CHAPITRE TROISIÈME

A. DES DEVERSOIRS.

Nous avons vu, au chapitre précédent^ que la formule deladépeuse théorique, pour un orifice assez petit et en mince paroi, est la suivante :

Si l'orifice est rectangulaire, la section S peut se représenter |)ar L^, où L est la largeur et z la hauteur ; de là :

Pour appliquer à cette formule les notations de la fig. 52, il suflit d'y faire s = H — A et H' = AB= — ; Ton ohtient alors :

Quant à la dépense réelle Q, c'est lexpression qui précède multipliée par le coefficient de correction m, dont la valeur moyenne est 0,61 à 0,62, d'après MM. Poncelel et Lesbros ;

Ou bien

Soit

Q = mL(H«/i)Y/%(-^— ) Q = Y/ imL(H^/i) \//^g{H+li)

Q=m'L(H-/i)l/2flf(H-f-/0 (i)

Ceci posé, si, au lieu d'un orifice mnj'an pratique une échanerure reclanguiairc découverte à sa partie supérieure A, et telle que le côté inférieur n soit une horizontale, la formule (i) devient, en y faisant h = :

Q=m'LHl/"2^ (2)

Or, les circonstances que nous venons de supposer sont celles d'un déversoir, c'est-à-dire, d'un orifice découvert à sa partie supérieure, eldont le bord inférieur est une droite horizontale appelée seuil.

Il nous reste à prouver que la formule (2) exprime rigoureusement la dépense réelle; que, par conséquent, elle a été légalement déduife. Il faut avoir soin de remarquer néanmoins que nous avons négligé la vitesse v que le liquide pourrait avoir à Tamont du déversoir, ou plutôt en amont du point C (fig. 55) où la surface comntence à s'infléchir vers le seuil. Le plus souvent, il est impossible d'admettre que le fluide soit en repos à son arrivée au point G; il faut alors remplacer H par H + A', la valeur de A' étant donnée par l'équation : v^ = ^gh\

L'on admettait primitivement que les filets liquides, après avoir parcouru la courbe parabolique Cm (fig. 33), avaient acquis, en m, la vitesse due à une hauteur Am = h; que, par suite, l'écoulement se faisait comme par un orifice rectangulaire mn (fig. 52); c'est-à-dire que la dépense s'exprimait par la formule (1), légèrement modifiée quant à la valeur de m' : Ton augmentait un peu ce dernier par le motif que la veine ne se contracte pas, en réalité, sur le bord supérieur m.

Mais l'expérience a fait voir qu'il n'en est pas ainsi, et que l'on se rapproche bien plus de la réalité en calculant la dépense comme s'il n'y avait pas d'inflexion, et que, par exemple, l'orifice fut reculé en CD sur toute la hauteur H.

C'est, en d'autres termes, introduire h =o dans la formule (1), ainsi que nous l'avons fait.

Quant au coefficient m', cherchons quelle doit être sa valeur, logiquement calculée ; nous verrons ensuite celle qui a été donnée par expérience.

Si, dans la rebition :

»'=»Vt

Nous remplaçons m par sa valeur 0,615 qui correspond aux orifices rectangulaires/il arrive :

Or, il résulte de nombreuses observations faites par Dubuat, Brindiey, Smealon, Eylelwein, D'Aubuisson et Bidone, que le coefficient m' varie de 0,40 à 0,47 suivant les charges, et que sa moyenne est d'environ 0,42.

MM. Poucelet et Lesbros ont fait aussi plusieurs séries d'expériences, à Taide du grand appareil avec lequel ils avaient déjà fait celles que nous avons rapportées pour les orifices en mince paroi (voir les tables). Nous rapportons, à la table F, un extrait des nombreux résultats qu'ils ont obtenus. La largeur du déversoir était constante, et égale à O'^SO.

Cette table présente une conclusion remarquable, c'est que le coefficient diminue notablement à mesure que la charge augmente. Ce fait est en opposition complète avec les phénomènes observés par Ëytelweiu, Bidone, D'Aubuisson, etc. Mais il est à remarquer qu'Eytelwein et Bidone, dans leur manière de déterminer les coefficients,

n'ont point su tenir compte exactement de la vitesse v ^=V ^gk' qu'avait le liquide à son arrivée en m (fig. 53); Eytelwein l'a complètement écartée, et s'est servi simplement de la formule :

Q == m'LH l/lsiS" et les valeurs qu'il a trouvées pour m' n'offrent aucune continuité dans la variation. D'Aubuisson a introduit Taction de v dans les différents cas examinés par Eytelwein. A cet effet, il s'est servi de la formule :

Q = m"LH y/2i^(H + -^)

Pour déterminer v, vitesse à la surface, il a cherché, par expérience, la vitesse moyenne U en divisant la dépense par la section U (H-f-np) où V est la largeur du canal. Il en a cooelu v par la formule de De Prony : U = 0,80 v. Comparant alors les données d'expérience avec les valeurs de Q tirées de l'équation (3) il a recueilli

une série de valeurs m'\ aussi peu régulière que celle d'Eyielweiii, mais dont la tendance générale se rapproche davantage des conclusions de MM. Poncelet et Lesbros.

Bidone, dans ses expériences, a distingué les deux cas, de t> = o

ou à peu près, et de t; = 1/ 2gfA', c'est-à-dire, le cas où la section de la niasse fluide au-dessus du seuil est assez petite, et celui où elle est grande par rapport à la section du canal, un peu avant d'atteindre le seuil.

Le canal employé avait 55 mètres de longueur, et une largeur de O'^GiS. L'eau était reçue, pendant quelques minutes, dans un bassin de jaugeage, et la dépense Q était ainsi connue.

Pour réaliser d'abord les conditions d'une vitesse v très-faible, il fut établi, à l'extrémité du canal, trois déversoirs tels que leur section respective LH fût 22, 17 et 15 fois plus petite que celle du prisme liquide en amont, abstraction faite de toute contraction ou inflexion. Bidone trouva, en moyenne :

m' = 0,403 calculé sur la formule :

Q = m'LHl/25ir (2)

Dans le second cas, le même canal fut barré sur toute sa largeur, et sur une hauteur constante de QU'ISS? au-dessus de son radier. Bidone fit six expériences, en modifiant successivement le niveau GA de façon à porter la section du courant de 3,18 à 1,80 fois celle au déversoir, c'est-à-dire LH étant 1 . Si l'on calcule, d'après ces expériences, les valeurs correspondantes de m', par la formule (2) d'une part, et celles de m", par la formule (3) d'autre part, l'on obtient, en moyenne :

m' = 0,400 et m" = 0,580

Ici encore les valeurs de m', quoique d'une variation irrégulière, semblent croître avec les charges ; le contraire se produit pour m" ,

Bidone a calculé les coefficients de la dépense de la même façon, dans les deux cas précités, c'est-à-dire, au moyen de la formule (2). Il en est arrivé à conclure que ces valeurs sont presque identiques,

soit pour une vilesse primitive v presque nulle ( 55 ')> soit pour v

— 108 ^ égal à -^ , et même davantage, de celle avec laquelle le liquide fran*

chîl le seuil. L'on s'explique faeilemenl Torigine de celte erreur par cette circonstance que, dans les résultats de Bidone, Il est donné comme étant la hauteur à laquelle Teau s'élevait dans la branche verticale d'un tube recourbé, dont la branche horizontale, plongée dans le liquide qui arrivait au déversoir, en recevait le choc; or cette hauteur n'est plus H, dans l'acception de nos formules, c>st-à-dire la différence de niveau entre le seuil m et le niveau CA, censé non in-

fléchi : une teHe hauteur est H + -^ . Cependant comme Bidone dit

formellement (1) dans son mémoire que la hauteur de l'eau dans te tube a toujours été la différence de niveau précitée, ou H, U est impossible de tirer la moindre conclusion sérieuse d'expériences qui eussent été très-importantes si H y eût été déterminé d'une façon claire, et non avec la double incertitude d'un instrument inexact et d une vitesse additionnelle imparfaitement indiquée.

Quelques observations faites par D'Aubuisson, sur un déversoir de O'^SO de largeur, ne présentent rien de remarquable; sa moyenne a été : m' =^ 0,41, et le coefficient paraissait encore croître avec la charge.

Si l'on considère les résultats de la colonne 1 de la table F, colonne qui correspond à une contraction complète, c'est-à-dire à un déversoir en mince paroi dont le seuil est assez éloigné du fond et des parois latérales du canal d'amont, l'on remarque que m' n'a pas une valeur constante, mais qu'elle suit une série décroissante continue, sans ctro progressive, depuis la plus faible charge jusqu'à la plus forte employée; qu'en second lieu, elle a varié de 0,371 à 0,424, dans les limites des expériences ; la moyenne serait donc environ :

Mais, notons-le bien, cette valeur doit varier suivant la charge, ou

plutôt suivant le rapport -r- , car, d'après la colonne 3 de la table F,

In contraction latérale a une influence notable ; et, comme les plus

(4) Mémoires de V Académie des sciences de Turin, 4824, t. XXVIIl ; Expériences fiyr îa dépense des réversoirs, par Georges Bidone.

Tories valeurs dem' correspondeni aux plus petilos charges, Tinfluence de la conlracljon esi d'autant plus forte que la charge devient une fraction plus grande de la longueur L.

La moyenne m'=0,40D se rapproche beaucoup de celle de Bidone; Ton pourra donc, dans la pratique, adopter la formule de cet émiiient hydraulicien, pour calculer la dépense :

Q = 0,405 LH l/l^ (a)

pourvu que la section du réservoir soit fort grande relativement à celle de Torifice. Si la contraction élait supprimée latéralement, c'està-dire, si le déversoir était établi sur toute la largeur du barrage, Ton prendrait ;

Q = 0,45 LH l/l^

conformément à la moyenne des résultats de la colonne 3. Quant à rinfluence d'une contraction nulle sur le fond, elle est trop peu importance j)our en tenir conapte , à moins que la charge ne devienne très-forte, ainsi que semble l'indiquer la colonne 2 de la même table.

Concluant d'expériences déjà mentionnées, Bidone a trouvé que le coefficient m' rest.e à peu près constant et égal à 0,405 environ, que les bords verticaux de J'orifice fussent ou non dans le prolongement des faces latérales et parallèles du réservoir, le fond de ce dernier restant à une certaine distance du seuil. Nous avons fait remarquer combien ces expériences de Bidone présentent d'incertitudes.

M. Sfeichen (1) explique le peu d'infltience soi-disant produite par la suppression de la contraction latérale des orifices en déversoirs par l'augmentation sensible des résistances dues aux parois verticales du canal d'amont, résistances dont l'effet serait de détruire une certaine partie de la charge génératrice ou de la vitesse d'écoulement au sortir de l'orifice.

Les résultats des expériences de MM. Poncelet et Lesbros rendent cette explication complètement inutile, en réduisant à néant le principe.

(\ ) CouTH de mécanique appliquée donné à Vtcole militaire de Belgique.

La formule pratique (a) est donnée par D'Aubuisson sous une autre forme, au moyen des transformations suivantes :

Q = m'LH 1/2^ = m' l/ îgfTLH l/Tr= 0,405 {/If. LH l/ ÏÏ" Q = i,80LHl/ir (h)

Le multiplicateur 1,80 correspond à une valeur de m' = 0,40S, et par suite, à une valeur de m = 0,367 au lieu de 0,615, coefficient moyen des orifices en mince paroi. L'expérience a donc tenu compte de la différence qui existe entre un orifice ordinaire et un déversoir.

Les formules (à) ou (b) servent à résoudre toutes les questions où Tune des trois quantités Q, H, L est inconnue. En voici deux exemples.

L Étant supposé un bassin entretenu par un cours d'eau qui fournit 5""' par seconde, à quelle profondeur, en dessous du niveau, faut-il établir le seuil d'un déversoir, de 3™ de largeur, pour que ce niveau reste constant?

L'on posera : Q == 3, L =2 dans la formule (fc), par exemple, après y avoir exprimé H en fonction de Q et L :

H. Ce deuxième problème est emprunté à D'Aubuisson : étant donné un étang, alimenté par un ruisseau et se vidant par un déversoir de l'"30 de largeur, l'on suppose qu'à certaines époques il arrive des crues, telles que les eaux s'élèvent à l'^SS au-dessus du seuil, et qu'il se produise des inondations en amont. Afin d'éviter cet inconvénient on veut baisser de 0™65 le niveau de ces grandes eaux, et en mémç temps s^arranger de façon qu'elles ne s'élèvent pas à plus de 0'"60 au-dessus du seuil ; quelle sera la largeur à donner au déversoir pour réaliser cette combinaison ?

La dépense Q est donnée ici implicitement, par l'hypothèse que le niveau s'élève de 1"»25 quand L = l'^SO; l'on en conclut :

Q = |"80 X 1"30 X i"25 X l/l»25 = Z^Hl

Le problème revient à eeliii-ci : étant donné une dépense Q = Z"^ et une charge H =»= O'^BO que Ton veut avoir au-dessus du seuil, déterminer la largeur L. De là :

1,80X0601/1^60" II peut arriver que Ton n'ait pas à sa disposition les moyens de nivellement nécessaires pour déterminer directement H. Comme il est toujours facile de mesurer mn (fig. 35) ou Tépaisseur H — A = H' de la lame d>au sur le seuil (en mince paroi), plusieurs savants ont cherché la relation qui pourrait relier entre elles ces deux qoantités.

Dubuat admettait que le rapport -jr- fût constant et égal à 0,50.

Dans la seconde des expériences d'Eytelwein, citées plus haut, ce rapport a varié d'une observation à Tautre, et il s'est rapproché d'autant plus de l'unité que le déversoir était plus étroit et la charge pins forte. Guidé par de hautes considérations théoriques, Navier le porta

à 0,725 ; Robisson le trouva égal à 0,714 ou — , à la suite de mesures effectives opérées directement.

D'après quelques observations faites sur de larges barrages, D'Aubuisson admit d'abord cette dernière valeur; mais d'autres expé-

riences vinrent lui démontrer que le rapport — est variable, et

qu'il croit en raison inverse du rapport — où L est la largeur du

déversoir et U celle du bassin d'amont.

Depuis, MM. Ponceiet et Lesbros ont reconnu en outre que H' croit avec la charge H. Comparant leurs observations aux résultats des mesures prises par Bidone et Eytelwein, ils ont établi la relation

suivante entre H et H\ pour tous les cas où — est inférieur à 0,40,

c'est-à-dire pour ceux où la largeur V du bassin d'arrivée est au moins 3 fois celle du déversoir :

H -= H' H- 0,0009 -)- 1/ KH' -h 0,00000081 (c)

dans laquelle :

K = 0,0000196 ho X i^^^ - ^5,50J* 1

Cette formule d'iiUerpolation (c) peut se représenter comme sull, en exprimant le tout en millinuUres :

H = H' + 0,90 + [/ KW + 0,81

Nous avons vu, dans le chapitre II, que si un orifice en mince paroi esl suivi d'un canal découvert de faible pente, le coeflicienl de correction de ta dépense théorique Q = (tI/ 29H (où H esl la charge sur le centre) est généralement plus faible que celui qui convient aux cas analogues d'un orifice simple sans canal supplémentaire. (Voir les tables B', C, D', E' de Lesbros.) Linfluencedu canal additionnel esl cependant presque nulle quand la charge devient forte.

Le même phénomène se présente pour un déversoir lorsque le seuil w (fig. 34) est prolongé par un canal ou coursier découvert de même largeur et de faible pente. Le coefTicient m" y est inférieur au

coefficient m' de la formule Q = mXIlV/ S^H correspondant aux cas analogues, mais sans coursier dans le prolongement, et sa valeur est susceptible de varier notablement d'un réservoir à un autre.

♦Ml'

D'après les expériences de M. Christian ^ le rapport —77 serait

égal à 0,96 ; de sorle que, pour m' = 0,405 l'on aurait m" = 0,40.') X 0,96 = 0,39. Mais celte valeur est un peu trop forte; elle correspond d'ailleurs à l'hypothèse de L = L', c'est-à-dire d'une conlraetion nulle sur les faces latérales. Il résulte dès observations de MM. Castel et Lesbros que l'on peut prendre moifennemenl pour m" la

valeur - m, et pour formule :