PRÉFACE

Le problème de la résolution algébrique des équations est l'un des premiers qui se soient imposés aux recherches des géomètres. Dès les débuts de l'Algèbre moderne, plusieurs procédés ont été mis en avant pour résoudre les équations des quatre premiers degrés : mais ces diverses méthodes, isolées les unes des autres et fondées sur des artifices de calculs, constituaient des faits plutôt qu'une théorie, jusqu'au jour oii Lagrange, les soumettant à une analyse approfondie, sut démêler le fondement commun sur lequel elles reposent et les ramener à une même méthode véritablement analytique, et prenant son point de départ dans la théorie des substitutions.

I/impuissance de la méthode de Lagi^nge, pour les équations générales d'un degré supérieur au quatrième, donnait lieu de croire à l'impossibilité de les résoudre par radicaux. Abel démontra, en effjPt, cette proposition fondamentale; puis, recherchant quelles étaient les équations particulières susceptibles de ce genre de résolution, il obtint une classe d'équations remarquables qui portent son nom. Il poursuivait avec ardeur ce grand travail lorsque la mort vint le frapper; les fragments qui nous en restent permettent de juger de l'importance de cet édifice inachevé.

Ces beaux résultats n'étaient pourtant ([ue le prélude d'une plus grande découverte. Il était réservé à Galois d'asseoir la théorie des équations sur sa base définitive, en montrant qu'à chaque équation correspond un groupe de substitutions, dans lequel se reflètent ses caractères essentiels, et notamment tous ceux c[ui ont trait à sa résolution par d'autres équations auxihaires. D'après ce principe, étant donnée une équation cjuelconque, il suffira de connaître une de ses propriétés caractéristiques pour déterminer son groupe, d'où Ton déduira réciproquement ses autres propriétés.

Dere point de vue élevé, le problème de la résolution par radicaux, qui uaf^uère eiu'ore semblait former l'unique objet de la théorie des é»|ualions, n'appai-ai't plusfjiie comme le premier aiui eau d'une lon}i;ue l'haine de (piestions relatives aux trausibrniations des irrationnelles et à leur elassifieation. Galois, taisant à ce problème particulier l'applicalioii de ses niétliodes i^énérales, trouva sans difficulté la propriété caraetéristifjue <les groupes des é(|iiations résolubles par radicaux, (a ioii'nie explicite de ees j^roupes pour les cjiiiations de def;ré preniiei-, et deux théorèmes importants relatifs au cas des degrés couiposés. Mais, dans la précipitation de sa rédaction, il avait laissé sans démonstration sulïisante plusieurs propositions fondamentales. Celte lacune ne tai'da pas à être comblée pir M, Bettl, dans un Mémoire iuiportant, on la série complète de ces tiiéorèuies de Galois a été pour la première fois rigoureusement établie.

L'étude (le la division des fonctions transcendantes offrit à (lalois une nonvelle et brillante application de sa méthode. Depuis loiijilemps Ganss avait démontré que les équations de la division du cen'lc étaient ré3olid>les par radicaux; Abel avait établi le même résultai pour les é([uatious de la division des fonctions elliptiques, en supposant la division des période» effectuée ; proposition que M. Herniite devait étendre aii\ fonctions abéliennes. Mais il restait à étudier les étpiations modulaires dont dépend la division <les périodes. Galois, déterminant leur {groupe, remarqua r|ue celles de ces équations dont le degre est (j, H ou la, peuvent s'abaisser d'un de^ré. M. Heniiite, elTectuant cette réduction, monti'a qu'il sufKsait de résoudre des éfjuations des quatre premiers degrés pour identifier la réduite obleuiic dans le cas de la ([uinlisection avec réipiation générale du cinquièuie degré, ce (]ui fournîssiiit la solution de celte dernièie équation par les fonctions elliptiques. M. Kronecker parvenait en uième icntps au même résultat par une méthode à peu pi'ès inverse, que M. lïnoschi a reprise et développée dans (pielques pages remai'quables.

Une antre voie féconde tie recherches a été ouverte aux analystes par les cclèbres Mémoires de M. Hesse sur les points d'inflexion des

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(tourbes du troisième ordre. Les problèmes de la Géométrie analytique fournissent, en effet, une foule d'autres équations remarquables dont les propriétés, étudiées par les plus illustres géomètres, et principalement jjàr MM. Cayley, Clebsch, Hesse, Kummer, Salmon, Steiner, sont aujourd'hui bien connues et permettent de leur appliquer sans difficulté les méthodes de Galois.

La théorie des substitutions, qui devient ainsi le fondement de toutes les questions relatives aux équations, n'est encore que peu avancée. Lagrange n'avait fait que l'efflem'er; Gmchy l'a abordée à plusieurs reprises. MM. Bertrand, Brioschi, Hermite, Rronecker, J.-A. Serret, E. Mathieu s'en sont également occupés; mais, malgré l'importance de leurs travaux, la question était si vaste et si difficile, cju'elle reste encore presque entière. Trois notions fondamentales commencent cependant à se dégager : celle de la primitivité, qui se trouvait déjà indiquée dans les Ouvrages de Gauss et d'Abel ; celle de la transitivité, qui appartient à Cauchy; enfin la distinction des groupes simples et composés. C'est encore à Galois qu'est due cette dernière notion, la plus importante des trois.

Le but ae cet Ouvrage est de développer les méthodes de Galois

et de les constituer en corps de doctrine, en montrant avec quelle

facilité elles permettent de résoudre tous les principaux problèmes

de la théorie des équations. Pour en faciliter l'intelligence, nous avons

pris notre point de départ dans les éléments, et nous y avons exposé,

outre nos propres recherches, tous les principaux résultats obtenus

par les géomètres qui nous ont précédé. Mais nous avons souvent

modifié assez profondément l'énoncé et le mode de démonstration

de c^s propositions, afin de tout ramener à des principes uniformes

et aussi généraux que possible. L'abondance des matières nous a

d'ailleurs contraint à supprimer tout développement historique. C'est

ainsi que nous avons dû laisser de côté, non sans regret, la célèbre

démonstration donnée par Abel de l'impossibilité de résoudre par

radicaux l'équation du cinquième degré, ce beau théorème pouvant

aujourd'hui s'établir par des considérations beaucoup plus simples.

Parmi les Ouvrages que nous avons consultés, nous devons citer

particiiiièreiiient, oiili"e les (^Jivi-es de (Ijilois, dont toiil vev'i n'est rin'un Commentaire, le Cours d\-ilgèbre suprrù'iire de M. .1.- \. Serret. C'est la lectnre assidue de ee Livre qui nous a initié à 1' \lf;i'hre et nous a inspii-é le désir de contrilinei' à ses pi-ogrès*.

Nous tenons éf!;alenient à remercier ii'i AIM. (^lehsch et Kmneeker des prérieuses indications qu'ils nous ont fournies. C'est ^rM-e aux libérales commiuiieations de M. Clebsrh (pie nous avons pu aborder les problèmes géoniétri<pies du Livre III, (Miapiti-e III, l'étiule des f^roupes deSteiner et la trisection des foiietions hyperelliplitpies. Nous devons à M. Kronecker la notion du j^roupe des équations de la di\ ision de ces dernières fonctions. Nous aurions désiré tirei' un plus f^i-and parti que nous ne rii\ons fait des travaux, de cet illustre auteur sur les équations. Diverses causes nous en \m\ empêché ; la nature tout ai'itlimétique de ses méthodes, si différentes de la nôtre; la diftictilté de reconstituer intégralement une suite de démonstrations le pins souvent à peine indiquées ; culin l'espérance de voir grouper un jour en un corps de doctrine suivi et complet ces beaux théorèmes <pii (ont maintenant l'envie et le désespoir des fiçéomètres.

Cet Ouvi'age se tlivise en quatre Livres :

Le Livre premier est eonsiicré aux notions indispensables relati\es à la théorie des congruences.

Le làvre II se partage en deux Chapitres, consacrés, le premier à l'étude des substitutions en générai, le second à celle des siibstitiilioiis dont la forme est définie analvti«pieinent et principalement à celle des substitutions linéaii'es.

Le Jjivre III contient ([iiati'e Chapiti-es. I>ans le premier, nous posons les principes de la théorie générale des é<piations. Les trois suivants renferment des applications à l'Algèbre, à la (iéométrie et à la théorie des transcendantes.

Enfin dans le I.i\rc W . divise <'ii sept Chapitres, tioiis dt-terminons les divers types généraux d'équations solnbles par radicaux, et nous obtenons pour ces t\-pes un système complet de classincation.