . . . est le même que celui des points Pi, p^f*^»-*» on en conclut également une construction du point Pi fort élégante» et qui revient à Tune de celles que nous avons déjà foit connaître précédemment.

Enfin, puisque toutes les quantités qui entrent dans cette équation demeurent invariables avec la position des transversales aq^ et ar'^^on en conclut que le point Pt qu'elle met en état de construire reste le même pour toutes les osculatrices du second ordre au point a» c'est-à-dire que les cordes Çi, ri qui sous-tendent l'angle q'*ar'* dans ces sections coniques concourent toutes au point Pi dont il s' agit.

367. Ce théorème, que nous avons déjà fait connattre, pour les simples coniques, dans la Section III du tome précédent des Propriétés projectiles, conduit évidemment à cette autre conséquence très-digne de remarque :

Toutes les sections coniques osculatrices du troisième ordre en un point donné d'une courbe géométrique ont même direction de diamètre passant par le point dont il s' agit f et conjugué à la direction de la tangente en ce point ; de plus, le paramètre relatif à C€ diamètre commun est aussi le même pour toutes les osculatrices parmi lesquelles se trottine nécessairement une parabole unique, parfaitement déterminée de grandeur et de situation pour chaque point de la courbe proposée,

368. La même relation conduit encore à une construction du cercle osculateur trop élégante pour ne pas la mentionner en passant, et qui se fonde principalement sur le théorème démontré dans la Section III précitée :

cr Tous les cercles tangents en un point donné d'une section conique vont de i> nouveau rencontrer la courbe en des paires de points tels, que les cordes qu'elles 1» déterminent dans cette courbe sont toutes parallèles entre elles, o

Ayant déterminé, pour le système des transversales quelconques aq", ar" dont il a été parlé ci-dessus, le pôle invariable P| de toutes les cordes qx r, des osculatrices, ou, par a, une nouvelle transversale que je nomme as et formant avec l'une ar" des précédentes, du côté opposé à a^^, un angle précisément égal à celui que cette dernière fait, de son côté, avec la tangente en a\ puis, ayant déterminé pour les transversales as et ar" le pôle Invariable qui leur appartient sur cette tangente, on joindra par une droite ce point avec celui où ar' est rencontrée par la parallèle à az issue du premier pôle Pi ; cela posé, le point où cette droite ira couper a^ sera un des points du cercle osculateur en a, lequel sera ainsi parisdtement déterminé*

369. Revenant à notre proposition générale ci-dessus, et supposant que les transversales aq^ ei or" se réunissent en une seule, auquel cas les cordes ^i r., q^r", . . . , deviennent des tangentes véritables de la courbe proposée, on en conclut (acilement la construction du paramètre et du diamètre de la parabole osculalrice à laquelle Hac-Laurin est parvenu dans le § 19 de son Traité des courbes géométriques, en se basant sur des considérations fort obscures concernant la variation de la courbure et de Yangle de contingence des courbes qui s'oscolent en un point donné.

3o4 PROPRIÉTÉS PROJECÏIVES DES FIGURES.

Comme ces constructions de Mac-Laurin exigent le tracé préalable du cercle osculateur au point donné et d'un certain nombre de tangentes» je ne crois pas devoir m'y arrêter» d'autant plus que nos méthodes fournissent des moyens de construction beaucoup moins pénibles, comme on le verra tout à l'heure.

370. En effet» par la seconde manière de considérer la communauté d'intersection d'une section conique avec la courbe proposée» dont il a été fait mention plus haut» on arrive immédiatement à ce nouveau théorème :

Soit q la tangente en un point donné d'une courbe plane géométrique du degré /n» rencontrant celte courbe aux m — 2 nouveaux points q", qf. . . ; par un point quelconque a de cette tangente soit menée la transversale arbitraire rencontrant aux m points />» p'» p". . . ladite courbe et en p^ et p\ sa section conique osculatrice au point q\ soient enfin P'^ P'". . .» les intersections respectives de la même transversale avec les tangentes aux points 9"» q'\. . ., on aura entre tous les points ainsi définis la relation métrique suivante :