I 1 I II

dont les différents termes doivent, comme dans tout ce qui précède, être pris avec un signe de position convenable, c'est-à-dire tel, qu'en considérant comme positives les valeurs des segments situés d'un côté de l'origine a qui leur est commune, celles des segments situés de l'autre côté de cette même origine soient considérées comme négatives.

BB8 OSCULàTRICBS DU QUATRIÈME OEDRS; TEA.Gfi BT PROPOSITIONS DIVRR818.

373. Je me hâte de passer à ce qui concerne la détermination de la conique osculatrice du quatrième ordre en un point donné d'une courbe géométrique décrite sur un plan, problème qui, d'après nos principes, revient au fond à celui de construire, par des procédés qui ne puissent devenir complètement illusoires dans certains cas, une section conique ayant, avec cette courbe, cinq points communs, distincts ou non, réels ou imaginaires, par couples, à distance donnée ou infinie, et dont la solution générale dérive immédiatement des méthodes de la Section III.

Pour le montrer et donner en même temps une nouvelle application de ces méthodes propre à en faire saisir complètement l'esprit, concevons une conique qui ait les cinq points /?, q, r, r', q' en commun avec une courbe géométrique de degré m, le premier de ces points étant d'ailleurs réel et les derniers quelconques» mais définis géométriquement par l'intersection des transversales droites qq', rr' avec la courbe.

Concevons, de plus, par le point p^ une nouvelle transversale arbitraire coupant les deux premières en 6 et a respectivement, lesquelles à leur tour se coupent en c, la question à résoudre consiste évidemment à trou ver la nouvelle intersection pt de la transversale arbitraire ab avec la section conique définie comme on l'a dit.

Or, en conservant toutes les notations et conventions jusqu'ici admises, on aura II. 39

3o6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

évidemment, en tant que le triangle abc est considéré comme transversal de la courbe

proposée,

(ap){bq){cr)

{bp)(cq)(ar)- ' eu en tant qu'il l'est de la section conique,

ap.apiX bq.bq'X cr.cr'

bp . bfi X cq . cq' X ar,ar' ' donc aussi

{ap'){bq'){crni>p. __

{bp')[cq''){ar")ap, '

relation qui donnera évidemment le point pi demandé sans l'intermédiaire direct des points q^ r, q'^ r^ dont le mode d'existence peut ainsi être quelconque.

37&. Pour obtenir une relation purement, descriptive, propre à déterminer le point/?!, concevons par ce point une droite arbitraire rencontrant les transversales bc et ac en Q et R respectivement ; en considérant cette droite comme une transversale du triangle afro, on aura

gpi.6Q.cR

6pi.cQ.aR '

et par conséquent, en divisant par cette équation la dernière de celles ci-dessus,

{ap')[bq''){cr'')b(i.cVi

{bp'){cq'')(ar'')cQ.aK^ '

nouvelle relation qui indique' que les m — i points pi,/>',p",. . ., les m — i points Qy q^y ?*>••> les m — 1 points R, r', r*',. • . sont sur une courbe du degré m — i, attendu que les produits des segments relatifs à ces points s'y trouvent dans l'ordre convenable, et que ces points eux-mêmes sont nécessairement en nombre impair sur le prolongement des côtés du triangle ahc(ik8 et l&O). Donc aussi il résulte de nos méthodes qu'on pourra construire linéairement, avec la règle seule, l'un quelconque de ces 3(m — i) points au moyen de tous les autres, par exemple le point R, si l'on s'est d'ailleurs donné Q arbitrairement, et, par suite, le point p. demandé, puisqu'il doit être en ligne droite avec les premiers.

375. On arrivera plus simplement encore au même but sans recourir à la transversale arbitraire piQR, en traçant les cordes g'r^, g'^r*, . . . de la courbe proposée qui rencontrent en P", P*,. . . la transversale abp menée à volonté par p : on

. prouvera aisément que le système des m — i points /?', /?',... et celui des m — i points p„ P*", P*',. .. sont en involution par rapport aux sommets a et & du triangle transversal abc 9 ce qui, d'après le n« 183 (§ II du précédent Mémoire), donne lieu à une construction très-simple et purement linéaire du point pi, tous les autres étant

. donnés à priori»

376. Les constructions ou relations graphiques qui viennent d'êtres indiquées sont évidemment indépendantes de la situation relative des transversales aby bc^ ac, qui contiennent les points communs aux deux courbes.

Aiosii par exemple, elles subsistent quand ces transversales se coupent en un même point, ou que abc s'évanouit; elles subsistent même quand ce point commun est sur la courbe propçsée, ou que p, q^ r se confondent en ce point, la section conique qui les contient devenant osculatrice du second ordre à la proposée.

On peut aussi supposer que la transversale ar'' devienne, en outre, tangente aux points de contact communs» ou que r' se réunisse avec p, q, r, ce qui se rapporte au contact du troisième ordre. Enfin, si Ton admet que la transversale bq'^ vienne à se réunir, à son tour, avec la tangente dont il s'agit, en sorte que les cordes q"r'\ q"* r^ soient des tangentes de la courbe, et que la section conique devienne osculatrice du quatrième ordre au point commun qui représente les points p, q^ r, 9', r', confondus en un seul, on peut, dis-je, faire toutes ces hypothèses sans que les relations des-* cripUves ci-dessus mentionnées cessent d'être applicables au système, ou de donner le point px qui appartient à chacune des transversales arbitraires conduites par le point /i commun aux deux courbes.

377. Quant aux relations métriques elles-mêmes qui sont la traduction de celles^ là, elles prendront, dans chaque cas, les formes souvent indiquées dans le cours du précédent Mémoire (Sect. III }.

Ainsi, par exemple, le cas où les points p, 9, r, 9', raseront confondus en un seul conduira à la proposition suivante :

« Soit ag^ la tangente en un point quelconque a d'une courbe géométrique tracée » sur un plan, rencontrant de nouveau la courbe aux points 9", 9^, ... ; soit ap' une » droite arbitrairement menée par a, rencontrant en px l'osculatrice du quatrième B ordre en a à la courbe donnée, cette courbe elle-même aux nouveaux points p^ • P^yP^y'y ®^ l®s tangentes aux points q", g'',. . .''de cette courbe en P^, P'%. . . » respectivement, on aura constamment la relation

ap' ap'' ap"* api aV aV^

j> qui exprime que le centre des moyennes harmoniques des points p^ 9 p" , p^ y* ^•,esi » le même que celui des points px , P", P^, • • . ; ce qu'on pourrait conclure directe- » ment de ce qui a été établi ci-dessus sur les sections coniques osculatrices du a troisième ordre, i»

278. Cette relation, qui donne immédiatement la valeur de ap^y répond d'ailleurs à une construction linéaire très-simple du point pi ; construction souvent rappelée dans ce qui précède, et qui consiste en ce que les deux groupes de points considérés peuvent être regardés comme les intersections successives des côtés alterna tivement de rang pair et impair d'un polygone inscrit dans l'angle de deux droites arbitraires issues du point de contact a des deux courbes.

Trois transversales arbitraires telles que ap* donnant trois points pi de Toscula* trice du quatrième ordre en a, ces trois points réunis à la tangente aq" de cette der* nière suffiront pour la tracer complètement par Vhescagramme de Pascal, et sans le concours de la courbe proposée. Or^ nous avons fait connaître dans la Section III, t. !•' de ce Traité, des méthodes très^simples pour construire Ja section conique

3o8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

osculatrice du second ou du troisième ordre en un point donné d'une pareille courbe, et qui est de plus assujettie à des conditions données; donc les considérations exposées en dernier lieu mettent en état de résoudre immédiatement les problèmes relatifs aux coniques osculatrices des deuxième et troisième ordres en un point donné d'une courbe géométrique quelconque, puisqu'elles sont aussi nécessairement osculatrices des mêmes ordres avec celles dont le contact du quatrième ordre est plus élevé.

D'après cette remarque, nous aurions donc pu réduire à fort peu de chose le problème des coniques osculatrices en des points donnés des courbes géométriques; mais j'ai pensé, avec raison sans doute, que les divers théorèmes ou conséquences recueillis sur la route parcourue ne seraient nullement indignes de l'attention des géomètres, et très-propres, au contraire, à démontrer l'heureuse fécondité de la doctrine des transversales, telle que je Tai envisagée dans le cours de ces recherches (Sect. III et IV).

379. Pour terminer d'ailleurs convenablement cette quatrième Section, il convient de rappeler quelques observations fort essentielles et sur lesquelles je n'ai fait que glisser dans ce qui précède : c'est que nos théorèmes généraux conduisent, comme conséquences particulières, à un grand nombre de corollaires curieux, quand on vient à spécialiser l'état de chaque figure ou du système des grandeurs considérées, par exemple, 'en supposant que certains points, certaines droites passent à l'infini ; c'est que, par l'application des principes de la Théorie des polaires réciproques, la plupart de ces théorèmes sont susceptibles de conduire à d'autres théorèmes inverses non moins remarquables, de la nature de ceux que j'ai rapidement indiqués vers la fin du Mémoire qui contient cette théorie, et qu'il eût été presque superflu ou du moins fort peu utile d'exposer en détail ici, attendu que ces théorèmes se déduisent toujours des précédents par des règles sûres, et sont, en général, d'une complication beaucoup plus grande, qui ne permet guère d*en conclure des constructions faciles pour le tracé des osculatrices des courbes géométriques.

Afin de donner au moins une idée de la nature de ces nouveaux théorèmes, nous considérerons en particulier le cas des sections coniques osculatrices du quatrième ordre en un point donné d'une courbe géométrique. Appliquant donc aux propositions qui ont été exposées ci-dessus pour ce système les principes des n**' 63, 120 et suivants du Mémoire (Sect. II) dont il s'agit, on arrivera sans peine aux propositions inverses qui suivent.

« 380. Soit a le point de contact d'une tangente quelconque aq, aq' d'une courbe 9 géométrique du degré m tracée sur un plan, auquel répondent les m{m — i) — a autres tangentes à la courbe, aq", aq'^,.^. • issues de ce point; d'un second point b choisi arbitrairement sur la tangente en a, soient également menées la nou- » velle tangente bpi à la section conique osculatrice du quatrième ordre au même n point a, les m(m — i) — i nouvelles tangentes bp', bp", bp'^,... à la courbe » donnée, et les m(m — i) — 2 droites bq", bq*^,.., joignant ce point avec les » points de contact des tangentes aq'', aq '",..* issues de a: le faisceau des tan-

SECTION IV. — DES SYSTÈMES DE LIGNES ET DE SURFACES. Sog

» gentes bp', bp", bp"^... et celui que forme Ja tangente bp^ avec les droites j> bq^f bq^f.. . auront même axe de moyennes harmoniques par rapport à la tan-- B gentè ab de la courbe proposée ( m), d

En d'autres termes, a si l'on coupe ces deux faisceaux par une droite arbitraire» ]> les systèmes de points d'intersection qui en résultent auront même centre de » moyennes harmoniques conjugué au point de concours de cette transversale avec r> la tangente ab^ pris pour origine des abscisses ou segments. »

381. La courbe (m) étant donc donnée ainsi que le double faisceau de ses tan-* gentes, on pourra très«facilement obtenir la tangente bp^ , et successivement autant d'autres qu'on voudra; car la relation harmonique ci-dessus fera connaître la position du point pi qui appartient à 6j9,. D'ailleurs, on pourrait aussi opérer directement sur les deux faisceaux en question pour obtenir immédiatement cette tangente.

A cet effet, ayant choisi à volonté deux points sur le plan de la courbe proposée, on prendra ces points respectifs pour y faire passer alternativement les côtés de rang pair et de rang impair d'un polygone quelconque, dont les sommets s'appuieront eux-mêmes alternativement sur chacune des tangentes bp\ bp", bp'",,.,^ et des droites bq'\ bq^, . . . , la tangente ftp» exceptée. Cela posé, le dernier sommet du polygone ainsi formé, celui qui est demeuré libre, se trouvera naturellement placé sur la tangente bpt de Tosculatrice demandée.

Cette dernière construction est la traduction de celle qui, d'après les recherches précédentes, donnerait le point pi au moyen de la combinaison de tous les autres, ou, plus généralement» l'un quelconque des points de deux groupes en involution par rapport à deux points donnés sur leur direction rectiligne commune, systèmes que j'ai également eu occasion d'examiner dans ce Mémoire (Sect. III, n** 181). On traduirait d'ailleurs avec la même facilité tous les autres théorèmes qu'il renferme sur les courbes géométriques, en ayant égard aux relations de réciprocité polaire établies dans la Section II si souvent citée dans ce qui précède.

382. Enfin, en appliquant les mêmes considérations aux lignes à double courbure et aux surfaces géométriques, ce dont j'ai offert quelques exemples seulement, dans les diverses parties de cet ouvrage, on arriverait à de nouveaux et intéressants théorèmes sur lesquels il m'est impossible d'insister, d'autant plus que la matière étant d'une étendue pour ainsi dire illimitée et d'une complication assez grande, elle pourrait n'offrir dans ses développements aucun avantage bien apparent pour le progrès de la science et le perfectionnement des arts qui reposent sur le dessin linéaire; but important et que j'ai tâché de ne pas trop perdre de vue dan^ le cours de mes études géométriques.

Remarquons cependant que nos méthodes fournissant des procédés généraux pour construire^ par le calcul ou graphiquement, les sections coniques osculatrices des deuxième, troisième et quatrième ordres en un point donné des courbes planes géométriques, elles peuvent offrir quelque utilité dans leur application à certaines courbes particulières, et même aux courbes de l'espace données par leurs projec-

3io PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

lions sur un plan (Sect. supplémentaire» § I"). D'autre part, ces méthodes, si elles ne mettent en mesure de construire directement des surfaces du second degré osculatrices de divers ordres en un point donné d'une surface géométriquement déflnie dans l'espace, peuvent au moins fournir des indications utiles sur la nature et la possibilité d'existence de ces osculatrices.

Par exemple, c'est un fait digne de remarque qu'en un point donné d'une surface géométrique quelconque, on peut construire une inGnité de sections coniques osculatrices du troisième ordre de la surface en ce point, et passant de plus par un- point donné arbitrairement dans l'espace; la droite qui renferme ce point et le point commun d'osculation des coniques constituant, en quelque sorte, un axe fixe autour duquel pivote le plan de la conique osculatrice de la surface proposée suivant sa ligne d'intersection avec ce plan. L'ensemble de ces coniques consti-* tue lui*même évidemment au point considéré une surface continue osculatrice du troisième ordre avec la précédente. Mais, après un examen quelque peu attentif, on s'assure que cette surface osculatrice n'est nullement du second degré, en recherchant, selon nos méthodes, en combien de points elle peut être rencontrée par une droite arbitraire.

383. Les résultats que nous avons obtenus pour l'osculatrice conique du qua-^ trième ordre en un point donné d'une courbe géométrique plane, sont bien plus remarquables encore ; car ils enseignent à construire celte conique pour tout plan de section arbitraire d'une surface géométrique également donnée, ainsi que le point de contact, et cela sans conditions accessoires; de sorte que, par exemple, il y a lieu de se demander s'il existe réellement une surface osculatrice continue d'un tel ordre, constituée d'une infinité de coniques contenant le point commun d'osculation; mais la réponse reste à peu près la même que pour le cas précédent. Toutefois, on ne saurait nier qu^en un point donné d'une surface continue, il existe une infinité de surfaces du second degré osculatrices du second ordre seulement en ce point, et telles, que toute section parallèle au plan tangent, infiniment voisine du point de contact mutuel, coupe les diverses surfaces osculatrices suivant une conique commune, elle-même infiniment petite, semblable et semblablement placée par rapport à Yindicatrice de la courbure.

FUi DU llÀhUSCRlT DE l83o ▲ l83l.

ssrs

Considérations générales.

Cette Section comprend divers développements, articles ou extraits d'articles, notes et additions qui n'ont pu entrer dans le corps de Touvrage, et qui néanmoins se rattachent aux différentes matières dont il se compose par des éclaircissements, des données critiques ou historiques indispensables à rintelligence de certains passages. Non-seulement aucun de ces articles détachés n'est entré dans la composition des tomes I et II des Applications d'Analyse et de Géométrie, publiés par l'auteur en i86^ et i864» mais encore ces articles en sont le complément indispensable, ainsi que de beaucoup de citations du premier volume de ce Traité ayant trait à des écrits dont il serait utile de prendre connaissance pour se former une idée de l'origine et des progrès de cette partie de la Géométrie, aujourd'hui devenue si vaste, qui concerne les relations ou propriétés de l'étendue figurée, indé* pendantes de toute grandeur absolue et déterminée; relations, propriétés que j'ai le premier nommées projectiçes, et nettement distinguées en mé" triques ou descriptwes.

En réunissant ici, en des groupes ou paragraphes distincts, ces documents épars, les uns inédits, par conséquent tout à fait inconnus, les autres perdus dans de vastes collections, et par cela même oubliés, rarement cités ou mal interprétés, mais auxquels j'attache d'autant plus de prix qu'ils servent à fixer quelques dates ou droits de priorité ; en reproduisant ces documents, j'ai pensé faire une chose agréable à tout lecteur désireux de juger par lui-même et pièces en mains l'état de certaines questions géométriques fort obscurcies par des commentateurs, des vulgarisateurs partisans plus ou moins éclairés des idées de Gergonne et de Cauchy, et peu soucieux d'ailleurs de remonter aux principes des choses; tâche en effet aussi délicate que pénible quand elle est consciencieuse et vraiment désintéressée. * Quant aux critiques personnelles, aux insinuations injustes ou malveillantes qui ne sauraient intéresser les lecteurs de cet ouvrage, je me garderai d'y répondre, me réservant seulement le droit de contrôler les observations

3ia PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

sérieuses et vraiment scientifiques; je laisserai également dans l'oubli certains passages de lettres confidentielles ou d'écrits imprimés qui ne m'ont jamais fait prendre le change sur les intentions vraies des auteurs; et, si j'en ai agi autrement dans les tomes I et II des Applications (T Analyse et de Géométrie^ déjà mentionnés, c'est que je sentais la nécessité de me défendre tout d'abord contre les préventions, les jugements irréfléchis de quelques savants moins autorisés peut-être que Cauchy, envers lequel cependant nos illustres maîtres, Laplace, Legendre, Lacroix, Poisson, Poinsot, Jacobi, etc., professaient, à l'occasion f ), une opinion peu différente de la mienne propre exprimée sans passion, d'après uile sage*coutume de l'antique Egypte, qui, c pour éclairer dignement les hommes, jugeait avec sévérité mais équité les » morts glorifiés^ adorés de leur vivant. »

D'ailleurs, tout en reconnaissant l'utilité, l'à-propos, le mérite même de quelques écrits géométriques postérieurs au Traité des Propriétés projectiles des figuresj je ne crains pas d'affirmer que si, à un moment donné, ils ont contribué à populariser, à illustrer certains savants ou certains faits, la conviction qui a pu en résulter ne saurait être entière et durable en dehors des ïnoyens personnels de vérification ou de contrôle de chacun. C'est pourquoi , à l'exemple de quelques-uns de nos très-célèbres prédécesseurs peu * confiants dans les jugements de la critique contemporaine ou posthume, je n'ai pas craint de présenter moi-même, dans ces dernières publications, quelques fragments de mes états de service, dépourvus de toute réflexion ou commentaire.

L'accueil fait, à l'origine, au Traité des Ponsmes d'Euclide; les misérables diatribes des Beaugrand et des Gurabelle contre la théorie de VimoUition et les leçons de ténèbres (du soir) faites si généreusement aux ouvriers lyonnais ou parisiens par Desargues, le soutien et l'interprète de Descartes, le précurseur de Pascal dans un genre de Géométrie si fort apprécié de nos jours; enfin les jugements sévères portés contre les coniques de ce dernier, sont, sans nul doute, les causes premières, efficientes du triste sort réservé à ces

(*) On n*a point encore oublié, je pense, les protestations verbales, les marques de désapprobation et d'impatience manifestées dans le sein même de l'Académie des Sciences à propos des lectures et des écrits intarissables de notre illustre et fécond confrère. On peut voir aussi, dans VHistoire de V École Polytechnique, par feu de Fourcy, qu'en i8ai, une Commission de révision des programmes, stimulée sans doute par les justes critiques de Hoëuoé Wronski, avait prescrit aux professeurs de cette École l'usage exclusif de la méthode des infiniment petits, dont on s'ét&it écarté malgré les prescriptions formelles des programmes de i8i3; méthode à propos de laquelle, comme on le sait encore, M. Poinsot avait rédigé des articles éminemment lucides, et qu'on trouve reproduits dans le tome III de la Correspondance de cette même École, p. ii i (mai i8i5).

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 3i3

divers ouvrages et à quelques autres cités dans Iq volume précédent» mais dont nous ne possédons que d'infimes fragments grâce aux zoïles et aux sophistes, aux aristarques et aux sosies de chaque époque, esprits étroits avec lesquels il ne faut pas confondre les collectionneurs, savants et habiles, tels que Pappus, ce géomètre philosophe de Técole d'Alexandrie, et ce butineur intrépide, sinon véridique, Philippe de Lahire, dont Fontenelle a fait presque un grand homme dans ses Éloges académiques^ en le chargeant des dépouilles opimes de Desargues, de Pascal, de Roberval, deRœmer, et en le représentant comme le patron, le précepteur des ouvriers de son temps, même de l'ancien et célèbre graveur Bosse, ce disciple dévoué de Desargues (") :

Sic vos non vobis fertis aratra boves; Sic vos non vobis

Quand on songe, en effet, à ce que sont devenues les œuvres originales d'Euclide, de Desargues, de Pascal, dont j'ai essayé, dans le tome V^ du Traité des Propriétés projectwes, de raviver le souvenir géométrique eu partie effacé parmi nous, malgré les favorables mais insuffisantes indications de Pappus, de ce même graveur Bosse et du grand Leibnitz; quand on songe, disons-nous, à ta perte tant regrettée de ces anciens manuscrits, on ne peut s'empêcher de plaindre tout novateur ou initiateur d'une doctrine qui, bien que rationnelle, féconde et utile au progrès des sciences ou des arts, choque les idées reçues et n'est point à la portée de toub.

Pauvre Desargues, qui se figurait que des affiches apposées aux murs de Paris, des manuscrits rédigés à la hâte en faveur de la classe ouvrière dont ils imitaient le langage familier; que des leçons sans apprêts, inintelligibles pour les beaux esprits de la capitale, mais communiquées telles quelles à des amis plus ou moins bienveillants et éclairés, pouvaient le défendre effica-

(*) L'éloge de Fontenelle, soumis à un examen approfondi par M. Piobert (t. LVI, p. 497 ^^ Comptes rendus de l'Jcadémie des Sciences)^ le silence calculé de Lahire, dans ses Traités des coniques y en partie fondés sur les propriétés de la division harmonique et du pôle connues des Anciens, de Desargues et de Pascal ; cet éloge, ce silence injustifiables, peuvent expliquer comment les géomètres anglais, successeurs de Lahire, adoptant sa synthèse euclidienne, seule alors classique et jugée rigoureuse par les adversaires de la méthode d'invention de Descartes et de Leibnitz {malo indies serpenti)\ comment, dis-je, les Milnes, les Hamilton, les Robert Simson et l'illustre Mac-Laurin lui-même, n'ont jamais cité les écrits originaux de Desargues, de Pascal et de Bosse, envers qui les savants rédacteurs des Acta eruditorum de Gœttingen, l'ingénieur Frézier et quelques autres ont été moins oublieux. Depuis que Simson, dans la préface de son Traité de 1750, a lancé cette sentence latine contre l'Analyse moderne, l'état des choses a bien changé en Angleterre, où, à l'instar des savants allemands, on accorde une confiance presque exclusive aux démonstrations algébriques. (Voyez Applications^ etc., t. II, 1864, VII* cahier.)