BA:BG :: CA: CG

par où l'on voit que AG est divisée harmoniquement en C et B; division que Pappus apprend géométriquement à construire au moyen de parties égales.

a Les Grecs avaient distingué plusieurs espèces de relations dans le genre de la précédente, auxquelles il» donnaient le nom commun de moyennes {medietas), mais qu'ils appelaient arithmétique, harmonique et géométrique, quatrième, cinquième,, .., dixième. « Vanalogie, dit Pappus (p. 20 de la traduction latine » de Commandin), dérive de la proportion ; mais le principe de toute proportion est une égalité. La 1» moyenne géométrique, donc, tirant sa première origine de Tcgalité, elle se constitue elle-même et les » autres moyennes, en nous faisant connaître (comme le dit le très-divin Platon) la nature de l'ana- • logie, la cause de l'harmonie universelle et la source de l'ordre et de la raison. Platon observe en effet » qu'il n'existe qu'une seule chatne entre les vérités mathématiques; mais la nature divine de l'analogie » (proportion) est la cause, l'origine et le' lien de toutes les choses créées. »

» On voit d'après cela quelle importance les Anciens attachaient à ces sortes de relations, puisqu'ils croyaient qu'avec leur secours seul on pouvait enchaîner toutes les vérités, ou propositions mathématiques. Mais, aujourd'hui que l'Analyse algébrique a fait de si grands progrès, on a reconnu qu'il existe entre les grandeurs diverses des lois beaucoup plus compliquées, plus difficiles à saisir, et qui ne sauraient constamment être ramenées à de simples analogies ou proportions. »

L^ntroduction du Livre VII des Collections, le plus important de tous, fait connaître à Herraodore fils ce dont se composaient les ouvrages dEuclide, d'Apollonius de Perge, d'Àristé l'Ancien et d'Ératosthènes, au nombre de trente et un Livres, connus sous le nom de Lieu résolu. Au sujet de cette introduction, on ne peut trop regretter que le savant helléniste Peyrard n'ait pas étendu à l'ouvrage entier de Pappus, ses utiles traductions des écrits d'Archimèdo et d'Euclide, encouragées et payées, dit-on, par T Angleterre, moins dédaigneuse que nous envers la Géométrie antique. Heureusement M. 'P. Breton (de Champ) nous a dédommagés de cette perte pour toute la partie si obscure, si laconique qui concerne le célèbre Traité des Porismes d'Euclide; car notre savant compatriote nous en a livré [Journal de JJouville, t. X, i855) une traduction française exemple des commentaires et des altérations ou interprétations que Commandin avait fait subir au texte, aux figures et aux énoncés; altérations que j'avais moi-même remarquées dans mes Notes manuscrites de 1 817-1818.

Je ne transcris point ici les passages de ces Notes où, tout d'abord, j'ai vainement tenté de traduire, pour m'en faire une idée personnelle, ce que Pappus dit des trois Livres des Porismes d'Eu-clide;\e ferai seulement observer que, malgré les vices do la traduction de Commandin et les lacunes qu'elle présente, je n'avais pas eu trop de difficulté à comprendre les énoncés des théorèmes dont Pappus fait suivre son exposé relatif aux Porismes. Ces énoncés se rapportent à une classe de lieux plans ou à la ligne droite aujourd'hui bien connus, que cet auteur présente comme le résumé de tout le premier Livre d'Euclide ; mais les deux Livres suivants ne lui semblent pas susceptibles d'un tel résumé à cause du manque d'exemples ou d'applications des principes. Peu satisfait d^ailleurs de ses généralisations relatives au contenu du premier Livre des Porismes^ Pappus ajoute modestement ( p. 246 de la traduction de Commandin ) :

a Euclidem vero non verissimile est ignorare hoc^ sed principium dumtaxat statuere, .et in omnibus 1» porismatibus apparet principia, et seminaria sola multarum, ac magnarum multitudinum ab eo jacta, » quorum vnumquodque non juxta positionum differentias distinguere oportet, sed juxta differentias » accidentium et qusesitorum. Et positiones quidem omnes inter se differunt, cum specialissimae » sint, accidentium, vero et quaesitorum vnumquodque vnum, et idem existons multis positio- » nibus differentibus contingit, eo quod génère sint eadem. b (Passage aussi explicite que facile à interpréter et à saisir, comme on le verra plus loin. )

« Quant à l'extension que Lhuilier de Genève {Éléments d'Analjrse géométrique, 1809] a donnée aux énoncés qui précèdent les réflexions ci-dessus de Pappus, non-seulement elle ne peut être regardée comme la véritable interprétation du passage qui s'y rapporte, mais on peut même démontrer qu'elle est fausse, et d'ailleurs, Pappus n'entendant parler que de droites qui ne se coupent qu'au nombre de deux en chaque point, exclut par là les diagonales qui, avec les c^tés adjacents, font trois droites passant par un même point. C'est donc à tort que cet auteur reproche à Robert Simson d'avoir oublié le cas où Ton envisage le lieu des points de rencontre des diagonales {ix^ez p. 107 et suiv. de l'ouvrage de Simon Lhuilier).

» Après l'introduction, sans figures ni démonstrations, du Livre VU des Colleccions mathématiques, où Pappus se montre doué d'un certain esprit pliilosophique de généralisation et d'abstraction, viennent un grand nombre de lemmes, qu'il donne, à ce qu'il dit, pour l'intelligence des ouvrages des anciens auteurs grecs dénommés et analysés dans sa préface.

» De ce genre est le suivant (p. 378 de la Traduction de Commandin, Lem. XXIV, De sectione determinatâ) :

D Soient une droite AB(y?^. 47) et trois points C,D, E sur cette droite, tels, que le rectangle BaE, c'est-à-dire BA. AE, soit au rectangle BDE ou BD.DE, comme le carré de AC est à celui de CD, c'est-à-dire

— 3 ï RA AF kC

BA.AE: BD.DE ::AC: CD ou bien ^^:^ = fiiL.,

BD.DE — i

•n écrivant les proportions à notre manière ; je dis que Ton aura aussi

AB.BD : AË.ED :: Bc': ci* ^^ = ?^ ,

AK.ED ^g

relation à deux iermei, projectile comme la précédente et dont le VIP Livre de Pappus offre divers autrei exemples fort remarquables.

» Il me semble que c'est dans ces sortes de transformations de proportions, que consistait Vjénaljrse géo* métrique des Anciens; car elles res^mblent parfaitement à celles que nous faisons subir à nos équations littérales; la seule différence consistant en ce que nous représentons les grandeurs par des lettres insiguifiantes en elles-mêmes et les opérations par des signes abréviatifs, tandis qu'ils les représentaient par des parties de lignes droites, et qu'ils énonçaient ces opérations ou transformations d'égalités dans le langage ordinaire. C'est ainsi , par exemple, qu'ils prouvaient par des images géométriques sensibles que le carré d'une ligne entière ab = ac-\- cb est égal au carré de la partie ac plus le carré de la partie cb plus le double du rectangle de l'une de ces parties par l'autre; ce que nous exprimons généralement ainsi :

» On voit par là que la marche analytique des Anciens n'a pas dû les conduire fort loin; car n'ayant pas converti ces sortes de transformations en règles générales d'où l'on pût, dans chaque cas, les déduire méthodiquement, symbofiquement et pour ainsi dire sans peine, il leur fallait sans cesse employer de nouveaux efforts d'esprit pour découvrir les proportions ou transformées corrélatives des premières; au moins fallait-il une mémoire prodigieuse pour les retenir quand elles étaient déjà données ou connues {data). On voit par là aussi que les lemmes exposés par Pappus dans son Livre VII, constituent véritablement le fond de l'Analyse géométrique des Anciens. Cette marche d'ailleurs est assez conforme à celle de l'Algèbre des Indiens, qui représentent les quantités par des couleurs. Les progrés de l'Analyse moderne sont entièrement dus, comme on sait, à la représentation des grandeurs ou quantités par des lettres et des distances ou longueurs simples. De là encore cette extension prodigieusç de l'Algèbre à toute espèce de quantités numériques, géométriques, mécaniques, etc., imaginée par Viète.

B La marche que les Anciens employaient ensuite pour la résolution d'un problème quelconque était absolument la même que la nôtre: ils supposaient la chose toute trouvée; alors, au moyen de lignes idéales, fictives, ils faisaient voir, par une suite de transformations analytiques, la liaison ou relation des inconnues avec les auxiliaires, puis de celles-ci avec des auxiliaires nouvelles, également idéales ou inconnues, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'ils parvinssent à trouver la relation des dernières auxiliaires aux objets fixes ou connus; d'où ils tiraient enfin celle des véritables indéterminées du problème avec les données, par une marche inverse ou rétrocessive, qui leur servait à déduire de proche en proche la construction des différentes auxiliaires, et finalement des véritables inconnues. Tout consistait, comme on voit, à choisir ces auxiliaires multiples de façon qu'elles fussent étroitement liées aux quantités connues ou inconnues. Ainsi, l'Analyse ou méthode de résolution des Grecs différait encore de l'Analyse moderne ou de Descartes, en ce que celle-ci n'emploie jamais que les mêmes auxiliaires, abscisses et ordonnées, ce qui simplifie la mise en équations des problèmes ; car il suffit d'exprimer chacune des parties connues et inconnues par ces coordonnées, et d'écrire la relation qui les lie entre elles, dont ensuite on tire l'inconnue par une suite de transformations algébriques et méthodiques; transformations, il est vrai, souvent très- compliquées, et que l'Analyse des Grecs n'aurait pu suivre qu'avec une peine infinie. »

4oo PROPRIÉTÉS PROJECTIVES DES FIGURES.

Le Livre VII des Collections dont il s'agit ici contient 238 propositions et aaa théorèmes ou problèmes constituant , à la réserve de quelques-uns d'entre eux, autant de lemmes afférant aux divers écrits géométriques mentionnés dans la préface, et dont les plus intéressants, au point de vue qui nous occupe, au nombre de 38, sont relatifs au Traité même des Porismes (Porismaton libri III). Les plus importants de ces lemmes se trouvent rapportés, discutés et interprétés dans mon manuscrit de 1 817-1818, et je ne saurais les transcrire ici en entier à cause de la place qu'ils prendraient dans cette Section supplémentaire y bien que leur caractère, fort intéressant à mes yeux^ concerne la projectivité de certaines relations métriques ou descriptives des groupes de points ou de lignes droites coupées par d'autres droites ou un cercle; propositions, redisons-le, dont Commandin, peut-être même Pappus, restreignent, mutilent parfois les énoncés, les démonstrations ou les figures. Ces relations, ces propriétés, en effet, se reconnaissent facilement pour appartenir à la théorie des transversales, et satisfont toutes, comme telles, aux règles établies dans les n~ 8 et suivants du tome I" de ce Traité.

Aujourd'hui encore, il n'est pas aussi facile qu'on le pense de deviner à première vue , ou sans quelque contention d'esprit, si les figures dont il s'agit, à angles saillants et rentrants, appartiennent véritablement à un même type. En particulier, il en est ainsi de celle qui se rapporte à l'hexagone inscrit au système de deux droites que Pappus fait apparaître à nos yeux dans une succession de lemmes sous une forme invariable, quoiqu'il semble bien certain qu'Ëuclide entendit embrasser toutes les formes possibles sans changement fondamehtal des énoncés.

A ce propos, qu'on me permette de remarquer, ce que l'on verra mieux dans l'un des Articles subséquents, qu'aucune des figures et des propositions mentionnées par Pappus ne se rapporte à celles qu'on pourrait en déduire par voie dé réciprocité polaire^ mais non de simple dualité; car ici cette dualité factice et boiteuse, puisqu'elle n'est que linéale et descriptive, serait absolument sans application; ce qui laisse en dehors toute une classe de théorèmes élégants et élémentaires échappés aux Anciens^ et même à ceux des modernes qui ont témoigné trop de dédain pour la théorie des polaires réciproques, et se sont efforcés de la remplacer, de la travestir sous des prétextes divers. Il y a plus, nos géomètres hellénistes ne paraissent pas avoir songé que les propositions et les lemmes de Pappus, d'après la traduction latine de Commandin, se rapportent à un état* rudimentaire qui s'accorde assez peu avec la préface si élogieuse du Traité d'Ëuclide par Pappus. Enfin, le passage latin rapporté ci-dessui semble signifier, selon ma façon de voir et de comprendre , mais rien de plus, que , dans ce Traité, un même porisme s'applique à des positions diverses des objets de la figure, et se distingue de tout autre, non par la différence des accidents, mais bien par la nature des choses cherchées ou à démontrer.

En particulier, cette dernière supposition devient évidente à l'égard des huit figures qui accompagnent la page 36 1-362 (théor. CXIX, propos. CXXX, lemme IV) de l'ouvrage de Commandin, toutes relatives au quadrilatère plan GHKLG [fig, 48, 49, PL F), à deux diagonales HL, GK, de formes diverses, et coupé par une droite transversale arbitraire ABCDEF où se comptent les divers segments; figures dans lesquelles la droite KNM, parallèle à AF, sert d'auxiliaire pour la démonstration. Ces huit figures, que je crois fidèlement extraites par Pappus du Livre P*" des Porismes d'Ëuclide, semblent en effet, sous un énoncé et une démonstration uniques, se rapporter à des propriétés projectives distinctes, bien qu'on puisse les considérer comme appartenant diversement à la projection centrale ou perspective, sur une droite quelconque, de l'un des triangles dans lesquels les diagonales divisent le quadrilatère considéré, en prenant pour centre de projection le quatrième sommet de ce quadrilatère : soit ici le triangle LHK choisi pour exemple par Pappus, et qui se trouve projeté, à partir du- sommet opposé G, sur la transversale ABCDEF ; ce qui , d'après la démonstration fort simple de cet auteur, fondée sur la similitude des triangles que détermine l'auxiliaire KN, conduit à une proportion équivalente à l'égalité