Nous pouvons donc énoncer le tbéorimie suivant

TiiéoRèniK. — .SwV

A = I X, x', . nx é.i ' -e . . , n'x -f b'.r' |

u/ii- substitution linéaire (fueleonqtie à coefficients entiers entre n indices variables chacun de o à /i — i ;

Soient K, F',... les facteurs irréductibles de la congruence de rfe^'cr n

Io — K a' ' ■ ■ i h . A'— K ■ ■ • j O (iiioii. /));

/, leurs degrés respectifs ; rn, m',... leurs degrés de multiplicité;

On /Kiurra remplacer les n indices indépendants x, x',... par d'autres indices jouissant des propriétés suivantes ;

i" Ces indices se partagent en systèmes éoircs/ioridants aux divers facteurs F, F’,... et contenant lespectivement Im, l'm’,,., indices;

a" Soient K,, K,,..., K/., les racines de la congruence irréduclilde F .o mud. /; ) ; les Im indices du système corresjiondant à F se partagent en l séries correspondantes aux racines K„, K,,..., K/.,:

A" Ixs indices de la première série de ce système sont des fonctions linéaires des indices primitifs, dont les coejjicients sont des entiers complexes formes

avec r imaginaire K„ ; Us constituent une ou plusieurs suites y,, a,, ;

) „, s’, (‘) telles, que A remplace les indices y ï„, d'une, même

suite res/iectivement par K„ v„, K„ {;, -f- y,), K„ (i/„ -i- z,j ;

,'i" Ixs indu es de la r-h i série sont les fonctions >> , a, , u^,...\ »V ■ î respectivement conjuguées des précédentes, que l'on forme en v (*) *

(*) Nous désignons ici [wt 3,. ... I*** indin-s qui étainni apiwlc:, V„ Z,,... dan;, le coins

de la démonslralion (IMi).

lüi UVRE DF.LTXlEMt

remptofanl par Kri A les remplace rtspecùvemenl par y, , K,(Sr-(-y,),

Zr),.

r.eiie l'urroe simple

,^’tt “I »

R*( s*i- Vf )* Kf( w, -f- îi , Kft*,,.-- K,y„ K,(i, -r v.), K,(u, -+-*,) K, . r ',.•••

à kiijuêlle on peul ramener la .substitution par un clioix d’imlices convenable, sera pour nous sa forme canonique.

§ VI. — Q 0 F, s T I O Jt s DIVERSES.

Ordre des substitutions linéaires.

ISS. Pi(oiu.ii.ME I. — Former à priori la puissance /. d'une substitution donnée A.

Hamenoos la substitution .V à sa forme canonique, eumme il est iniliqué an théorème précédent. On voit, par une induction immédiate et facile it vérifier de proche en proche, que est égal à

>«» 2f, Wf».«

[ . >.{/-!) 1 H|4- Vi

Vf, . . .

et cette substitution pourra être aisément exprimée au moyen des indices

primitifs®, x",.... En effet, s„, o„ v', y,. z„u y'

étant donnés en fonction de x, x',..., on aura, en renversant ces relafinns,

y. ,v.. Z,. Il ... e ).

A' remplacera donc x, x’.... respectivement par y K‘„yo. 3tya;,...J,

DES SL'BSTITLTIOSS. 1S7

X'-Kôj,, K‘„(îo + : substituant dans ces dernières foni'lions à

la place de^,,z„,... leurs valeurs en on aura l’expression de la siib-

sfiiiilion A’ rapportée aux indices primitifs x, x',

I5!t. Problèmk II. — Trouver r ordre de la substitution A.

I.’ordre de la substitution A est, par définition, la plus petite valeur de X telle, que se réduise à l'unité. Pour que cela ait lieu, il faut qu'on ait simultanément

(4) K; = K; SS., .aai, k‘,X^u, '^ = o K,“æi,... (moil. /i).

Soit P le nombre d'indices contenu dans la plus nombreuse des suites y„ îo. H»....: y„ s,, u -, y',,...;...; v : on aura ainsi

( mod. p).

Supposons, pour fixer les idées, i|ue^* soit la plus haute puissance de /i inférieure à p : les relations (5) montrent que X est divisible par p''*' ; et réciproquement, tout nombre divisible par/<’"^‘, mis à la place de X, satisfera à ces relations.

En effet, la première de ces relations montre (|uc X est divisible par />. Soit />’ la plus haute puissance de p qui divise X : a ne peut être < ç -t- i ; en effet, si cela avait lieu, parmi les relations ' 5), on aurait la suivante :

îo (iiiod.p).

Or, X étant divisible par p', il est clair que, pour tout nombre p inférieur à /»*, X — fi et pt seront divisibles par la même puissance de p : donc les deux produits (X — i)..r(X — />• -t- i) et i . a... (/>* — i) contiennent le facteur p le même nombre de fois. Donc X(X — i)... (X — />' -i- ij et i . a.../>* coiitien-

draient le facteur/) le même nombre de fois, et par suite • ne pourrait être divisible par p.

Réciproquement, si X est divisible par /)♦’■', toutes les relations (5) sont

satisfaites; car soit ~ ^ =" ("•'•d. p] ruue- d’elles; r étant

moindre que />**'', contiendra le facteur p à une moins haute puissance que X; d’autre part (X— i ^...(X — r -e i) sera divisible par la même puissance de p que 1 . i...(r — i) : donc la relation sera satisfaite.

li-t LIVRE DEI XlfeME

Pour ()iie A' se réduise- à runilë, il faudra en outre satisfaire aux relations

K‘„ K‘ I , K,; — Soient respceliveuicnt â, â',.. . les plus petits

nniubres qui, mis â la place tic À, satisfont séparément à ces diverses relations, d le plus petit multiple de à, è',... : X devra être divisible par d.

Or d est premier ii /f, car si K„. sont respectivement des imaginaires d'ordre V, v' on aura K/,’’ ' - ■ i Désignons par fc

le plus petit multiple de v. v',. . : /r'*-- i sera un multiple de/»'— i ,/»’'— i .... :

ce sera donc un multiple île ebacune des quantités d, d' cl par suite un

multiple de d. Mais il est premier à p : ilonc d l'est également.

Le nombre /, devant être un multiple de chacun tics ileux nombres d et />*■*', premiers entre eux, sera un multiple île dp^"^'. Réciproquement, il est clair que se réduit à l'unité : donc X = dpi*' .

160. Hemargue. — Si la substitution .A se réduisait à la Ibrme

I .V., .t . .r., y ■ ■ K. ». K, )■', K, r„ Kl )•■, . . ., K ,I'„. . . (,

ou cbaqiic indice est multiplié par un simple facteur constant, les relations ' se réduiraient aux suivantes :

Si; ==. . . . 1 , K i l I , . . ,

et X SC réduirait à d.

161. ConuLLAiKE. — Si l'ordre de A est égal à /», on aura - .. i. d'où K;’ == 1 . Mais on a d’autre part K';'”’ *:=i i , d'où K„ ^ K;' — i . On a de même K, == I I , — Dune la congruence caractéristique de toute sub.stitution linéaire d'ordre /» a ses racines réelles et égales à l’unité. Celte substitution peut donc être ramenée a la forme canoniquo par une transformation d’indices réelle.

SubstuuUons échangeables à une subslilution donnes.

162. Phublèsik 111. — Miermincr la Jorme générale et le nombre des subslitulions bnéaires échangeables à une substitution linéaire donnée .A.

Supposons A ramenée à la lorme canonique, et soit, pour lixer les idées, A = I r.. y„ z„ V, h, r„ K,( K. K'i- |.

la»’

DES srBsrmrrioNs

Pnur qu'uiif antre Hubslitution linéaire

H = I »•„ J., Ai,+ c/, -t- (/j. -t- a' r. -* A' î, n' v, + |

soit échangeable à A, il faudra <|ue lc!< deux substitutions AB et BA remplacent chaque indire par îles fonctions respectivement identiques; d’où les relations de condition

«K, r. AK,(j, -I /,) -i ck./, -1 i/K,(j, ‘ ,Vi)-t cK'i'

^ K, ( ay, ■+ bz, — cy, -t- dz, ■+■ ev ),

n'K.r,-,- 6'K.(î,-i-r«) c'k,K, -f >',) cc'k'c

K.(n'/,-t- 6'î, c*/, -I- i/'ï, -- l■'v-^-ay,-\ Aî, -i- ce. -ç f/i, -r- ec ),

Kgalant les coefTicients de ebaqiic indice dans les deux membres de cbacnne de ces relations, il vient, entre autres relations, les suivantes :

cK'b^K.c, i/K. k,</. cK ^(/k, k, c,

e'k'- k.e't k. e, rf’k.^k, rf'-i k.if, c'k, </k, k. c' -i- k, c. '

et comme K, et K' ne sont pas congrus à K,, on en conclura necessaircnieni cjso, rf=o, puiscE=c<>, d' : — O, e'~ o, et enfin tf^o.

Donc, pour que ta subslilufion B soit échangeable à A, U es! nécessaire quelie remplace les indices y,, ««. d'une même série par des /onctions de res seuls indices.