PARIS

r.AUTHlER-V ILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

no BUREAU DES LONGITUDES DE LÉCOLE IMPÉRIALE POLYTErilNiy U E. SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,

Quai dcA Augusilin», 55.

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PRÉFACE

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Ijü problème de la rcsolntion al{;ébrique des équations est l'im des premiers qui se soient imposés aux rerberrhes des géomètres. Dès les débuts de l’Algèbre moderne, plnsieiii’s pixH-édés ont été mis en avant pour résoudre les équations des quatre premiers degrés : mais ces diverses iiiétliodi's, ist>lées les unes des autres et fondées sur des artifices de calculs, constituaient des faits plutôt <|u’une théorie, justju’au jour où laigrange, les soumettant à une analyse appi'ofondie, sut démêler le fondement commun sur lcrpiel elles reposent et les ramener à une même niéthorle véritablement analytit|ue, et prenant son point de départ dans la théorie des substitutions.

L’impuissance d^ la méthotle de I-agrange, pour les é(|uatious générales d’un «legré siipéneur au quatrième, donnait lien <1^ croire à l’impossibilité de les résoudre par radicaux. Abel démonti'a, eu effet., cette proposition fondamentale; puis, recherchant )|nclles étaient les éfiiiatiohs |>arlic!i hères sus<'eptibles de ce genre de résolution, il obtint une classe il'écpiations remarf|uables <pii portent so»i nom. Il poursuivait avec ardeur ce grand travail loraque la mort vint le frapper; les fragments cpii nous en restent permettent déjuger de riinportance ele cet édilict; inachevé.

Ces Immu.x lésultats n’étaient pourtant (|ue le prélude (l’une plus gi-ande découverte. Il était rt*servé à Calois d’asseoir la théorie des éfptations sur sa base définitive, en montrant ipi’à cha(|iie é(|iiation correspond un groupe de substitutions, dans leipiel se reflètent ses caractères ess«-ntiels, et notamment tous ceux tpii ont ti'ait à sa résolution par d’autres é(|uations auxiliaires. D’apris ce principe, étant doiînce une équation (|nelcom|ue, il snfllra de coimaitn* nne de ses propnétés caraetéristitpies pour déterminer son groupe, d’on t’ou déduira rt‘c.ipro(.|uemeut scs autres propriétés. •

PRÉFACE. '

I)<*cc point clf vue éleve, leprolilèinetlelii iV-.solution par radicaux,- (]iii na}çiicre encore semblait former rimiqne objet de la théorie des équations, n’apparait pins que (rumine le premier anneau d’une longue chaîne de ([iiestions relativ(*s aux transformations des irratioimeHcs et à leur clar^silication . ( lalois, faisant à ce pi-oblème particidier l'application de ses méthodes générales, trouva sans diniciilté la pi-opriété caraetéristi((ue des gmnpirs des éipiations résolubles par radicaux, la forme (explicite de l'es groupes pour les équations de degré premier, et deux théorèmes importants relatifs au cas des degrtîs composés. Mais, dans la précipitation de sa rédaction, il avait laissé sans démonstraliou snflisante plusieurs propositions fondamentales. Otte lacune ne tarda pas à être comblée par .M. Betti, dans un Mi-moire important, oii la série complète de ees théorèmes de (>alois a été pour la première fois rigpiirensement établie.

I j'élude de la division dc'S Ibnctions transcendantes offrit à (lalois nue nouvelle et brillante application de sa méthode. Depuis longtemps Gau.ss avait démontré que les é(|uations déjà division du cercle étaient résolubles jvar radicaux; Abel avait établi le même résultat pour les équations de la division des fonctions elliptiques, en snp- |>osant la division des ptéiodcs cfTectuée; proposition que M. Ilernate devait étendre aux fonctions abélicn nés. Mais il restait à étudier les éipiations (iiodulah'es dont dépend la division des périodes, rjahns, déterminant leur groupe, reinaixpia ipie celles de ces équations dont le degré est (), 8 ou ta, peuvent s'abai.sscr d'un degré. M. Hermile, efCectnaiit cette ixyuctioii, montra cpi'il ^suflisait de lésoudre des (■ipiations des (piatre. premiers degrés pour identilier la réduite 'obtenue dans le cas de la -apiinlisection avec l’équation générale du ciiupiième degié, ce ipii fournissait la solution de cette dernii-ie (xpiation par les fonctions elliptirpies. M. kronecker parvenait en même temps au même résultat par une méthode à peu près inverse, (pie M. Brioschi a reprise et développée dans ipielipies pages remar- (piiü)les. . ' *

Ibie antre voie fi'i'onde de rechcrchesa été ouverte aux analvstes par les célèbres .Mémoires de M. liesse sur les points d’intlexion des

PRÉFACE. >11

«•ourhesvdi» troisitiup ordre. I^es |>rob]èiiK's de la («éoiiiétrie analytir|iie fournissent, en^-ffel, une foule d'antres é<|yations reinanjuahles dont Ic.s propriétés, étmliées |)ar les pins illustres f^oinèlres, et prineipaleineiit par MM. C^ijley, (ilel>s<’h, Hesse, Kinnn\('r, Sidnioii, Steinei’, sont aujonrd’liui bien eomuies et permettent de leur applK|uer siuis diflieiillé les méthodes de Galois. . ■

F>a théorie des .sid)stitiition.s, rpii devient aiti.si le fondement de toutes les cpiestions relatives aux éf|nations, n'est eneore cpte peu avancée. [jif;ran<{e n'avait fait rpie refflenrer; (laileliy l'a abordée à plnsieurs reprises. MM. Bertrand, Briosehi, Hermile, Rrôiieeker, J.-.-X. Serret, E. .Mathieu s'en soiit é>!;alement occupés; mais, malgré rimporUmce de leurs travaux, la (|nestiun était .si vaste et si dillicile, «|u’elle reste encore pre,scpie entière. Trois notions fondamentales commencent cepi'ndant à se dégager : celle de la primitivité, cjui se trouvait déjà indir|uée dans les Onvi’ages de Gauss et d’Ahel; celle de la transitivité, cpii appartient, à Gauchy; enlin la distinction des groupes simples et composés, ('.'est encore à Galois f|u’est duc cette dernière notion, la plus importante des trois.

T.e, but de cct Ouvrage est de développer- les méthodes de Galois et de les constituer en corps de doctrine, en montrant avec quelle facilité elles permettent de résoudre tous les principaux problèmes de la théorie des écpiations. Pour en faciliter l'intelligence, nous avons pris notre point de départ dans les éléments, et nous y avons exposé, outre nos propres recherches, tous les principaux résultats obtenus par les géomètres qui nous ont précédé. Mais nous avons souvent modifié assez profondément l'énoncé et le mode de démonstration de ces propositions, afin de tout ramener à «les principes uniformes et aussi généraux que possible. L'abondance des matières nous a d’ailleiii's contraint à supprimer tout iléveloppement historique. C’est ainsi «pie lunis av«)iis dû laisser «le «:ôté,- non sans regret, la célèbre «lémonstrati«>n donné«‘ par AIh‘1 «le l'impossibilité «le résoudre par radicaux l’é«p»ation «lu cin«|uième degré, ce lieaii théorème pouvant aujourd'hui s’établir par des considérations beaucoup plus simples.

Parmi les Ouvrages «|ue nous avons consultés, nous devons citer

Mil" ' PRÉFACE.

Iwrtk’iilit'miHMit, oiitiv les OKiivres de Oalois, tkint tout cwi 'n’eiJ. <|ii’iiii (loinnicntaÎM*, le Courx d' Algèbve suph-irure de M. J. -A. S«*iTet. (]'est la lecture assidue de ee Livre <|iii nous a initié à I’ \lj;èl>re «"t nous a inspiré le désir de eouti'iliuer à ses progivs.

Nous tenons également à remeis-ier ici MM. (lleltseh et Kronecker des précieuses iiidieations qu’uns nous ont foiiiiiies. C’est gi-iee aux liliérales eoiiimunications de Al. Clehseli qiie nous avons pu ahorder les prolilèiiK's gétHuétricjiies du Livre 111, (iliapitre III, l'étude des groiqics deSteiner et la trisection desl'onetioiis liypei-ellipliqiies. .\ou> devons à M. K roneeker la notion du groupe des éipiations de la <livision de (•«■s dernièix-s fonetions. iNons aurions désiré tirer un plus grand parti ipie nous ne l'avons fait des travaux <le cet illustre auteur sur les équations. Diverses eauses nous en ont einpiH-lié ; la nature tout arithmétique de s<*s méthodes, si difl’érentes de la notre; la dilTiculté de reconstituer intégralement une suite de déinoiistnitions le plus souvent à peine indiquées; enlin l’espéianee «le voir grouper un jour eu un corps de doctrine suivi et complet ces beaux théorèmes qui l'ont maintenant l’envie et le désespoir '<les géomètres.

Cet Ouvrage se divise en quatre Livi'es :

Le Livre premier est eonsaeré aux notions indispen.sables relatives à la théorie des congruences.

1æ Livre II se jwrtage en deux Chapitres, consacrés, le premier à l’étude des substitutions en général, le second à celle des sidistitutions dont la fonne est délinie analvtiquement et princijvaieinent à celle des sid)stitutions linéaires. ,

* Le Livre III contient (|uatixî Cltapitres. Dans le |)remier, nous pos<viLS les principes île la théorie généiale des érpiations. Les trois suivants renferiiient des applieati<Mis à l’AIgèbie, à la Céométrie et à la théorie des tratLseendantes.

l'adin <lans le Livix' IA , divisé en sept (Chapitres, nous déterminons les divers types généraux d’équations solubles par ladieaiix, et nous obtenons pour ees tvpes un système complet de elassilicatioii.

TABLE DES MATIÈRES

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Ntr.ux. .. '

TTxrnvt v . . ’

r Ldtnii rnanic.n.

DES CONGRUENCES

§ i. — PrcHÙ^rr éliuiê tien cangrurHct'H,

" t ’i. DéiiniUon des congruences. R<^solution deâ c ngruenreà du |>remier de^ . ; . . 1

Congruence» de degréts sapârieurs. — Nombre de leurs ncines j"

* SI. II. — Pes congmtwra binAiues, — J)cs rpxitàts tft" puhsances.

liO. Tbôorêmes de Feniml et de Gau»a,...w • 7

li’li. Racines prtmiüves. — Leur nombro ^ 8

<^•14. Cas où le modifie est une puissanco d*«n nomhre premier *. n

Solution des coTHirnencea binômes. — R^lildus Quadratt<TUW« . « . t v il

§ ni. — Ththrie tic Cnhi».

I7«32. Omgruénc(*8 irréductibles de degré >; leur existence; leurs propriétés...*, i4