A'^R'' AO

» et ainsi des autres distances.

D Substituant ces valeurs dans la relation proposée, je dis qu'elle aura lieu pour I) toutes les projections centrales de la figure sur un plan arbitraire, projections » dans lesquelles d'ailleurs les points correspondants à 0'', 0^,. . . sont à distances )) données, de sorte que les distances AO', A'O', AO",. . . cessent d'être infinies.

D En effet, chacune des expressions qui multiplient AB dans les équations ci- » dessus se trouve composée des mêmes lettres au numérateur et au dénomîna- D teur; de plus, les distances qui y entrent appartiennent à une même droite; donc » elle est naturellement projective coniquement (II); et, comme le facteur commun » AB disparaît, sans conditions, du résultat de la substitution dont il s'agit, la ré- D duite ne se trouvera plus composée elle-même que de quantités jouissant de » cette propriété; de sorte qu'elle exprimera ainsi une relation beaucoup plusgé- » nérale que la primitive, et qui subsistera dans toutes les projections centrales de la figure.

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. -SSg

9 Cette méthode a, comme on voit, Hnconvénient de substituer de nouvelles i> droites et de nouveaux points à ceux de ia figure; mais on peut l'éviter en ob« o servant qu'on a identiquement, étant toujours le point de concours unique de » notre système de parallèles,

AB = AB, A'B'=A'B'.g|.g^, A"B"= A'^B^ ^ . ^,,...

D et substituant ces expressions à la place de AB, A'B', A^'B'^,. . . dans la relation » proposée.

» En effet, si Ton fait la projection centrale de la figure à partir d'un point quel- » conque S de l'espace, puis qu'on remplace, dans les seconds membres des iden- D tités ci-dessus, les valeurs des distances qui y entrent en fonction des sinus des D angles projetants de ces distances, etc., conformément encore à ce qui a été indique précédemment (II), il est clair que les résultats ne contiendront plus, comme » facteurs ou diviseurs, que les sinus dont il s'agit et le quotient du produit des D projetantes SA, SB par la perpendiculaire abaissée de S sur AB. Ce quotient dis- » paraîtra donc comme multiplicateur commun à tous les termes de la transformée D qu'on obtient en substituant les valeurs générales ci-dessus de AB, A'B', A'^B'^. . • }> dans la relation primitive, et la réduite sera ainsi purement fonction des sinus des » angles projetants des différentes distances qui entrent dans cette transformée; » ce qui est le caractère des relations projectives qui nous occupent.

D Les mêmes choses s'aperçoivent plus directement encore en observant que, si ï> l'on réduit au même dénominateur tous les termes de la transformée dont il D s'agit, ces termes se trouveront composés des mêmes lettres et de facteurs D linéaires appartenant aux mêmes droites, chacun à chacun*

D En insistant sur ces transformations, notre objet est d'en bien faire saisir Tes- » prit et d'en montrer la variété. Mais, attendu cette variété même et l'arbitraire }) qui règne dans le choix des moyens auxiliaires à employer pour chaque cas, il D est clair qu'on sera conduit, par nos procédés, à un grand nombre de propriétés » ou de relations générales et nouvelles des figures, parmi lesquelles il conviendra » surtout de choisir celles qui offrent le plus de symétrie, d'élégance ou de simpli- » cité; ce qui exigera qu'on mette à proAt, avec adresse, la disposition particulière » des points et des lignes de la figure primitive.

B Ainsi, par exemple, dans la dernière des transformations générales qui viennent D de nous occuper, si deux systèmes différents de distances parallèles entrent dans r> la relation primitive et se trouvent avoir des extrémités communes, il conviendra » évidemment de faire passer de préférence, par ces extrémités, les droites auxî- » liaires AA', AA'% etc.; car, par là, on diminuera nécessairement le nombre de ces D droites et des facteurs infinis qui s'y rapportent, facteurs qui pourront même » disparaître totalement dans certains cas de la relation définitive, ce qui la réduira » à un degré de simplicité plus grand encore.

» V. Transformation des relations descriptives et des relations métriques entre D les aires. — En opérant les diverses transformations qui précèdent, on devra se

34o PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

» servir, pour ce qui concerne la traduction des relations purement descriptives de » la figure proposée, des principes qui se trouvent exposés, tant dans la Section I » que dans le Supplément du Traité des Propriétés projectiles (t. I") : notamment » on devra se ressouvenir que, dans le passage de cette figure à la figure générale » qui en est la projection conique, soit linéaire, soit plane, soit en relief, tous les » points à l'infini de la première se trouvent remplacés dans celle-ci par d'autres » points à distance donnée, situés sur une même droite si les proposés sont coms> pris dans un même plan, ou sur un plan unique s'ils sont arbitrairement distri- » bues dans l'espace.

» Quant au cas où la relation primitive contiendrait, comme facteurs de ses dif- » férents termes, des aires planes quelconques, il nous suffira de montrer d'une » manière générale comment on peut leur appliquer des transformations analo- » gués à celles qui viennent de nous occuper relativement aux simples facteurs D linéaires.

» D'abord je remarque que si, parmi ces facteurs superficiels, il en est qui ap- » partiennent à des quadrilatères, à des pentagones, etc., on pourra toujours les » remplacer par les sommes d'aires triangulaires dans lesquelles ils sont décom- D posables, ce qui, en effectuant les produits, ramènera l'équation à une autre qui D ne contiendra comme facteurs que de simples aires triangulaires, et qui n'en D sera pas moins soumise aux mêmes conditions (I) quant à sa forme générale; en » sorte, par exemple, qu'à chacun des facteurs superficiels ABC de Tun quelconque » de ses termes, il devra en correspondre d'autres A'B'C, A'^B^C', etc., dans les j> termes restants qui appartiennent à des plans parallèles. Cela posé, voici en par- » ticulier comment on pourra transformer cette relation, qui est déjà projective » orthogonalement, en une autre qui le soit coniquement.

» D*un point quelconque situé à l'infini dans l'espace, on projettera les triangles » A'B'C, A^B'^C,... sur le plan du triangle ABC; il en résultera de nouveaux n triangles clb*c\ d^Vc", . . . dont les aires pourront être substituées à celles des » premiers dans l'équation proposée, puisqu'elles leur seront respectivement » égales. Maintenant, ayant tracé les droites Aa', B6', Ce', Aa", Bft", Ce', etc., et » nommant p', q' et r',/)", g" et r", etc., les points situés à Tinfini sur ces droites respectives, on aura identiquement, dans ces suppositions particulières,

abc^abc.^^r^--^,, a b c ^a b c .^ __-,,,... ,

» substituant ces expressions dans l'équation proposée, elle se changera en une » autre qui aura lieu de la même manière, pour toutes les projections centrales de » la figure sur un plan quelconque, ou pour ses projections en relief; car on s'as- » sure aisément qu'elle satisfait aux conditions spécialement énoncées dans le n" 45 » du Traité des Propriétés projectiles des figures.

D Pour compléter l'objet des considérations qui précèdent, il nous resterait à exposer .une suite d'exemples propres à familiariser le lecteur avec l'emploi de » la méthode, et à en démontrer la bonté et l'importance ; mais ces détails nous » entrattieraient beaucoup trop loin, et seront facilement suppléés par quiconque

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. 34i

D est déjà initié aux doctrines de la Géométrie que nous cherchons à faire prévaloir j> dans nos écrits. C'est pourquoi, satisfait d'avoir mis chacun sur la voie de dé- D couvertes nouvelles^ nous nous contenterons de tirer quelques conséquences D générales des considérations qui viennent de nous occuper.

» VI. Transformation polaire des relations précédentes, et spécialement de leur D transformation parabolique. — Remarquons d'abord que, puisque toute relation » métrique projective orthogonalemeni, peut être transformée de différentes ma- D nières en une autre qui le soit coniquement, et qui satisfasse notamment aux » conditions indiquées à Tart. II ci-dessus, ces mêmes relations pourront aussi être » converties immédiatement et de plusieurs manières, en d'autres entièrement. » distinctes et jouissant du même caractère, au moyen des principes de la théorie » des polaires réciproques qui se trouvent exposés dans les n^ 120 et suivants de » notre Mémoire sur celte théorie. Or, ces dernières relations conduiront, à leur » tour et comme simples corollaires, à une infinité de relations ou de propriétés D particulières relatives au cas où certains points, certaines droites, certains plans » de la figure s'éloignent entièrement à l'infini, et parmi lesquelles se trouvent » comprises toutes les relations ou propriétés qui ont été examinées par M. Chasles, » dans ses deux Mémoires^ déjà cités, sur la transformation parabolique des rela* » tions métriques des figures.

D Pour le prouver, nous considérerons avec ce géomètre, dans l'espace ou sur un » plan, une figure entre les distances de laquelle il y ait une certaine relation mé- » trique telle, qu'en abaissant, des différentes extrémités de ces distances, des plans » perpendiculaires à un axe fixe donné, et par conséquent parallèles entre eux, la )) même relation ait lieu entre les distances qui, sur cet axe, peuvent être censées » la projection orthogonale des premières; il est clair qu'on pourra faire subira D cette relation les diverses transformations indiquéjes dans ce qui précède, et en » vertu desquelles elle devient applicable désormais aux projections coniques les » plus générales de la figure proposée. Passant ensuite, au moyen âes principes de » la théorie des polaires réciproques, à la figure inverse de ces projections, dans » lesquelles les points à l'infini de la figure primitive sont remplacés (V) par des » points, à distance donnée, situés sur une même droite ou sur un même plan, on j> conclura en particulier, des théorèmes exposés aux n^ 122 et 138 du Mémoire B qui contient cette théorie, que les relations ainsi généralisées ou transformées » ont lieu sans changements quelconques, dans cette dernière figure, quand aux » différentes distances qui entrent dans lesdites relations on substitue les seg- » ments formés, sur une droite ou axe arbitraire, par les intersections de ce même «> axe avec les polaires ou plans polaires des extrémités respectives de ces diffé- » rentes distances.

D Maintenant on remarquera que les différents points situés à l'infini dans la » figure primitive sont ici remplacés par des droites ou des plans polaires conver- » géant en un point unique, qui lui-même remplace le lieu de tous les premiers 2) points, et représente le pôle de ce lieu dans la nouvelle figure réciproque de la » proposée. Supposant donc que l'axe transversal dont il a été question ci-dessus

]> soit conduit en particulier, par ce même pôle, dont la position peut d'ailleurs être » censée quelconque puisqu'elle ne dépend que de celle de la directrice des po- » laireSy il arrivera que les distances auxiliaires, introduites dans la relation pro- » posée pour la rendre projective coniquement, et qui sont infinies sur la figure » primitive (II et suiv.), il arrivera, dis-je, que ces distances seront représentées, D dans la figure réciproque, par d'autres qui auront pour origine commune le point » de concours ou pôle dont il vient d'être parlé. Supposant en outre que ce pôle, » au lieu d'être pris d'une manière quelconque sur l'axe transversal, y soit censé à » l'infini, de sorte que les droites et plans polaires correspondants deviennent tous 2> parallèles à l'axe, il est évident que les distances, comptées de ce même point, » deviendront infinies dans la nouvelle figure comme celles qui leur sont corréla- » tives dans la première; donc elles devront être censées égales entre elles (II), et x> elles disparaîtront comme facteurs communs aux différents termes de la relation » générale à laquelle elles se rapportent; donc enfin celte relation se réduira pré- D Gisement à la forme particulière de celle d'où l'on est parti; corollaire qui » constitue précisément l'objet des transformations paraboliques de M. Chasies, et » qu'on peut énoncer ainsi :

a S'il existe entre les distances d'une figure quelconque, située dans un plan ou » dans V espace, une relation métrique telle, quelle subsiste dans toutes les pro~ » jections orthogonales de cette figure sur une droite arbitraire, la même relation » aura lieu aussi, dans sa polaire réciproque prise par rapport à une parabole ou à » un paraboloXde quelconque, entre les distances formées, sur Vaxe de cette para- » bole ou de ce paraboloXde, par ses intersections avec les polaires ou plans po- » laires des extrémités respectives des distances qui appartiennent à la première » relation. »

j> En effet, dans la parabole ou le paraboloYde, toutes les polaires et plans po- » laires des points à l'infini de l'espace sont autant de diamètres ou plans diamé- D traux parallèles à l'axe principal. Mais ce qui précède montre que la même D relation a lieu aussi pour les intersections relatives à des diamètres quelconques » pris pour axes transversaux, et conduit d'ailleurs à des modes de transformations i> dont la transformation parabolique n'est, comme on va le voir, qu'un cas très- » particulier.

» VII. Généralisation des résultats particuliers à la transformation polaire » parabolique. — Supposons, entre autres, que la relation qui concerne la figure » primitive soit, de sa nature, tellement générale qu'elle subsiste, sans conditions » quelconques, pour toutes les projections coniques ou centrales de la figure; il est » clair qu'il en sera de même de celle qui se rapporte à la figure polaire, dont la D directrice pourra aussi être une courbe ou surface auxiliaire quelconque du » second degré, conformément aux principes des n*** 122 et 128 de notre Mémoire » sur la théorie de la réciprocité; la transversale de cette dernière figure pourra D donc être quelconque, et non plus simplement parallèle à une direction donnée. x> Si, au contraire, la relation appartenant à la figure primitive ne subsiste que dans » les projections orthogonales de cette figure, la même restriction aura évidem-

» ment Heu à l'égard de celle qui appartient à la dérivée parabolique de cette » dernière figure, de sorte qu'on devra la considérer comme un cas particulier » d'une autre plus générale, et à laquelle on remontera facilement au moyen des D considérations exposées dans le n? II de cette Note. » Par exemple, la relation primitive étant généralement de la forme

AB.CD.EF + A'B'.C'D'.FF-hA"B".C'^D".E''F"+.... = o,

]> si Ton passe à la réciproque polaire parabolique, dans laquelle a, b, c, d, e, f; » aff l/f c', d\ e^,f';a'\ b'\ c" , d" , e',f\ etc., sont les intersections respectives B des polaires de A, de B, de G, ... ; de A', B', C, ... ; de k!\ B", C, -. . , etc., avec » Taxe ou un diamètre quelconque de la directrice, on aura également

B relation qui n'est qu'un cas particulier de celle qu'on obtiendrait en prenant les B pôles et polaires par rapport à une directrice quelconque du second ordre.

B En effet, nommant p le point qui a pour polaire la droite ou le plan qui con* B tient tous les points à l'infini de la figure primitive, et remplaçant le diamètre B ci-dessus par une transversale quelconque passant par p, on aura généralement, B selon nos principes de transformation (II),

ab.cd.ef a'V. c'd'.éf a\ h\c'\d\ e\r

pa.pb.pc.pd.pe.pf paf.pb' .pc',pd\pe\pf pc^'.pb'\p&\pd".pef'.pf^' '" '

B relation qui est projective coniquemenl, de sorte qu'elle a lieu, soit entre les B sinus des angles projetants des distances qui y entrent, considérés par rapport à B un point arbitraire de l'espace, soit entre les sinus des arcs de grands cercles qui B leur correspondent sur une sphère quelconque dont le centre serait pris pour B centre de projection de la figure proposée.

B Pour démontrer généralement et directement cette relation qui, d'après l'ob- B servatîon déjà faite plus haut, n'est elle-même qu'un cas particulier de relations B beaucoup plus générales encore, bien qu'elle comprenne implicitement toutes B celles de la transformation parabolique, il n'y a qu'à supposer qu'on projette, par B des droites ou des plans parallèles quelconques, les points A, B, C,. . . de la figure B primitive, sur une transversale entièrement arbitraire; on aura, par hypothèse (I) B et en désignant par les mêmes lettres les points de la projection qui côrrespon* » dent aux premiers, l'équation

AB.CD.EF. -HA'B'.C'D'.E'F.4-A''B^C"D^E''F'-i- ... =0,

ou identiquement, en nommant P le point situé à l'infini sur la transversale,