EXTRAITS DE DHERS ÉCRITS DE M. GERGOKNE SUR LA DUAXITÉ, ETC

Les passages du Bulletin (les Sciences que je viens de transcrire textuellement, et où M. (jergonne lui-même rend compte des Annales dont il était le rédacteur sonvent peu scrupuleux, à son profit et à celui de quelques collaborateurs ; ces passages, surtout ceux <^i concernent la réciprocité jjolaire, sont, quant aux dates et- aux assertions, arrangés avec un tel art, qu^il deviendrait bien difiicile de distinguer la vérité du mensonge; à moins de les confronter page pour page avec les articles correspondants des Annales de Mathématiques y où M. Gergonne expose ses idées et sa défense relatives à la dualité de situation. C'est pourquoi je crois devoir aussi rapporter textuellement les passages de ces articles qui peuvent intéresser la discussion, et qui ont enhardi les collaborateurs dont il vient d'être parlé à explorer un champ de vérités géométriques dont, avant les spirituelles divulgations et amplifications de M. Gergonne en 1827, ils n'avaient guère pressenti la fécondité et la richesse; vérités auxquelles, je l'avoue sincèrement, je n'avais pas moi-mémer dans mes écrits de 1817 et 1818, 1820 et 1822, donné les développements indispensables pour en faire saisir la portée philosophique aux esprits vulgaires ou inattentifs.

Considérations philosophiques sur les éléments de la science de l'étendue, par M. Gergonne, avec cette épigraphe : Tantum séries juncturaque pollet (Horace). (Annales^ t. XVI, p. 209, numéro de janvier 1826.)

cf Les diverses théories dont se compose le domaine de la science de l'étendue peuvent être rangées en deux classes très-distinctes. Il est, en effet, certaines de ces théories qui dépendent essentiellement des relations métriques qui se trouvent exister entre les diverses portions d'étendue que l'on compare, et qui conséquemment ne sauraient être établies qu'à l'aide des principes du calcul. D'autres, au contraire, sont tout à fait indépendantes de ces mêmes relations, et résultent uniquement de la situation que se trouvent avoir les uns par rapport aux autres les êtres géométriques sur lesquels on raisonne ; et bien que très-souvent on les déduise des proportions et du calcul, on peut toujours, en s'y prenant d'une manière con-

(*) L'irascible rédacteur des A/males de Montpellier a jugé fort prudent de supprimer entièrement ce Mémoire, comme il l'avait fait précédemment du dernier chapitre de celui de notre illustre Sturm; procédé tout au moins peu délicat, dont M. Plucker se plaint dans un ouvrage allemand de 1828, qui sera mentionné dans l'art, m du paragraphe ci-après. — (Note de i865. )

venabie, les en dégager complètement. Mais il peut quelquefois devenir nécessaire pour cela de passer tour à tour de la Géométrie plane à celle de l'espace et de celle^i à la première, comme Monge et les géomètres àe son école l'ont si souvent pratiqué, et avec tant de succès.

» U est donc raisonnablement permis de se demander, d'après cela, si notre manière de diviser la Géométrie en Géométrie plane et Géométrie de l'espace est aussi naturelle et aussi exactement conforme à l'essence des choses que vingt siècles d'habitude ont pu nous le persuader. Toujours du moins demeure-t-il vrai qu'en y renonçant on parviendrait, en ne recourant, pour ainsi dire, qu'à la simple intuition, à pousser assez avant dans la Géométrie des commençants que l'étude du calcul, présentée dès l'entrée, ne rebute que trop souVent, et qui peut-être s'y livreraient plus tard avec beaucoup moins de répugnance, lorsque leur intelligence se serait agrandie et fortifiée par l'étude d'une série plus ou moins prolongée de propriétés de l'étendue^

i> Mais un caractère extrêmement frappant de cette partie de la Géométrie qui ne dépend aucunement des relations métriques entre les parties des figures, c'est qu'à l'exception de quelques théorèmes symétriques d'eux-mêmes, tels, par exemple, que le théorème d'Euler sur les polyèdres, et son analogue sur les polygones, tous les théorèmes y sont doubles ; c'est-à-dire que dans la Géométrie plane, à chaque théorème il en répond toujours nécessairement un autre qui s'en déduit en y échangeant simplement entre eux les deux mois points et droites; tandis que, dans la Géométrie de Tespace, ce sont les mots points et plans qu'il faut échanger entre eux pour passer d'un théorème à son corrélatif.

D Parmi un grand nombre d'exemples que nous pourrions puiser, dans le présent Recueil, de cette sorte de dualité des théorèmes qui constituent la Géométrie de situation, nous nous bornerons à indiquer, comme les plus remarquables, les deux élégants théorèmes de M. Coriolis, démontrés d'abord à la page 826 du XI* volume, puis à la page 69 du XIP,et l'article que nous avons nousmême publié à la page 167 du précédent volume, sur les lois générales qui régissent les polyèdres. C'est, au surplus, une suite inévitable des propriétés des pôles, polaires, plans polaires et polaires conjuguées des lignes et surfaces du second ordre, qui jouent ici un rôle assez analogue à celui que joue le triangle supplémentaire dans la Trigonométrie sphérique, où, comme il a été montré dans tout le cours de l'intéressant Mémoire de M. Sorlin (t. XV, p. 273), les théorèmes peuvent également être répartis en deux séries parallèles, de manière à se correspondre deux à deux avec la plus grande exactitude.

Toutefois, quelque digne de remarque que puisse être un fait géométrique de cette importance, et quelque ressource qu'il puisse offrir, dans un grand nombre de cas, pour faire deviner en quelque sorte de nouveaux théorèmes, à peine a-t-il été entrevu, même par les géomètres qui, dans ces derniers temps, se sont le plus spécialement occupés de la recherche des propriétés de retendue ; tant est peu philosophique encore, même de nos jours, la manière d'étudier les sciences.

» Voilà ce qui nous détermine à faire de cette sorte de Géométrie en parties doubles, s'il est periliis de s'exprimer ainsi, le sujet d'un écrit spécial dans lequel,

après avoir rendu manifeste le fait philosophique dont il s'agit daiis Texpôsé même des premières notions, nous nous en appuierons, soit pour démontrer quelques théorèmes nouveaux, soit pour donner de quelques théorèmes déjà connus des démonstrations nouvelles, qui les rendent à l'avenir tout à fait indépendants des relations métriques desquelles on a été jusqu'ici dans l'usage de les déduire.

» Nous pourrions fort bien nous borner à démontrer seulement une moitié de nos théorèmes, et à en déduire l'autre moitié, à l'aide de la théorie des pôles. Maïs nous préférons les démontrer directement les uns et les autres, tant pour ne pas sortir des premiers éléments et rendre ce qu'on va lire accessible à ceux-là même qui ne connaissent pas les Éléments d'Euclidey que pour avoir l'occasion de faire remarquer qu'il existe entre les démonstrations de deux théorèmes d'une même couple la même correspondance qu'entre leurs énoncés. Nous aurons même soin, afin de rendre cette correspondance plus apparente, de présenter les théorèmes analogues dans deux colonnes, en regard l'une de l'autre» comme nous en avons déjà usé dans l'article sur les polyèdres rappelé plus haut ; de telle sorte que les démonstrations puissent se servir réciproquement de contrôle.

» Nous croyons superflu d'accompagner ce Mémoire de figures, souvent plus embarrassantes qu'utiles, dans la Géométrie de l'espace ; figures que nous ne pourrions d'ailleurs offrir que sous un aspect unique et individuel au lecteur qui pourra, au contraire, les construire et façonner à son gré, si toutefois il en juge le secours nécessaire. Il ne s'agit ici, en effet, que de déductions logiques, toujours faciles à cuivre lorsque les notations sont choisies d'une manière convenable. »

iVb/fl. — J'ai supprimé ici les §§ I, Il et III du Mémoire do M. Gergonne, où, pour la première fois, les énoncés de diverses propositions géométriques déjà connues et purement élémentaires apparaissent sous l'aspect de doubles colonnes verticales; ces énoncés, mis en regard les uns des autres, étant interrompus seulement par quelques remarques, dont la plus importante (p. 23o et 23 1] est ainsi conçue :

« Quelques personnes trouveront peut-être que ce qui précède manque de développement; mais nous les prierons de remarquer que nous n'écrivons pas pour les commençants, et qu'il nous a dû sembler préférable de multiplier les points do comparaison que d'entrer sur quelques-uns d'entre eux dans de minutieux détails que tout lecteur tant soit peu versé dans la Géométrie pourra facilement suppléer. Nous croyons en avoir dit suffisamment pour mettre hors de contestation ces deux points de philosophie mathématique, savoir : i® qu'il est une partie assez notable de la Géométrie dans laquelle les théorèmes se correspondent exactement deux à deux, ainsi que les raisonnements qu'il faut faire pour les établir, et cela en vertu de la nature même de l'étendue; %"* que cette partie de la Géométrie, qui prendrait une très-grande étendue si l'on voulait y comprendre les lignes et les surfaces courbes, peut être complètement développée indépendamment du calcul et de la connaissance d'aucune des propriétés métriques des grandeurs que l'on considère. » Il nous a paru qu'un point de doctrine d'une importance aussi majeure^ dont nous avons été frappé pour la première fois il y a plus de dix anB et que l'esprit de détail avait dérobé jusqu'ici à la vue des géomètres, ne devait pas demeurer plus longtemps sans être mis en pleine évidence. Nous craignons bien toutefois que ce que nous venons d'écrire passe sans être aperçu, ou que du moins, d'après un examen superficiel, beaucoup n'y voient qu'un de ces rapprochements forcés qui n'ont de consistance que dans l'esprit de ceux qui les imaginent. »

Du reste rien, si ce n'est l'épithète de relation métrique, ne témoigne que M. Gergonne se soit inspiré de la lecture de mes propres écrits (1817, 1818, 1823, etc.).

Recherches sur quelques lois générales qui régissent les lignes et les suffaces algébriques de tous les ordres, par M. Gergonne, avec une épigraphe tirée des Leçons de Laplace à l'École Normale [Annales, l. XVII, p. 214, novembre i8a6).-

a Nous observions, il n'y a pas longtemps (*), qu'au point où les sciences mathématiques sont aujourd'hui parvenues, et encombrés comme nous le sommes de théorèmes, dont la mémoire la plus intrépide ne saurait même se flatter de conserver les énoncés, on servait moins utilement la science en cherchant des vérités nouvelles qu'en s'efforçant de ramener à un petit nombre de chefs principaux les vérités déjà découvertes. Une science d'ailleurs se recommande peut-être moins encore par la multitude des propositions dont se compose son domaine que, par la manière dont ces proposition^ sont liées et enchatnées les unes aux autres. Or, il est dans chaque science certains points de vue élevés où il suffit de se placer pour embrasser d'un même coup d'œil un grand nombre de vérités que, dans une position moins favorable, on aurait pu croire indépendantes les unes des autres, et que l'on reconnaît dès lors dériver toutes d'un principe commun, souvent même incomparablement plus facile à établir que les vérités particulières dont il est l'expression abrégée.

i> C'est dans la vue de confirmer ces considérations par quelques exemples assez remarquables que nous nous proposons ici d'établir, sur les points communs et tangentes communes aux courbes planes, situées dans un même plan, sur les lignes communes et points communs aux surfaces courbes, sur les surfaces développables qui leur sont circonscrites et sur leurs plans tangents communs, un petit nombre de théorèmes généraux, offrant une infinité de corollaires, parmi lesquels nous ïious bornerons à signaler les plus simples ou les plus dignes de remarque. Plusieurs de ces corollaires sont connus depuis longtemps ; mais nous ne pensons pas qu'on en rencontre autre part des démonstrations aussi simples et aussi brièves, et qui exigent aussi peu de contention d'esprit, que celles qu'on trouvera ici des théorèmes généraux qui les renferment tous.

Comme il ne s'agira aucunement ici des relations métriques, tous nos théorèmes seront doubles. Pour en faire mieux saisir la correspondance, nous placerons dans deux colonnes, en regard les uns des autres, les théorèmes qui devront se correspondre, ainsi que nous l'avons déjà pratiqué plusieurs fois. »

Nota. — Ce qui suit, divisé en deux sections relatives aux courbes planes et aux surfaces courbes, contient, sans contredit, sous forme de doubles colonnes, la partie la plus originale des recherches géométriques de M. Gergonne, bien qu^elle soit une déduction fort simple de la méthode des multiplicateurs indéterminés de M. Lamé (Annales, t. VII, p. aag, septembre 1817). Dans la première section, l'auteur se sert, pour la première fois, des notions relatives aux polaires réciproques, aux intersections réelles^ idéales (imaginaires) à distance finie ou infinie, établies dans le tome I'*" du Traité des Propriétés projectiles; mais la rigueur des propositions réciproques n'est pas justifiée directement , ce qui semble prouver que M. Gergonne en s'appuyant, sans en faire Taveu explicite, sur les doctrines de ce Traité que, en sa qualité d'algébriste, il avait tout d'abord condamné à l'exemple de (^uchy, se trouve ici obligé d'admettre le résultat de ces

(*) a Foye:i la page 3i4 du précédent volume des Annales de Mathématiques, >

3go PROPRIÉTÉS PROIEGTIVES DES FIGURES.

doctrines avec la généralité d'application que Sturm, esprit sincère et rigoureux, venait de lui accorder dans nn Mémoire stir les lignes du second ordre que suit immédiatement celui de M. Gergonne, et où mon illustre confrère s'exprime ainsi (Jnnales, p. 197 à 198) :

«c Ce qui précède renferme les principes de la théorie des pôles et polaires réciproques, dont nous ferons souvent usage dans la suite de (!es recherches. M. Poncelet, à qui est due cette extension importante de la théorie des pôles, a montré dans son grand Traité, et dans un article du tome Vni des Annales de Mathématiques (p. 201 ), comment on peut y parvenir directement, sans recourir aux propriétés des hexagones inscrit et circonscrit. II a fait voir, par des applications très-variées, toute l'utilité de cette nouvelle théorie, dont il a enrichi la Géométrie. En général, il résulte de cette théorie qu'il n'existe aucune relation descriptive d'une figure donnée sur un plan qui n'ait sa correspondante dans une autre figure ; en sorte que toute propriété appartenant à une figure composée de points et de lignes, soit droites soit courbes, et tracée sur le plan d'une ligne arbitraire du second ordre prise pour directrice, entraine nécessairement l'existence d'une certaine propriété corrélative de la figure qu'on peut concevoir comme polaire réciproque de la proposée. Par exemple, à chaque propriété des polygones inscrits aux lignes du second ordre doit correspondre une propriété analogue des polygones circonscrits de même espèce, et réciproquement. C'est ce qu'on peut vérifier au sujet des quadrilatères et hexagones inscrits et circonscrits, dont il a été question précédemment.

A Pour le présent, nous nous proposons, à l'aide de cette théorie et en partant du théorème général que nous avons établi sur les lignes du second ordre qui ont quatre points communs, lequel est exprimé par les formulée (f ] du § YI, de démontrer un théorème analogue à celui-là, relatif à des lignes du même ordre qui ont quatre tangentes communes. Cette application fera le sujet du paragraphe suivant, »

Nota, » Ce paragraphe n'a point paru dans les Annales,

Réflexion de M. Gergonne sur l'analyse d'un Mémoire présenté à VÀcadémie royale des Sciences par M. Poncelet, extraite d'une Lettre adressée au rédacteur des Annales (t. XVII, p. 265 à 272, mars 1827),

a Les esprits superficiels, ceux qui n'étudient les sciences que comme on apprend un métier et qui n'en comptent pour rien la philosophie, pourront ne voir dans le beau* travail de M. Poncelet que quelques théorèmes nouveaux ajoutés à ceux dont nous sommes déjà en possession, et une manière nouvelle de démontrer des théorèmes déjà connus. Peut-être même des gens incapables de rien inventer eux-mêmes viendront-ils oous prouver avec une sorte de triomphe que quelquesuns des théorèmes donnés pour nouveaux par l'auteur sont implicitement compris dans d'autres théorèmes déjà démontrés, il y a tant ou tant de siècles, par quelque géomètre grec ou latin bien ignoré.

» Mais il s'agit ici, suivant nous, de bien autre chose ; il ne s'agit pas moins que de commencer pour la Géométrie, mal connue depuis près de deux mille ans qu'on s'en occupe, une ère tout à fait nouvelle ; il s'agit d'en mettre tous les anciens traités à peu près au rebut, de leur substituer des traités d'une forme tout à fait différente, des traités vraiment philosophiques qui nous montrent enfin cette étendue, réceptacle universel de tout ce qui existe, sous sa véritable physionomie, que la mauvaise méthode d'enseignement adoptée jusqu'à ce jour ne nous avait pas permis de remarquer ; il s'agit, en un mot, d'opérer dans la science une révolution aussi impérieusement nécessaire qu'elle <i été jusqu'ici peu prévue.

SECTION SUPPLÉHENTAIREi Sgi

» Ce n'est précisément pas parce que la nouvelle doctrine promet une moisson plus abondante de théorèmes qu'elle mérite toute notre attention. Qu'importent, en effet, quelques théorèmes de plus qui demeureront peut-être éternellement sans applications ? Qu'importe, par exemple, que quelques-unes des solutions données récemment par M. le D' Plucker ( p. 3? ) soient déjà connues et soient même moins générales et moins complètes que celles que d'autres géomètres ont pu donner des mêmes problèmes, comme la remarque nous en a déjè été faite plusieurs fois? La théorie des polaires réciproques aurait même fort bien pu épargner a l'auteur la moitié de ses démonstrations, comme elle nous les a épargnées à nous^mème dans notre Mémoire sur les loiê généralei qui régissent les surfaces courbes (pi. 2i4); mais ici le fond est de peu d'importance et la forme esta peu près tout ; et ce qui recommande principalement le petit Mémoire de M. Plucker» c'est qu'il nous montre les deux Géométries marchant constamment de front, sans qu'aucune d'elles ait rien k emprunter à l'autre. C'est là aussi ce que nous avons eU principalement en vue, soit dans notre essai sur les lois générales qui régissent les polyèdres (t. XV, p. xS']), soit dans un autre Mémoire plus étendu (t. XVI, P* 2og).

D Mais, comme toutes les révolutions, celle qui se prépare dans la science de rétendue/ et que M. Poncelet regarde peut-être à tort comme étant presque achevée, doit compter pour adversaires, ou tout au moins pour spectateurs indif*

férents, tous ceux qui n'y auront pas coopéré; et déjà n'entendons-nous pas bourdonner autour de nous que les recherches du genre de celles dont s'occupe M. Poneelet n'excitent, à l'époque où nous nous trouvons, qu'un médiocre intérêt, que cela est à peu près passé de mode? Qui sait même si l'on n'aura pas fait des tentatives pour entraîner leur estimable auteur sur un autre terrain et le détourner d'un genre de méditations dans lequel on est contraint d'avouer toute sa su-^périorité ?

» Au surplus, si les doctrines que M. Poncelet cherche à faire prévaloir ne sont pas encore aussi répandues qu'elles méritent de l'être, peut-être y a-t«tl aussi un peu de sa fiiute, et peut-être pourrions-nous nous glorifier d'avoir mieux servi la cause qu'il défend qu'il ne l'a servie lui-même. Ce qu'il y a de plus important et de plus éminemment philosophique dans ces recherches, c'est, ce nous semble» d'une part cette double face de la Géométrie que son dernier Mémoire a pour objet de mettre en évidence, et de l'autre la possibilité de démontrer, sans aucune sorte de calculs ni de constructions, la totalité peut-être des théorèmes qui ne dépendent ni des relations d'angles ni des relations de longueur. Or, le dernier Mémoire de M. Poncelet n'est encore connu jusqu'ici que de peu de personnes ; et, bien que les points principaux en soient indiqués dans le Traité des Propriétés projectiçes^ c'est d'une manière si fugitive, qu'il n'en est fait aucune mention ni dans le Rapport des Commissaires de l'Académie, ni dans la préface de l'auteur, ni même dans son Introduction de trente pages. N'est-on pas fondé, d'après cela, à penser que M. Poncelet avait d'abord regardé cette partie* de son ouvrage comme trè^-accessoife, surtout lorsqu'on lui voit recommander les éléments d'EucIide, et qu'on le voit débute^ par des proportions et des calculs ?

3QH PROPRIÉTÉS PROJtCTIVES DES FIGURES.

» ^ouvrage de M. Pdncelet est sans doute rempli d'une multitude de choses très-remarquables; mais peut-être l'auteur aurait-il bien fait d'en faire le sujet d'autant d'ouvrages séparés ; d'autant que, parmi les doctrines qu'il cherche à faire prévaloir, il en est qui sont tout au moins sujettes à controverse et dont le mélange avec les autres peut faire tort à celles-ci, qui sont au contraire au-dessus de toute attaque.

D Quant à nous, convaincu comme nous le sommes que, loin de rien gagner en brusquant les révolutions, on ne fait le plus souvent ainsi qu'en reculer Taccomplissement, et convaincu également qu'il est des choses qu'il faut redire bien des fois avant de les faire recevoir, nous avons embrassé un horizon moins vaste. Certain, même avant que M. Poncelet ait rien publié sur ce sujet, que toute la partie de la Géométrie qui ne dépend pas des relations métriques était double, nous avons saisi toutes les occasions de rendre cette vérité sensible ; et pourtant, malgré tous nos efforts, nous n'oserions nous flatter d'y avoir complètement réussi. Tou* jours est-il vrai, du moins, qu'aujourd'hui encore nous recevons de diverses parts des énoncés de théorèmes, susceptibles de l'espèce de traduction qui fait le sujet des méditations de M. Poncelet, sans que leurs auteurs aient l'air de se douter que cette traduction soit possible.

II est au surplus un obstacle réel à la propagation facile des doctrines que M. Poncelet et nous cherchons à populariser, et cet obstacle, comme nous l'avons déjà insinué plusieurs fois, réside dans l'obligation ou nous nous trouvons de parler la langue créée pour une Géométrie bien plus restreinte que celle qui nous occupe. Condillac a sans doute fort exagéré en prétendant réduire toute science à une langue bien faite ; mais ce qu'on ne saurait raisonnablement contester, et ce que prouve victorieusement le progrès immense qu'a dû l'Algèbre au perfectionnement progressif de ses notations, c'est que, quand la langue d'une science est bien faite, les déductions logiques y deviennent d'une telle facilité, que l'esprit va pour ainsi dire de lui-même au-devant des vérités nouvelles. Or, M. Poncelet a pu souvent éprouver ce que nous avons éprouvé nous-même, savoir, qu'il est certaines propositions, évidemment susceptibles de l'espèce de traduction qui fait le sujet de son Mémoire, et que pourtant on ne parvient pas à traduire. sans quelque contention d'esprit, et cela uniquement parce que les mots se refusent à les exprimer nettement. La double existence des propriétés de l'étendue pourra donc bien rester encore un mystère pour le gros des géomètres, aussi longtemps que, par exemple, on devra remplacer, dans les traductions, le mot unique diagonale par cette suite de mots : points de concours des directions . de deux côtés non con* sécutifs. L'embarras est bien plus grand encore dans la Géométrie de l'espace, où nous n'avons pas même de périphrase pour caractériser nettement la surface polyèdre dont une surface développable est la limite ; car M. Poncelet conviendra, sans doute sans peine, que l'expression de poly-èdre indéfini qu'il emploie n'est guère préférable à celle d*angle polyèdre gauche, que nous avions hasardée dans un précédent Mémoire. ' .

». Il sera donc nécessaire, pour, présenter la nouvelle théorie sous le jour le plus avantageux, de créer d'abord une langue à sa taille, s'il est permis de s'expri-

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. SgS

mer ainsi ; mais cette langue, nous en convenons, sera difficile à bien faire, et il sera peut-être plus difflcile encore, lorsqu'elle sera faite, de lui obtenir un accueil favorable de la part des géomètres, m

Nota. — On remarquera que cette Réflexion, où M. Gergonne veut bien m'associer aux éloges qu'il adresse à la doctrine de la dualité, est précédée d'un extrait de la première partie seulement de répitre que je lui avais adressée le lo décembre i8a6; extrait où se trouvent omis et le titre et la date de mon Mémoire de juin 1824 sur la théorie des polaires réciproques. Évidemment celle omission ne saurait être excusée ni palliée par les éloges tardifs de M. Gergonne, qui attestent seulement l'embarras où l'avaient jeté cette même lettre de décembre 1 826 et les assertions mensongères du Bulletin Férussac,

Réclamation de M. le capitaine Poncelet, avec des notes par M. Gergonne, extraite du Bulletin universel des annonces et nouvelles scientifiques, et suivie de divers articles de restitution, de rectifications, etc. {Annales^ t. XVIII, p. laS à i56, novembre 1827).

a M. Poncelet, de qui, depuis plus de dix ans, je n'ai cessé d'accueillir les recherches, de signaler les travaux, de défendre et de propager les doctrines, vient de publier dans le dernier numéro du Bulletin universel (août 1827, p. 109) une sorte de note diplomatique, en forme de manifeste, où, à travers des expressions beaucoup trop flatteuses pour moi, on voit percer, de toutes parts, beaucoup d'amertume, des reproches et même des accusations assez graves. Si, croyant avoir à se plaindre de ma part de quelque manque de procédé, bien involontaire sans doute, M. Poncelet s'était directement adressé à moi, j'ose croire qu'il ne m'eût pas été difficile de le convaincre que ses préventions étaient tout à fait dénuées de fondement; mais puisqu'il a préféré m'accuser devant le public, je crois entrer dans ses vues en consignant sa plainte dans mon Recueil, afin d'ajouter encore, s'il est possible, à la publicité qu'il a désiré d'obtenir pour elle, d

Nota. — Ce préambule n'est nullement justifié par les procédés antérieurs de M. Gergonne envers moi, d'autant plus qu'il n'avait point eu égard, après un an presque écoulé, à ma lettre de i8a6, et que la réclamation dont il s'agit ici s'adressait au rédacteur pseudonyme du Bulletin Férussac. D'ailleurs, M. Gergonn» ayant fait droit) quoique tardivement et de fort mauvaise grâce, à mes réclamations insérées au Bulletin Férussac, cola me dispense de rapporter ici les autres notes dont il a cru utile de les accompagner; notes peu sérieuses au fond et dont le persiflage témoigne de l'embarras, sinon du repentir de leur auteur, dont la conduite persistante, tout au moins peu loyale, a été un scandale jusque-là sans exemple, mais qui ne se renouvellera plus, je l'espère, parmi les rédacteurs de Journaux mathématiques. D'ailleurs encore, les pages 37g à 384 ci-dessus, extraites du Bulletin Férussac, contenant de la main même de M. Gei'gonne la réplique à ma réclamation, par conséquent le sommaire des notes déjà mentionnées aux Annales, il eût été fort long et peu édifiant pour le lecteur de transcrire et de réfuter ces notes. J'aurais de même supprimé le préambule rapporté plus haut, s'il ne m'avait semblé éminemment propre à caractériser les sentiments de supériorité, de satisfaction personnelle et do hautaine protection envers moi, que rappelle si bien la correspondance amicale, scientifique, mais quelque peu pédantesquo de feu mon compatriote 0. Terquem, qui, lui aussi en 1818, s^autorisait du privilège de l'âge et d'une réputation déjà acquise pour juger mes premiers travaux géométriques au point de vue de ses connaissances bibliographiques [voyez t. II des Applications d'Analyse et de Géométrie, p. 539, 541, IL 5o

Zcji PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

55a). Cest à ce titre seulement que je joins, au préambule dont il s'agit, la note insérée par M. (jergonne au bas de la page ia8 de Tendroit cité des Annales.

a Personne n'a été plus fâché que moi de voir M. Poncelet chargé de ce Cours ( il s'agit ici des leçons de Mécanique dont, à partir de janvier 1825, j'avais été chargé à l'École d'application de Metz); je m'en suis expliqué à son ami le colonel Vainsot, dès (ju'il m'en a donné la première nouvelle, et plus lard j'ai dit publiquement ce que j'en pensais (t. XVII, p. 274). H ne manque pas en effet d'hommes "propres à appliquer les sciences; et on ne saurait laisser trop de loisirs au petit nombre des esprits privilégiés qui peuvent en reculer les limites. Malheureusement tout le monde ne pense pas ainsi. La roue à aubes courbes de M. Poncelet lui a valu d'honorables récompenses, et sa théorie des polairei réciproques (Annales^ t. VIII, p. 201), bien que d'une tout autre importance, a passé pour ainsi dire inaperçue.

» Mais, parce que M. Poncelet est empêché de publier les résultats de ses recherches, s*ensuil-il que tout le monde sera tenu de se croiser les bras pour l'attendre? Je ne puis me persuader qu'il pousse l'exigence à ce point. »

Réponse à cette dernière phrase, — Non certes 1 mais, quand après avoir seulement sarclé, émondé, greffé, etc., sur le terrain péniblement défriché, labouré, semé et planté par son voisin, on vient à en récolter les fruits, il est de stricte justice de le déclarer sans réserve ni réticence ; à moins de braver tout respect humain, de renier Dieu et d'admettre, avec le Proudhon de 1848, que la propriété c*est le vol, même pour les choses scientifiques et littéraires.

Au surplus, la façon dont le savant Recteur de l'Université de Montpellier a traité (t. XXI des Annales^ note de la page 181) H. Liouville, son successeur autorisé, en i836, dans la rédaction àvi" Journal français, in-4^, de Mathématiques pures et appliquées; cette façon plus que cavalière suffît, et de reste, pour prouver que, même en fait de théories mathématiques de la chaleur^ aux yeux de M<Gergonne, le fond est peu de chose et la forme ^ le s tjie, presque tout ;\\igeTaeïiiséy ère ici mal appliqué, démenti par certains écrils de d'Alembert (Dynamique et Opuscules), et bien peu justifié par les Préliminaires d'un Cours de Mathématiques pures , plein de réminiscences philosophiques [Annales^ t. XXI, p. 3o5), parmi lesquelles je CKterai celles de la page 124, où M. Gergonne se montre imbu de Tespoir que « le genre humain est appelé, peut-être, à des des- » tinép/S que l'imagination la plus brillante et la plus féconde pourrait à peine concevoir. Qu'est-ce 9 au fond que cinquante ou soixante siècles, observe notre philosophe , que serait-ce même qu'un » million de siècles comparé à la durée possible des choses? » Cette doctrine alors admise dans la savante École de médecine de Montpellier, rivale de celle de Paris, depuis reproduite, et en quelque sorte vulgarisée, donnerait à Tbomme pour ancêtres, soit le singe, avec ou sans queue, le têtard de la grenouillcy soit l'un des mollusques les plus infîmes de la création, Vhukre avec ou sans écailles, comme me le soutenait en 1843 l'ex-ami de Gergonne, mon compatriote le D' Lallemand, le spirituel auteur du Hachich et d'anciens écrits beaucoup plus sérieux et surtout plus savants. Enfin, l'Univers, à tout jamais mystérieux pour nous, je le crains fort, serait, d'après ces philosophes matérialistes, non le résultat d'une volonté première de Dieu, l'éternel géomètre de Platon, de Newton, de Linné, de Guvier, mais le produit fortuit ou spontané de Vincubation et de la transformation progressive des ôtres.

C'est sans doute aussi d'après un sentiment de hautaine incrédulité envers les inventeurs, que le Rédacteur des Annales s'est cru en droit de gourmander Montucla (note de la page ai3 du tome XVn des Annales) d'avoir, contre l'avis de l'ancien philosophe Deecartes, attribué au jeune Pascal le théorème de Vhexagramme mystique, que M. Gergonne prétend avoir démontré dans ses doubles colonnes, sans recourir à l'Analyse algébrique des Dupin et des Lamé.

SECTION SUPPLÉMENTAIRE. SgS

C'est ainsi encore que, enhardi, encouragé plus tard (1847) P^r ^^ estimable professeur de l'École régimentaire du génie de Montpellier, M. Lentbéric neveu, auteur d'une théorie algébrique des jiolaircs conjuguées et réciproques ^ écrite sous le manteau du Principe de dualité, le même M. Gergonne, encouragé par les éloges de ce professeur qui le place immédiatement après Lahire, Monge et le Bochat des Annales (t. IIÎ, p. Boa), en oubliant Euclide, Apollonius, Pappus, Desargues, Pascal, Brianchon et d'autres non moins dignes d'être cités; c'est ainsi, dis-je, que l'irascible et vaniteux G'ergonne, séduit par d'aussi flatteuses concessions, se réveilla tout à coup^ au bout d'un sommeil philosophique de vingt-cinq ans { Mémoires de l* Académie des Sciences de Montpellier pour 1847, Mémoires qui manquent à notre Bibliothèque de llnstitut, et dont je dois la coxa^ munication à mon savant confrère M. Bonnet) et rédigea, comme Recteur et Président, un article de circonstance sur le principe de dualité, article où cette fois, oubliant ses aveux anté^ rieurs, il n en concède plus le partage avec personne, appuyé qu'il est de ses doubles colonnes, que MM. Steiner, Plucket et Chasles avaient aussi complaisamjnent adoptées : ce principe, ces doubles colonnes n'ont eu pour contradicteur^ ajoute le savant Recteur de l'Académie de Montpellier, que l'auteur même de la tlœorie des polaires réciproques {181 8, 1822 et 1824), à qui il refuse d'avoir aperçu, de son côté, le principe de dualité, et d'avoir lu, ce que lui, Gergonne, en avait écrit. Ënfin^ satisfait de lui-même, il termine (p. 64 du Recueil cité) par ces réflexions amères où il se garde pourtant de blâmer le cumul, cette plaie honteuse de notre époque, barrière infranchissable pour tant d'hommes de talent qu'elle relègue trop longtemps au rang de suppléants, même quand ils ont acquis le droit de la franchir après de nombreuses et pénibles années d'exercice avec ou sans compensations :

a M. Poncelet, auteur d'un ouvrage fort remarquable et de plusieurs beaux Mémoires théoriques, n'est presque connu que comme inventeur de la roue à aubes courbes, dont, au surplus, il a pu prendre Vidée à la vue des aubes brisées du moulin de Parmentier. Cela décèle la tendance de l'époque. C'est de la sorte que M. Charles Dupin, après avoir débuté par deux ouvrages théoriques d'un grand intérêt, n'a pas tardé de reconnaître que, au temps qui court, ces sortes d'ouvrages ne mènent ni aux honneurs ni à la fortune, et il a bientôt fait prendre à ses travaux une tout autre direction.

» Dans le siècle et dans le pays où nous vivons, tout ce qui peut contribuer à développer, à étendre et à fortifier les facultés de l'intelligence ne saurait être regardé avec indifférence, et il est bien connu, d'ailleurs, qu'une nation qui ne cultiverait les sciences que sous l'unique point de vue de leurs applications pratiques et immédiates, de leurs résultats matériels, ne saurait se flatter de les voir longtemps fleurir au milieu d'elle. »

Il est bien évident d'après ceci que M. Gergonne, plongé dans les abstractions philosophiques, ne faisait, en 1847, aucun cas des applications pratiques des sciences qu'il ne comprenait pas. Cela n'empêche nullement de regretter qu'un géomètre d'un esprit aussi supérieur, aussi lucide que M. Ch. Dupin, ait été détourné de sa voie naturelle par les jalousies et les rivalités contemporaines des Binet, des Hachette, des Gergonne, des Quelelet, etc.

D'autre part, voici ce qu'on lisait à la fin de l'article Nouvelles scientifiques, inséré sur l'enveloppe du numéro d'août 1828 des Annales de Mathématiques de Montpellier :

a Du reste, il n'y a pour M. Poncelet que de deux partis l'un à prendre : il faut qu'il cite un théorème de situation, vrai pour une courbe qu'une droite peut couper en m points» dont le polaire réciproque soit faux pour toute courbe à laquelle

on peut mener m tangentes d'un même point; ou bien il faut qu'il convienne que la double classification des lignes et surfaces courbes qu'il critique est fondée sur la nature intime de l'étendue, et qu'elle apparlient à quelqu'un qui voil> de plus haut que lui, le principe de la dualilé. d

Nota, -- Ce jugement contraste singulièrement avec la manière encourageante dont le Rédacteur des Annales avait accueilli mes premières communications, notamment les Réflexions sur rasage de l'Analyse algébrique en Géométrie, insérées dans le cahier de novembre 1817 de ce Recueil, et reproduites textuellement à la page 466 du tome II des Applications d'Analyse et de Géométrie, 1864, mais sans la réplique longuement motivée par M. Gergonne, et qui se termine ainsi (p. 161 du tome VIII des Annales) :

cr Pour en venir présentement à l'objet particulier de la lettre de M. Poncelet, je m'empresse de reconnaître la supériorité de ses méthodes et de déclarer que, sans oser affirmer que la Géométrie analytique ne puisse parvenir jusque-là, il me parait au moins très-douteux qu'elle puisse y atteindre d'une manière facile. On ne peut donc que faire des vœux pour que l'auteur, après avoir aussi vivement piqué la curiosité des lecteurs, veuille bien enfm la satisfaire complètement, en faisant connaître les théories sur lesquelles reposent ses ingénieuses et élégantes constructions. On doit désirer, en outre, que M. Poncelet ne borne point là ses recherches, et qu'il pousse aussi avant qu'elles en seront susceptibles des spéculations desquelles il a déjà obtenu un succès aussi remarquable.

» De moft côté, je ne négligerai aucune des occasions que mes courts loisirs pourront m'offrir, pour multiplier les exemples du genre d'application de l'Analyse à la Géométrie que je cherche à faire prévaloir; et j'ose croire que la diversité de nos méthodes ne fera jamais naître d* autre rivalité entre nous que celle du zèle pour l'avancement de la science. »

§ III. — Examen analytique et historique d'anciens écrits relatifs

à la Géométrie dite moderne.

En me livrant si tardivement (i865] à cet examen, pour moi non moins délicat que pénible, je n'ai nullement l'intention de prolonger une polémique qui me semble désormais épuisée pour les géomètres sérieux, mais seulement de présenter un tableau impartial, et aussi exact que le permettent les moyens bibliographiques dont j'ai pu disposer, du progrès successif des idées dans cette branche de Géométrie où tant de savants se sont exercés, à partir de 1826 et 1827, en usant d'appellations, de procédés d'exposition plus ou moins heureux et souvent contradictoires, procédés qui sont devenus la source de cette confusion d'idées scientifiques et historiques maintes fois signalée dans mes écrits sans que j'aie pu néanmoins y insister assez pour justifier des réclamations de priorité à coup sûr en

elles-mêmes fort réservées, mais que des esprits hostiles ou mal informés ont trouvées sinon injustes, du moins pleines d'ameriume. Malheureusement l'étendue de Texamen analytique ci-après et de ce qui doit le suivre m'oblige, bien à contre-cœur, d'employer un caractère d'impression qui sera trouvé trop faible et trop fatigant pour certains lecteurs, auxquels je crois devoir en faire ici mes trèssincères excuses.

SUA LES PORISMES d'bUCLIBE ÏT LES COLLECTIONS MATHÉMATIQUES DE PAPPUS, b'aPRÈS LA TRADUCTION LATINE ET LES COMMENTAIRES DB GOMMANDIN (BoUOniae, 1660).

Je me décide enfin, après bien des hésitations provenant de différentes causes, à donner une idée succincte de l'étude que j'avais entreprise dans l'hiver de 181 7 à 1818, en vue de me faire une opinion personnelle sur les écrits géométriques des Anciens, principalement sur la question des Porismes, dont je voulais parler dans le tome P*" du Traité des Propriétés projectives des figures, et dont on ne s'était plus guère préoccupé eu .France depuis Tépoque de Descartes et de Fermât (lettre à Pascal], du moins sous le rapport des interprétations et des discussions qui, un siècle après, sont devenues le partage pour ainsi dire exclusif de quelques savants de l'Angleterre. Ce exposé, quoique fort incomplet, me permettra de relever plusieurs observations critiques, indirectes il est vrai^ adressées à mes opinions dans des ouvrages postérieurs de beaucoup à la première édition du Traité des Propriétés projectiles, et à propos desquelles je n'ai qu'une seule observation à faire : c'est qu'à aucune époque, et moins aujourd'hui que jamais, je n'ai eu l'intention d'intervenir dans les discussions déjà si anciennes, si obscures et à mon sens interminables, qui concernent l'interprétation du texte grec de Pappus, plus ou moins mutilé ou intelligible en soi, ni par conséquent la prétention de trancher aucune des difficultés qui, dans ces derniers temps , ont été soulevées au sujet des Porismes d'Euclide^ devenus l'objet de polémiques assez vives entre de savants géomètres d'un mérite incontestable :

Non nostrum inter vos tantas componere Utes;

car je ne suis ni un helléniste , ni un érudit de profession, et je possède encore moins le don de divination. Je me borne donc à présenter ici un extrait analytique de l'ancien manuscrit dont j'ai d'abord parlé.

Les Collections mathématiques de Pappus, qui ne sauraient être considérées comme une simple compilation et datent du iv* siècle de l'ère chrétienne , étaient divisées en huit Livres, dont les deux premiers sont entièrement perdus, et dont le huitième concerne la statique et les machines employées dans les arts par les Anciens. Les Livres 01, ÏV, V et VI n'offrent qu'un bien faible intérêt au point de vue qui nous préoccupe : ce ne sont, en quelque sorte, que des inventaires suivis d'exercices et de lemmes sur les ouvrages analytico- géométriques des Anciens, en majeure partie perdus. Cependant je remarque particulièrement ce qui suit dans le livre lU (p. la à 26 j :

« Définitions, — Soient sur AB {fig, /|6) les trois longueurs AB, BC et BG entre lesquelles on ait la proportion harmonique suivante :