PA.PB.PC.PD.PE.PF ' P'A'.FB'.FC'.FD'.P'E'.FF' A^^B^C^^D^E^^F

B Passant à la polaire réciproque générale de cette figure, et nommant a le pôle

t de la projetante ou du plan projetant du point A, pôle qui se trouve situé sur la » polaire ou le plan polaire de ce point; b le pôle de la projetante ou du plan pro- D jetant de B, et ainsi des autres ; enfin p le pôle deia droite ou du plan qui con- » tient tous les points à l'infini de la figure primitive , on observera : i® que les » points a, b, c,.. .p, sont sur une même droite polaire de Tintersection qui, à Tin- » fini, doit être censée commune à toutes les projetantes ou plans projetants consi- » dérés; 2*» que tous les points A, B, C,. . ., P de la transversale servant d'axe de » projection ont pour polaires des droites ou des pians qui concourent en un » même point ou suivant une même droite quelconque pôle ou polaire de cette » transversale ; d'où l'on conclura, d'après les principes exposés dans les n^ 120 et » suivants ou 131 et suivants de notre Théorie des polaires réciproques, principes » qui ont lieu généralement quand on prend pour directrice des pôles uqe ligne » ou surface quelconque du second ordre, on en conclura, disons-nous, que la rela- » tion ci-dessus aura lieu pareillement, soit entre les sinus des angles formés par D les polaires des extrémités respectives des distances que concerne cette relation, »' soit entre les distances correspondantes interceptées par ces angles sur une trans- » versale arbitraire; ce qui donne, en particulier, pour la transversale rectiligne 2) qui contient les points a, 6, c, . . .,/?, la relation métrique suivante

ab.cd.ef, a'b'.c'd'.e'f a''b\c''d\e''f'

pa.pb.pc.pd.pe.pf pa' .pV .p& .pd' .pe' .pf pa" .pb** .pc" .pd" .pe" .pf^

» conformément à ce qui a été avancé ci-dessus.

]» y Vil. Moyens directs de parvenir aux résultats généralisés de la transforma- » tion parabolique. — En terminant ce sujet, nous ferons remarquer que les B relations du genre de celles qui précèdent peuvent toujours être mises sous » cette forme

\7b'^'fc)\^-^yc)\yf''jer^

9 dans laquelle — 7^ ~Ti^ ~~p^ ^^^*i représentent les valeurs inverses ou réciproques

» des segments pa, pb, pc, etc., mesurés du point p, et qui supposent ce point » placé à gauche et en deçà de tous les autres, les différents groupes de ceux-ci » étant eux-mêmes censés disposés dans l'ordre abcdef, a^b'c'd'e'f\ .. respectio vement. Or, sous cette nouvelle forme, la relation proposée est une conséquence » très-simple de la loi qui lie le pôle et la polaire d'une ligne du second ordre au D centre même de cette ligne, ou le pôle, le plan polaire et les polaires conjuguées » des surfaces de cet ordre au centre même de ces surfaces.

p En effet, il est évident que, dans les suppositions précédentes, le point p n'est o autre chose que le centre de la ligne ou surface directrice des pôles et polaires; que la transversale qui porte les points a, b, c, £/,... n'est elle-même que le » diamètre de cette directrice, conjuguée à la direction des projetantes ou plans » projetants parallèles considérés; qu'enfin, A étant l'intersection de ce diamètre

D avec la projetante ou le plan projetant qui a pour pôle a, B celle de ce même i> diamètre avec la projetante ou le plan projetant qui a b pour pôle» et ainsi de » suite, on aura d'abord

AB.CD.EF4-A'B'.C'D'.FF'-hA"B^C^D^E"F"4- ...=o,

D et ensuite, par les propriétés connues des pôles et polaires,

relations dans lesquelles r désigne la demi-longueur du diamètre dont il s'agit, D et qui, étant combinées avec la précédente, conduisent immédiatement à Téqua- » tlon rapportée plus haut, sans employer aucune considération étrangère à la théorie des pôles et polaires réciproques.

» On remarquera sans doute que les relations de l'espèce dont il s'agit, devien- » nent purement identiques ou se réduisent à la forme = 0, quand le point p est censé à l'infini ; mais en réduisant au même dénominateur les quantités com- D prises entre chaque parenthèse, effectuant la soustraction des lignes du numé- » rateur, et observant que tous les dénominateurs infinis sont égaux comme ne » différant entre eux que de quantités finies, on pourra supprimer tous ces déno- D minateurs comme diviseurs communs aux différents termes, ce qui fera retomber D sur des équations de la forme même de celles d'où nous sommes partis.

» Les équations les plus simples et les plus remarquables parmi toutes celles 2> dont il s'agit appartiennent à la, doctrine du centre des moyennes harmoniques, » et elles se convertissent toutes en d'autres qui se rapportent à la définition ordi- D naire du centre des moyennes distances, quand on suppose Torigine commune p » des segments à l'infini.

D Nous n'insisterons pas sur ce sujet, pour lequel nous renverrons à notre j> Mémoire sur les centres de moyennes harmoniques, déjà cité au commencement » de cette Note. »

MetZ) le ag octobre i83i.

NOTE RELATIVE À UNE RÉCLAMATION DE H. AMYOT ET AUX OBSERVATIONS DE MM. GHASLES