II

3i4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

cément contre les cabales de rivaux puissants, et soustrairaient a l'oubli ses savantes niéthodes géométriques, si utiles aux arts dont il s'occupait avec prédilection comme architecte et ingénieur militaire! Pauvre Desargues, qui, peu ambitieux de renommée et fatigué de ces luttes stériles, cultivait. Tété, son jardin de Condrieu non loin de Lyon sa ville natale, où il passait les hivers et mourut en i66a (année même de la fin douloureuse et prématurée de Pascal), sans éclat, ignoré de ses contemporains (*), sans s'inquiéter du perfectionnement de ses écrits, ni du profit qu'en pourraient tirer des successeurs mieux avisés! Il ne prévoyait guère, sans aucun doute, qu'après deux siècles écoulés, sa mémoire, ses découvertes seraient remises en honneur, sinon en parfaite lumière, tandis que, grâce à une réaction dont il y a de nos jours tant d'exemples injustes et parfois ridicules, on en viendrait, après l'avoir si longtemps négligé, à lui attribuer des pensées, des découvertes auxquelles peut-être il n'avait point songé.

Au surplus, Desargues le libre penseur , traité d'ignorant vaniteux par de jaloux contempteurs, malgré le cas qu'en faisait Descartes, lui-même exilé volontaire à l'étranger où il mourut en fuyant le bruit et la persécution; le modeste et libéral Desargues n'est pas le seul homme de génie qui ait manqué de prévoyance scientifique et de courage vers la fin de ses jours : Galilée, Pascal, Monge eux-mêmes n'ont-ils pas été traités de fous, de lâches ou de serviles par quelques moralistes politiques satisfaits mais mal informés? N'est-il pas évident que ces grands géomètres philosophes ne se fussent pas éteints dans l'angoisse et le découragement si, en se préoccupant moins des jugements contemporains, bien souvent démentis par ceux de la postérité, ils eussent consacré, dans le silence et la retraite, leurs derniers jours a la réédition» à la révision lente, réfléchie et pleine de jouissances morales, de leurs premiers travaux, plus que nuls autres empreints du sceau de l'inspiration et du génie, travaux que l'entraînement et les passions du moment font trop souvent dédaigner, et qui nous parviennent alors mutilés ou mal compris, interprétés par des disciples rarement dévoués et capables de saisir la véritable et philosophique pensée du maître.

Quoi qu'il en soit, je ne suis nullement d'avis, avec notre illustre, loyal et savant vulgarisateur académicien François Arago, que le mérite d'une décou-

(* ) Voyez dans le Dictionnaire de la Biographie universelle un article du savant M. Weiss sur Gérard Desargues, article très-bien fait sans doute, mais qui laisse beaucoup à désirer, quoiqu.'il accorde à l'esprit original et fécond de Desargues une justice que ses ingrats compatriotes lui ont refusée, et que Saverien lui-môme, de la Société royale de Lyon, etc., a oublié de lui rendre dans son grand Dictionnaire de Mathématiques, prétendu universel, publié en 1753.

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 3i5

verte appartient exclusivement à celui qui, le premier, V^l publiée; car les mots de publication, de publicité, susceptibles d'interprétations diverses, supposent trop souvent un savoir-faire que possèdent rarement les vrais savants, les véritables inventeurs, toujours timorés, sinon exempts d'un légitime orgueil. Que valent de nos jours, je le demande, les brevets, les patentes avec ou sans privilège, les réclames des journaux, les rapides et séduisants comptes rendus des recueils scientifiques, même quand ils ne sont pas simplement les échos complaisants des auteurs dont ils prétendent analyser ou critiquer les ouvrages? Que valent encore les dépôts de paquets cachetés, les Rapports académiques qui satisfont bien rarement ceux qui les ont sollicités, les improvisations, les leçons orales ou vulgarisations, si elles ne contiennent pas une appréciation exacte et réfléchie de la pensée des auteurs ou inventeurs? N'est-il pas évident pour tout esprit sérieux que^ comme les éloges funèbres, ces moyens hâtifs de publication ou de réclame et d'autres plus énergiques, plus charlatanesques encore, ne peuvent rien contre l'oubli ou l'indifférence d'un certain public; qu'en un mot tous ces soins, tous ces soucis, s'ils émeuvent et illuminent le présent, sont, par euxmêmes, incapables d'assurer la durée de la réputation des hommes et des choses, tandis que, sans contredit, ils profitent merveilleusement aux projets ambitieux ou mercantiles du jour?

Sans désespérer néanmoins de l'avenic et jugeant notre siècle comme il est, j'ai cru devoir me prémunir, non pas seulement contre d'injustes critiques et des empiétements plus ou moins manifestes, mais aussi contre le soupçon d'emprunt que, faute d'une attention suffisante, quelques lecteurs pourraient adresser à des publications involontairement tardives. Mais ce que j'appréhende avant tout, ce serait de paraître dédaigner toute justification ou réfutation scientifiquement exprimée , comme l'ont fait Pascal et d'autres grands esprits, auxquels je n'ai jamais prétendu me comparer, quoique eux aussi n'aient point toujours été approuvés hautement dans leurs tentatives hardies d'émancipation mathématique.

Ces réflexions et le blâme, au fond peu mérité, que m'a valu la franchise des opinions et des critiques émises dans mes récentes publications, m'ont fait quelque temps hésiter dans la résolution de réunir ici sous un même titre l'ensemble des documents épars qui peuvent concerner les travaux de Géométrie dont je me suis préoccupé depuis 1820 ou 18:12. Je sais que la plupart des lecteurs sont indifférents, hostiles même, à toute espèce de revendication, et généralement enclins à donner gain de cause

aux écrits les plus faciles, sinon les plus sincères; mais j'avais pour moi»

3i6 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

entre beaucoup d'autres, Texemple de Mac-Laurin, qui dans les Mémoires de la Société Royale de Londres de 1785 n'a pas hésité à revendiquer les découvertes géométriques qu'avait tenté de lui ravir Braikenridge, esprit secondaire qui l'avait devancé dans ses publications et dont il eut à se défendre, quoique son caractère de probité et d'élévation scientifiques dût le mettre à l'abri de tout soupçon de plagiat.

Qui ne connaît d'ailleurs les longues disputes mathématiques du dernier siècle, dont le célèbre Montucla s'est fait l'historien, sinon toujours exact au point de vue géométrique, du moins scrupuleux et impersonnel?

Ces exemples, ces motifs et d'autres qu'il serait inutile d'énumérer ici, suffiront, je l'espère, pour excuser aux yeux du public géomètre l'étendue que j'ai accordée à cette dernière Section, malgré de nombreuses et importantes suppressions.

§ P*". — Composé de la réunion de diçers articles de Géométrie pure

postérieurs à l'année 1822.

HISTORIQUE SERVANT d' INTRODUCTION k UNE THfiORIE DES TRANSVERSALES APPLIQUÉE A LA RECHERCHE DES PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES COURBES GÉOMÉTRIQUES (*).

(Extrait d*uD cahier manuscrit rédigé dans l'hiver de 182a à i8a3.)

Les géomètres se livrèrent, dès la plus haute antiquité, à Tétude des propriétés des lieux géométriques ou des lignes courbes; leur importance est telle, en effet, qu'il est peu de questions relatives aux grandeurs qu'on ne puisse résoudre par leur secours. Les Anciens, je veux dire les Grecs, ne s'étaient pourtant guère occupés que des lieux du premier et du second degré, comprenant la ligne droite et les

(*} J'ai déjà mentionné dans diverses notes ou passages des précédentes Sections (p. 122, ïa3, i35, etc.) la tentative que j'avais faite dès 1822, et môme en 1821, d'une première réduction des Sections m et IV. Cette rédaction, contenue dans un cahier manuscrit de 108 pages, aurait dû, selon le plan que je me suis imposé dans cette publication, être mise sous les yeux des lecteurs, afin de montrer, sans réserve aucune, la série entière des idées, des tentatives et des irrésolutions par lesquelles j'ai dû passer avant de parvenir à une rédaction définitive et pourtant bien imparfaite encore. Pour accomplir convenablement ce dessein, je devrais aussi publier les nombreux et intéressants extraits d'anciens livres de Géométrie qu'il m'a fallu compulser, analyser, avant d'écrire les notes historiques qui accompagnent le tome l"" de cet ouvrage; mais ces divers extraits et les réflexions auxquelles ils donnent lieu composant à eux seuls la matière d'un nouveau volume, je ne saurais pour le moment songer à en faire la publication.

diverses sections coniques, et à cet égard ils avaient poussé leurs recherches trèsloin, comme on peut le voir par les ouvrages d'Apollonius de Perge et de Pappus. Les courbes nommées quadrairice, développante, conchoïde, cissoïdey les spirales et les hélices, furent ensuite celles qui les occupèrent le plus, soit à cause de leur utilité dans les arts, soit à cause de leur usage pour la solution de problèmes alors fameux et de degrés supérieurs, tels que la duplication du cube, la trisection de l'angle, etc. Mais, attendu la difficulté de définir géométriquement, de classer et d'étudier les courbes de diverses espèces, les Anciens ne nous ont rien transmis de général sur ce sujet; la gloire en est entièrement due aux modernes.

Descartes fut le premier qui, par son ingénieuse Ànaljrse des coordonnées, parvint à définir, à classer et même à construire les lignes des divers ordres d'après leurs équations algébriques; il détermina aussi leurs tangentes et sous-tangentes par le moyen du calcul, mais il s'occupa peu de leurs autres propriétés. Roberval, son émule, trouva presque dans le même temps sa méthode graphique de mener les tangentes aux lignes courbes, lorsqu'elles sont définies par la loi géométrique du mouvement de leur point descripteur. Il serait bien à désirer que cette utile théorie pût être étendue aux contacts des ordres supérieurs.

Newton parvint, comme on sait, à de beaux rcsullats sur les courbes algébriques ou géométriques dans son É numération des lignes du troisième ordre. Parmi ces résultats, je citerai son théorème sur les diamètres des courbes, celui sur le rap« port constant entre les produits des abscisses et des appliquées parallèles, enfin son théorème sur les sommes de segments interceptés sur une sécante quelconque par une courbe et ses asymptotes, théorèmes qui sont tous des exiensions des propriétés anciennement connues des sections coniques. Côtes y ajouta ensuite son beau principe sur la droite lieu des points qu'on pourrait nommer centres de moyennes harmoniques, relatif à un pôle fixe ou point donné sur le plan d'une courbe géométrique. Mac-Laurin réunit ces différentes recherches à celles qu'il avait faites de son côté, et en composa un Traité sur les Propriétés générales des lignes géométriques, qui se trouve, sous la forme ^appendice, imprimé à la suite de son Traité d* Algèbre posthume ( Londres, 1748 ).

Parmi les choses qui lui appartiennent, on doit particulièrement distinguer plusieurs théorèmes sur les sécantes, les tangentes, les cercles osculateurs et sections coniques osculatrices du second ordre en des points donnés des courbes géométriques; théorèmes basés sur la considération des sommes de réciproques des segments interceptés sur une droite à partir d'un certain point, et qui par conséquent offrent quelque analogie avec le théorème cité de Côtes. Mac-Laurin s'applique principalement à faire voir, sur les lignes du troisième ordre, que la plupart des propriétés alors connues des sections coniques pouvaient s'étendre aux courbes de degrés supérieurs.

Ce que, depuis, Waring, dans ses Mélanges analytiques publiés à Cambridge en 1762, ajouta à ces diverses théories, n'est point, à beaucoup près, du même intérêt, du moins sous le rapport des propriétés générales que nous avons ici particulièrement en vue : il ne fit qu'étendre à des cas plus compliqués les théorèmes de Newton, de Côtes et de Mac-Laurin.

3i8 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

C'est pour le même motif aussi que je ne citerai ni YÈnumération des lignes du quatrième ordre de ce savant géomètre, ni diverses autres recherches particulières sur les courbes, dues à Nichole, à Barrow, ainsi qu'aux auteurs précédemment cités. J'ajouterai cependant que Newton démontra le premier que la projection centrale ou perspective d'une courbe de degré m est elle-même de ce degré, principe en quelque sorte évident en lui-même, si l'on admet, comme nous l'avons fait dans le Traité des Propriétés projectiles, que le degré d'une courbe ou surface est marqué par le nombre de ses intersections avec une droite arbitraire.

En France et à Tépoque du xvm* siècle, on était bien loin d'être aussi avancé dans la théorie des lignes géométriques; on y paraissait même ignorer entièrement les recherches qui avaient occupé Côtes et Mac-Laurin. L* Introduction à l'Analyse des lignes courbes par Cramer, qu'on doit considérer comme renfermant à peu près tout ce qui était alors connu sur ce sujet, n'est en effet que le développement des principes posés par Newton et Slirling pour la classification des lignes courbes et la discussion de leurs principales affections par rapport aux axes coordonnés. On y enseigne, il est vrai, à déterminer, pour chaque point de la courbe, la tangente et la normale, le cercle osculateur et le rayon de courbure, ainsi que les grandeurs ou les lieux qui en dépendent, tels que les développées, etc.; mais ces recherches, ces solutions de problèmes inflniment utiles aux arts qui se fondent sur le dessin linéaire, ne sont là présentées ou résolues qu'à l'aide des équations des courbes et par le calcul des abscisses et ordonnées; on n'opère presque jamais sur les lignes, sauf dans quelques cas très-simples; en un mot, c'est de l'Analyse algébrique, admi-* rable, il est vrai, par son universalité, mais non de la Géométrie telle que le réclament les divers besoins des arts.

C'est encore ainsi que, de nos jours (1828), on traite volontiers, dans les ouvrages consacrés à l'instruction, la théorie des lignes courbes (*). Cependant il faut avouer que, depuis les travaux de Clairaul, d'Euler, de Lagrange, de Monge, etc., sur ce sujet, les géomètres se sont un peu plus exercés à traduire en constructions graphiques et en propriétés élégantes les résultats abstraits du calcul appliqué aux figures. On commence à sentir que la tâche du géomètre analyste n'est qu'en partie remplie sans l'interprétation complète de ces résultats, et c'est à cette manière d'envisager la théorie des coordonnées que nous devons plusieurs belles propriétés des lignes et des surfaces du second degré récemment découvertes.

Parmi les ouvrages qui ont paru après celui de Cramer et où la théorie générale des courbes a été spécialement étudiée, nous citerons le Traité de M. Goudin sur les Propriétés communes à toutes les courbes algébriques, et la Section VI de la Géométrie de position de Carnot, ouvrages dans lesquels, par la transformation des coordonnées prises dans l'acception la plus générale, on cherche à former des tableaux qui contiennent les diverses relations ou propriétés dont une courbe jouit à l'égard de certaines variables qui en dépendent, telles que ses coordonnées ordinaires, sa sous-tangente, sa normale, etc. Mais, à l'exception du beau principe

(*) On remarquera que ceci avait été, en 1821, lu en ébauche à la Société des Lettres, Sciences et Arts de Metz : séance du mois de décembre même année. — (Note de iSaS.)

SECTION SUPPLÉMENTAIRE, Sig

découvert par Carnot sur le triangle ou le polygone transversal d'une courbe ou surface géométrique quelconque, simplement énoncé au n"* 130 du précédent Mémoire (Sect. II) et qui est proprement l'extension du principe de Newton sur les appliquées parallèles, cette manière restreinte d'envisager la théorie des courbes n'a point conduit à des résultats vraiment dignes de remarque sous le point de vue géométrique, et qui soient comparables à ceux qui furent d'abord trouvés par Newton, Côtes et Mac-Laurin.

C'est sans doute la nécessité bien sentie de perfectionner la théorie analytique des courbes et de modifier les méthodes jusque-là suivies pour en découvrir les propriétés essentielles, qui a excité divers savants français à rechercher des systèmes de coordonnées plus avantageux que ceux des coordonnées ordinaires et qui eussent avec la nature de chaque courbe des dépendances plus intimes, plus nécessaires. M. Lacroix observe à ce sujet, dans le tome P' de son Traité in-4^ du Calcul différentiel et du Calcul intégral , qu'en choisissant pour coordonnées le rayon de courbure de la courbe et son arc depuis un point fixe, on a une équation plus propre qu'aucune autre à caractériser cette courbe, puisqu'elle ne dépend que d'une constante arbitraire relative au point pris pour origine des arcs.

Dans un beau Mémoire présenté à l'Institut en i8o3 et inséré dans le XIV* cahier du Journal de l'École Polytechnique^ M. Ampère propose de substituer à ces coordonnées les coordonnées naturelles de la parabole osculatrice du troisième ordre en chaque point de la courbe, pour obtenir, diMl, une équation vraiment caractéristique de cette courbe; par là, en effet, cet illustre géomètre obtient des équations qui ne renferment d'autres constantes que celles qui tiennent à la nature et à la grandeur particulière de la courbe, attendu que l'angle des coordonnées de la parabole osculatrice est censé droit.

Carnot, en s'occupant de considérations analogues à la page 47^ de sa Géométrie de position^ a, de son côté, proposé de prendre pour coordonnées des courbes le rayon de courbure en chaque point et l'angle que font en ce point la tangente et la droite qui divise en deux parties égales la corde parallèle à celte tangente et qui lui est infiniment voisine, c'est-à-dire, comme on le verra plus tard, l'angle de la tan* gente et du diamètre de là parabole osculatrice. Enfin M. Frégier a eu l'idée de choisir pour coordonnées d'une courbe le rayon de courbure en chaque point et les portions de la normale comprises entre ce point et les diverses branches de la courbe; cela lui a donné l'occasion d'énoncer quelques théorèmes nouveaux sur les lignes du second ordre, qu'il a ensuite étendus aux lignes géométriques d'un degré quelconque (Annales de Mathématiques y t. VI et VII, 1816 à 1818); mais leur énoncé est fort compliqué, et elles ne paraissent pas devoir être d'un grand usage dans les applications; nous ferons connaître, par la suite, des relations plus simples entre les mêmes lignes et qui permettent également de construire le rayon de courbure en chaque point d'une courbe géométrique.

Au surplus, on a quelque peine à saisir le but véritable de ces diverses recherches, il semble même qu'on ne recueillerait qu'un avantage très-borné de la découverte d'un système de coordonnées tellement lié à la nature de la courbe , que l'équation de celle-ci ne présentât absolument rien d'arbitraire ou qui fût

étranger à sa nature. Car, outre qu'il arriverait rarement que cette équation fût bien simple, elle n'aurait encore lieu que pour la courbe elle-même envisagée d'une manière individuelle, et n'apprendrait autre cbose que la propriété dont elle jouit, en chaque point, à l'égard des nouvelles coordonnées, et des moyens de construire l'une de ces coordonnées à l'aide de l'autre ou du système des autres quand celles-ci sont immédiatement données par le tracé de la courbe, ainsi qu'il arrive, par exemple, dans le système admis par M. Frégier. Toute combinaison directe d'équations pareilles des lignes devenant impossible, un tel système de coordonnées serait bien loin d'offrir les avantages qui, sous ce rapport, sont inhérents à celui des coordonnées ordinaires, et qui le rendent éminemment propre à la recherche des propriétés les plus générales des figures.

Loin donc qu'il soit convenable de remplacer ce dernier système de coordonnées des courbes par un système tellement particulier, qu'il ne contienne rien d'arbitraire ou d'étranger à la nature de ces courbes, il paraîtrait au contraire beaucoup plus à propos de choisir, pour les définir et les représenter par des équations, une propriété tellement générale, qu'elle puisse appartenir à la fois à toutes les lignes et à toutes les combinaisons de lignes, sans cesser pourtant de les caractériser d'une manière individuelle. Nous avons déjà eu occasion de le remarquer (Tm/^^^ des Propriétés projectives, Introduction, p. xxxiv), a les propriétés de l'étendue sont D d'autant plus fécondes qu'elles sont renfermées sous des énoncés plus généraux » et plus simples; car, sous cette indétermination même, elles embrassent inipli- » citement et comme corollaires immédiats toutes les propriétés particulières des » figures. » Or ces conditions ne peuvent être remplies que par un système de coordonnées qui offre lui-même la plus grande indépendance possible, soit quant à la situation des parties, soit quant à leur grandeur; en sorte, par exemple, que le simple déplacement de ce système ne puisse aucunement modifier l'équation qui représente la courbe, non-seulement quant à la forme générale, mais aussi quant aux constantes ou coefficients qui y entrent : on peut même dire, en généralisant davantage encore, que la question est de trouver un système de coordonnées qui délivre l'équation de la courbe de toute espèce de constante explicite. En effet, cette équation fera découvrir les propriétés les plus universelles de toutes les courbes du même genre, sans égard à l'espèce particulière et à la grandeur des figures, c'est-à-dire ce que j'ai nommé ailleurs leurs propriétés projectives.

Le système de coordonnées rectangulaires ne remplit qu'en partie ces conditions, puisque le changement d'axe, s'il ne modiQe pas essentiellement la forme générale, le degré des équations des lignes, entraîne au moins la variation des constantes ou des coefficients.

Ainsi, comme l'observe Carnot (Géométrie de position» p. 474 )> « la propriété » connue des cordes qui se coupent dans le cercle présente la nature de cette » courbe sous un point de vue plus général que son équation à l'égard des axes D coordonnés, » car cette propriété est même indépendante du paramètre ou rayon. Par la même raison, la propriété due à Newton, sur les abscisses naturelles et les appliquées parallèles des courbes, est plus générale que celle qui définit ces courbes par les abscisses et ordonnées ordinaires; car elle ne dépend pas comme

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. Sai

celle-ci de la position particulière de Torigine des coordonnées, quoiqu'elle contienne encore la condition du parallélisme ou de la constance des angles formés par les appliquées avec Taxe des abscisses. Enfin, suivant notre illustre auteur, la relation découverte par lui entre les différents segments formés par une courbe géométrique quelconque prise pour transversale, sur les côtés d'un triangle ou d'un polygone tracé arbitrai)*ement dans le plan de cette courbe, cette relation, disons-nous, entièrement indépendante de toutes grandeurs constantes autres que celles de la courbe, exprime les propriétés et la nature de celle-ci d'une manière plus générale et plus simple encore que la précédente entre les appliquées et les abscisses naturelles.

D'après ces réflexions de Carnot, qui se rapprochent ici beaucoup des nôtres, n'a-t-on pas lieu d'être surpris de le voir ensuite (n***Ml et 432) en abandonner les conséquences pour proposer comme plus général et plus élégant le système de coordonnées mentionné d'abord, attendu qu'il ne concerne aucune grandeur étrangère à la nature de la courbe, aucun axe, aucun point fixe auxiliaire pris pour termes de comparaison? Les segments formés par les intersections d'une courbe avec des transversales droites arbitraires sont-ils donc des grandeurs plus étrangères à la nature de cette courbe que son rayon de courbure, son arc ou ses diamètres de sections coniques osculatrices, etc.? Ces segments ne sont-ils pas tout à fait indépendants de toute origine, de tout axe fixe dans la relation qui les lie entre eux, puisque les transversales sont entièrement arbitraires? Enfin quoi de plus générai que cette relation elle-même, qui appartenant à la fois à toutes les courbes, ne dé«* pend explicitement d'aucune grandeur absolue et particulière de ces courbes ou des objets auxquels on les rapporte. D'ailleurs, quelles que soient les coordonnées qu'on emploie pour définir les courbes, elles seront d'autant plus avantageuses qu'elles seront plus simples, plus faciles à comparer et à construire; et, comme la ligne droite entre comme élément nécessaire dans toutes les considérations qui ont pour objet la mesure ou les propriétés de situation des lignes, il semble qu'on doit accorder la préférence à la propriété des transversales comme définition générale de ces lignes, d'autant plus que cette propriété s'étend facilement à un nombre quelconque de transversales, ainsi qu'à des surfaces et à des courbes quelconques considérées dans l'espace.

Note de i865. — Ce préambule historique était suivi, dans le manuscrit de i8aa-i82S, de diverses considérations concernant l'application du théorème fondamental de Carnot aux lignes ou surfaces géométriques et à la remarquable correspondance qu'il indique entre les propriétés de ces lignes ou surfaces avec celles des systèmes de droites et de plans quelconques. Mais ces considérations se trouvant reproduites avec des développements, dans la Section lU de ce volume, il serait fort inutile de les rapporter ici .

KBCHBIICHK SU CBBCU OSCOLATEUR d'ONS CODRBB A. BODBLB COUBBUBB BN l'dN QOBLCONQDB

DB 8B8 POIMB.

(Extrait des anciennes Annales de Mathématiques, t. XV, p. a45, février iSaS.)

(T Dans le VII* volume des Annales (p. 18), M. Dupin a donné un procédé assez » simple pour obtenir le cercle osculateur d*une courbe à double courbure dont on i> a les projections orthogonales sur deux plans quelconques. Ce procédé consiste » proprement à rechercher deux sections coniques osculatrices des projections )> qui soient telles, que les cylindres projetants qui leur répondent s'entrecoupent, » dans l'espace, suivant une autre osculatrice plane. La méthode donnée par M. Ha- D chette» dans le Bulletin de la Société Philomathique (année 1816, p. 88), semble » beaucoup plus compliquée, puisqu'elle est fondée sur l'emploi des surfaces gau- D ches. On sait d'ailleurs qu'elle a pour principe le beau théorème dû à Meusnier » sur les rayons de courbure des sections obliques.

En combinant ce théorème avec celui de M. Dupin, sur l'indicatrice de la j) courbure des surfaces (*), nous sommes parvenu à une troisième solution du D problème qui nous parait nouvelle, et qui, si nous ne nous trompons, sera jugée » beaucoup plus simple encore que les deux que nous venons de rappeler. Voici D en quoi elle consiste.

)> On sait que l'indicatrice de la courbure, pour l'un des points d'une surface » cylindrique quelconque, se réduit à deux droites parallèles aux génératrices, D situées dans le plan tangent en ce point et symétriquement placées par rapport j» à celle de ces génératrices qui passe par ce même point, qui d'ailleurs doit être » considéré comme centre de ces deux droites. On sait aussi que toute section D normale aux génératrices d'un cylindre est nécessairement une section de o moindre courbure; de sorte que, pour le point dont il s'agit, la génératrice et sa B perpendiculaire dans le plan tangent sont les directions de plus grande et de moindre courbure de la surface cylindrique. On sait enQn que les rayons de » courbure des diverses sections normales, en un même point, sont proportionnels » aux carrés des diamètres correspondants de l'indicatrice relative à ce point; » lesquels diamètres sont ici des droites terminées aux deux parallèles dont il vient j> d'être question ci*dessus, et passant par le point dont il s'agit.

B II résulte de là que si, pour un quelconque des points de la surface d'un cy* D lindre, on connaissait le rayon de courbure de la section normale aux généraj> trices, on obtiendrait, par une construction très-simple, le rayon de courbure n d'une autre section normale quelconque, passant par le même point, et dont la j» direction serait donnée par une droite tracée dans le plan tangent en ce point;

(*) Voyez Annales y t. IX, p. 176 et 179.

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 3a3

X» car il serait une quatrième proportionnelle au rayon donné et aux carrée des D droites ou diamètres qui correspondent respectivement aux deux rayons dans x> l'indicatrice.

D Cela posé, ayant une courbe à double courbure quelconque, donnée dans Tes- » pace par ses projections orthogonales sur deux plans, on aura, par là même» D deux cylindres renfermant à la fois cette courbe et dont les rayons de moindre j» courbure, en chaque point, seront égaux et parallèles aux rayons de courbure » des points correspondants de leurs bases respectives, c'est-à-dire des deux pro- B jections de la courbe à double courbure dont il s'agit , rayons qui sont censés D connus dans le problème proposé {*); donc, pour l'un quelconque des points de j» l'intersection des cylindres projetants, on aura à la fois les rayons de courbure des » deux sections normcdes faites suivant la tangente commune en ce point.

y> Or, de là on déduira aisément le rayon de courbure de la courbe même d'inter- D section, ainsi que le plan osculateur de cette courbe au point donné, attendu x> que le cercle osculateur correspondant doit être commun aux sections obliques D faites par ce plan dans les deux cylindres proposés. En effet, il résulte du I» théorème de Meusnier que le plan osculateur dont il s'agit sera perpendiculaire D à la droite qui joint les centres de courbure des deux sections normales respec- B tives faites suivant la tangente commune aux deux cylindres qui répond au point D donné sur leur courbe d'intersection, et de plus coupera cette même droite des z> centres de courbure en un point qui sera le centre osculateur demandé.

2> Ainsi, la solution du problème que nous nous sommes proposé se réduit pro- » promeut à ce qui suit : i* déterminer, pour le point donné sur la courbe, les D rayons de courbure de ses projections orthogonales sur deux plans quelconques; D 2"* à l'aide de ces rayons, qui sont respectivement égaux et parallèles aux rayons B de moindre courbure des cylindres projetants, relatifs au point donné, déter- » miner les rayons ou centres de courbure des sections normale^ qui correspon- » dent, dans les deux cylindres, à la tangente en ce même point ; 3^ enfln, joindre 2> les centres dont il s'agit par une droite, et conduire par la tangente un plan qui » soit perpendiculaire à cette droite, et qui la coupera au centre de courbure j B demandé.

I D On déduit facilement de cette construction une expression très-simple du

D rayon de courbure d'une courbe, soit plane, soit à double courbure, située d'une » manière quelconque dans l'espace, en fonction des rayons de courbure des D points correspondants des projections orthogonales de cette courbe sur deux » plan» arbitraires.

» Soient, en effet, R et R' les rayons de courbure des deux projections, pour les » points de ces projections qui répondent à celui de la courbe duquel on cherche x> le rayon de courbure. Soient, en outre, a et a' les angles que forme la tangente » en ce point avec ses projections respectives sur les deux plans. Soient enfln r et » r' les rayons de courbure des sections normales des deux cylindres projetants,

(*) Sur la détermination de ces rayons, voyez Annales, t. XI, p. 36 1, et t. Xn, p. i35 et 137.

3a4 PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» faites suivant cette tangente ; on aura, d'après les propriétés de l'indicatrice rap*

» pelées ci-dessus,

cos^a cos'a'

» Cela posé, si Ton nomme d la distance entre les centres de courbure des sec-

» tions normales qui ont r et r' pour rayons de courbure, N l'angle formé par ces

» rayons ou les normales au point donné de l'intersection commune des deux

» cylindres, enfin a et a' les angles compris entre les directions de ces normales

» respectives et le rayon de courbure cherché; en représentant ce dernier par p,

» on aura également, par ce qui précède, dans les triangles formés par ces diverses

» droites,

cj2=/.'-Hr'' — 2rr' cosN,

p= rcosa, p = r' cosa',

pc?=:rr' sinN; » d'où Ton tirera

r — r'cosN Rcos^rt' — Rcos'«cosN

tanga— ,,, ^j^^^ — R'cos^a'sinN '

, r' — rcosN R'cos'a — Rcos'a' cosN

^"^^"" rsinN "" Rcos^asinN '

» et par suite,

RR' sin N

^ R' cos* a' -+- R'' cos^ a — 2 RR' cos' a cos' a' cos N

» 11 serait facile, au surplus, d'arriver directement à ce résultat par la théorie » ordinaire des coordonnées dans l'espace. »