I. L'éGOuleinent étant permanent, et à nimau constant

Dans toutes les circonstances de Técoulement des Jiquides par un oriflce percé dans un réservoir, nous avons pris pour vitesse moyenne de la veine celle qui correspondait à la charge sur le centre de cet orifice. Nous avons admis en outre Thypothèse du parallélisme des tranches ou de l'égalité des vitesses en tous les points de la section desortie.

Lorsque les ouvertures d'écoulement ont des dimensions assez grandes, ou bien encore lorsque l'orifice n'est pas petit par rapport à la charge H, comme cela se présente ordinairement pour les vannes, les suppositions admises plus haut ne sont plus tout à fait exactes, au point de vue de la théorie. Il devient alors plus rigoureux de limiter l'hypothèse des vitesses égales aux filets fluides qui se trouvent à une même distance en dessous du niveau du réservoir; divisant ensuite l'orifice en tranches horizontales fictives d'épaisseur infiniment petite, l'on calcule, par intégration, la dépense qui se fait par Tensemble de ces tranches, c'est-à-dire par l'orifice d'écoulement.

Adoptant les uotartions de la fig. 3â, l'on obtient pour la dépense théorique :

Car la dépense par une tranche élémentaire est L d^ \/ igz, où z est la charge, c'est-à-dire la profondeur de cette tranche en dessous du niveau AC.

— fl4 — Delà:

Ou bien :

Q = 2,866 l|h« -fc^J (m)

Nous avous vu que, pour uu orifice assez petit, la formule daus les mêmes circonstances serait :

Q' = L(H-fc)Y/2flf(-!^:^) (n)

Or, dans un mémoire sur le jaugeage des eaux courantes, M. De Prony a prouvé que les équations (m) et (n) ne diffèrent entre elles que par un coefficient variable, s'éloignant fort peu de funité ; ce résultat est confirmé par les expériences de M. Lesbros qui a déterminé les coefficients de correction dans Tune et l'autre formule. L'on peut en conclure que les résultats des expériences sur l'écoulement des liquides sont représentés avec autant de continuité et de régularité par la relation (n) qui est la plus simple ; les coefficients de correction à employer ne sont pas plus constants pour Tune que pour l'autre de ces formules, et, sauf le cas d'une charge excessivement petite, ils ne diffèrent presque pas entre eux.

Nous prendrons donc, pour tout orifice, la relation :

Q^fn'L{n^h)y^^gf^^^^

comme expression de la dépense effective.

Généralement, lorsqu'on ouvre une vanne, la masse liquide ne s'écoule pas directement à l'air libre en décrivant sa parabole; le pertuis est souvent prolongé par un canal découvert d'une faible longueur et d'une pente plus ou moins rapide ; dans le cas le plus ordinaire le fond et les côtés du coursier sont dans le prolongement des bords intérieurs de l'orifice. (Fig. 35.)

D'après Bossut, la dépense serait la même que si te pertuis n'était pas prolongé ; et Dubuat a admis cette hypothèse pour tous les cas où il n'y a pas remous, c'est-à-dh*e pour ceux où l'eau du coursier ne vient pas refluer vers l'orifice» et modifier ainsi la veine et la vitesse.

Celte dernière coiiditioD implique la uécessité d'uae forte charge et d'uoe grande ouverture d'écoulement, ce qui se présente le plus fréquemment dans la pratique.

Quoique les expériences de Lesbros, indiquées aux tables B'CD'E', se rapportent à un coursier horizontal. Ton peut eu conclure que Tinfluence d'un canal additionnel découvert est nulle pour de fortes charges, et qu'elle va en croissant à mesure que celles-ci diminuent, contrairement à ce qui se passe dans les orifices en mince paroi, assez pe/tV^ et débouchant librement dans Fair.

Faute des tables précitées, Ton peut admettre que la vitesse est altérée par le coursier dans le même rapport que par l'existence d'un étranglement brusque. Ainsi, appelant encore m'' le coefficient m'

modifié par l'action du conduit supplémentaire, le rapport — ^ , ou

des vitesses, serait donné par 1 expression :

daprès la formule (2) donnée en 6 au chapitre 11 § B. Faisant m = 0,615, l'on en tire :

m Mais cette règle n'est pas tout à fait exacte, car le liquide du coursier est libre à la surface, et n'y éprouve pas de perturbation dans son mouvement, comme cela a lieu dans les tuyaux.

Dubuat considérait la question comme celle d'un orifice noyé dans l'eau d'un réservoir inférieur, censé très-grand par rapport à la section (7 de sortie (fig. 10). Par suite, il prenait pour formule :

« = 0,85 (7 1/ 2flf (H ~ h) Le principe des forces vives conduit à une formule plus générale et plus sûre que cette dernière. Représentons par :

(T et S' l'aire des sections de forifice et du canal, en un point où

le régime est à peu près uniforme, u et U les vitesses respectives dans ces sectionSi H — h h différence du niveau d'eau entre te réservoir d'amont et le canal additionueh

D'après ce que nous avons trouvé en 6 chapitre H $ B, nous pouvons poser : '

-sT-

gy(H-ft)

El, pai' suite :

2sr(H-fc)

formules auxquelles il n'esl pas nécessaire d'appliquer le coeflicient de correclion, el qui, d'après M. Poncelet, concordent assez bien avec les résultats des expériences qu'il a faites de concert avec JVf. Lesbros. L'on aurait de même :

mv y/ mM / m<T \*

Q = mon = ..... etc.

Si, dans celle expression de u, Ton suppose a très-petit par rapport à S', l'on tombe sur le cas de la lîg. 10, c'est-à-dire sur celui où Torifice est noyé dans Teau d'un bassin inférieur Irès-étendu ; l'on obtient alors :

tt = 1/ 2^ (H - fe)

L'on arriverait encore à ce résultat en posant : S'= nw; mais dans ce cas M == U. Cette hypothèse est impossible avec l'idée d'un remous qui modifierait la vitesse; elle ne convient donc, tout au plus, qu'aux écoulements sous de fortes charges et par de grands orifices.

H. Le niveau du réservoir d'amont étant variable.

Si un réservoir reçoit moins d'eau qu'il n'en dépense par un orifice ouvert dans une de ses parois, le niveau baisse graduellement et la vitesse U du liquide, à l'orifice, diminue proportionnellement aux

racines carrées des hauteurs de charge; en effet, les vitesses de sortie sont données par la formule :

et, comme la loi des racines carrées des hauteurs est le caractère distinctif du mouvement uniformément retardé, Técoulement se fera ici avec ce mouvement, et il jouira des propriétés de ce dernier. Or, d après les lois du mouvement uniformément retardé, si une masse m, lancée avec une vitesse initiale v, parcourt un espace e en perdant sa vitesse suivant les racines carrées des hauteurs, jusqu a ce que v = o, cette même masse m, lancée avec la même vitesse v, décrirait un espace 2e, dans le même temps, si elle conservait toujours sa vitesse de départ.

L on peut en conclure le principe suivant : Le volume d'eau sorti par un orifice percé dans un réservoir prismatique qui se vide, nest que la moitié de celui que l'on aurait obtenu si le réservoir avait conservé la charge initiale et que la dépense eût été mesurée pendant un temps égal à celui que le réservoir emploie pour se vider.

Soit donc H la charge primitive, S la section du réservoir,. T le temps qu'il met à se vider. Le volume Q d'eau écoulé pendant cette durée T est SH (fig. 32). Le volume qui se fût écoulé, dans le même temps T, sous la charge H, eût été 2SH d'après le principe précédent, et comme ce même volume, ou la dépense Q' pendant le temps T, est représenté aussi par :

(y = m'L (H - /i) ^%g {^^^) X T Ton peut poser :

2SH = m'L (H - h) W^g [^^) X T

d'où :

Celle formule (o) convient aux grauds pertuis ; elle peut s'exprimer

sous une forme plus simple si Torifice est assez petit par rapport à la section du réservoir; Ton posera alors, avec Toricelli :

et, par suite :

2SH ^^g ^" - ^ .S^"

mtr V 2^H mrt V ^g V'ig

S ma

Si Ton représente par T' le temps que le volume SH eût employé pour s'écouler entièrement, sous la charge H demeurant constante, Ton eût encore obtenu :

SH == mtsV Vl^ SH J^

cest-à-dire que le temps qu'un bassin prismatique emploie à se vider est double de celui qui lui serait nécessaire si la charge initiale fût restée la même pendant Técoulement.

L on peut encore avoir à résoudre la question suivante : chercher le temps t nécessaire pour que le niveau d'un réservoir descende d'une quantité donnée A.

Il suffit de calculer, d'abord, le temps T qui s'écoulerait depuis l'origine jusqu'à ce que le réservoir soit vidé, et qui est approximativement :

T = 0,45— l/TT me

puis, le temps T' qu'il mettrait à se vider à partir du niveau

H — A = H' ; ce sera :

T' = 0,45 — VW mu

La soustraction T — T' donnera t :

Si les sections 8 étaient variables d'une façon régulière ou au moins

bien déterminée, il serait facile d en tenir compte. Il faut aussi employer la formule (o) si les pertuis ont des dimensions assez notables.

De lequation (q) Ton peut conclure rabaissement h, en fonction du temps et de H; il suffit d'y chercher H' pour Tintroduire dans H — W = h. L'on en peut tirer aussi le volume d'eau Q" écoulé en un temps donné t : c'est évidemment SA, si l'on suppose toujours que les sections S du bassin soient égales.

L'on obtient donc, au moyen de l'équation (q) :

D'où :

2 mfTt

(^^-ms)

Q' = Sfc =

2 m<rt /, y—r m<n

(''«-Ws)

Toutes les considérations précédentes seraient applicables encore si une vanne formait déversoir par sa traverse supérieure; seulement,

au lieu de la formule Q = ma T 1/ 2gH, il faudrait employer ici celle

qui correspond aux déversoirs, c'est-à-dire : Q^m'LHT 1/ 2gfH; et^ la limite d'abaissement se trouverait au seuil ; alors A := H.

IIL Le réservoir (Tamont étant alimenié pendant qu'il se vide.

Désignant par q le volume d'eau fourni au bassin, en une seconde, par le ruisseau qui l'alimente, et par h la grandeur de l'abaissement dans le temps t, dh sera la quantité dont le liquide baissera pendant l'instant infiniment petit dt, qui suit t. Le volume d'eau sorti en une seconde sera ici %dh -|- qdt, et Ion aura l'idenlilé :

Sd* + ^( »= fii<rdl l/âg (H -^ k)

— ^«0 — Soit H — A = H'; alors — dh = dH'

qdt - SdW = m^dt \/Tg VW

— SdH'

dt =

Pour faciliter Tinlégration, posons : ma l/^l/lT — q = f dont riutégrale est :

ReinplaçaDt cp par sa valeur, et déterminant la constante C pour Torigine du mouvenjent où f = o, A = o et H' = H, Ton obtient Téquation :

Ou bien, en passant des logarithmes hyperboliques aux logarithmes ordinaires :

(m<r\/29)* L m<r\/^gW - g

iSi Ton y fait 9= o Ton retombe sur Téquation (9) trouvée plus haut.

Pour déterminer la valeur de rabaissement h eu un temps donné (, Ton cherchera quelle serait la charge H' à la fin de ce temps : à cet effet l'on essaiera successivement diverses valeurs de H' dans Féquation (r) jusqu'à ce qu'elle soit satisfaite. Ayant H% Ton déduira A = H — H'.

b. Vannes iBClInéefl. — 9y«lèiiie €h«ab«ri«

Il arrive parfois que certains cours d'eau sont exposés à des crues subites, capables de produire des dégâts considérables si Ton n'avait soin d'ouvrir à temps les retenues. Afin de prévenir la négligence d'un éclusier, l'on emploie alors des retenues mobiles dont l'ouverture augmente avec la pression de l'eau. Telles sont les vannes horizontales (fig. 36), qui tournent autour d'un axe O, placé à une hauteur

convenable pour que la pression de Teau, dès que celle-ci aUeint une certaine hauteur, agisse sur le panneau supérieur de la vanne et le fasse basculer en avant pour Tamener dans la position horizontale. Dans ce but, Ton échancre les bajoyers suivant la courbe que la vanne doit décrire en s*abattant; Ton donne aussi un surcroit de pesanteur à son panneau inférieur, afin qu^elle tende à se redresser dès que le liquide est suffisamment écoulé. Il suffit de rendre dor* manie une partie de la cloison pour être en même temps assuré de conserver en amont des vannes une profondeur d'eau suffisante.

Supposons qtt*une vanne mobile autorégulatrice ait basculé de façon à prendre la position AC, s'appuyant donc par son panneau supérieur sur des rainures inclinées AO, pratiquées dans les bajoyers ; rinclinaison de ÂO étant déterminée d'après les crues et par la condition de conserver toujours une certaine hauteur d'eau en amont de la retenue. Si Ton admet que le mouvement soit permanent. Ion pourra calculer la dépense, du moins à Torigine, par les formules :

Q = i,80LHl/ir qui concerne le cube écoulé par-dessus la vanne, H étant la distance entre l'aréle supérieure A et le niveau du bassin ; et

Q' = 0,615 LH' V/l^ = 2,75 LH' V/IF"

s'appliquant à la dépense inférieure; H' étant la distance verticale entre Taréte C et le sommet D du heurtoir, H" la distance du niveau du bassin au centre de gravité de la section inférieure d'écoulement.

M. Chaubart, par l'invention de ses vannes à bascule, semble avoir résolu d'une façon complète les deux problèmes principaux relatifs au régime des canaux de navigation, d'irrigation, etc., et au règlement des niveaux dans les biefs d'usines.

Premier système. Le premier problème à résoudre était de construire une vanne mobile, mise en mouvement par la pression de l'eau du bief d'amont, et assurant l'écoulement du superflu provenant de ce bief, de façon néanmoins qu'il conserve un niveau constant. Voici brièvement la disposition du système Ghaubart, tel qu'il fut appliqué à l'origine (1854) ; depuis, il a subi quelques corrections de détail.

La vanne AB (fig. 37), occupant toute la largeur du canul, est inclinée sur la verticale d'un angle de 10** vers l'aval et porte, au tiers

de sa hauteur, deux courbes en foute C6D invariablement liées avec elle ; ces courbes sont assujetties a rouler sur une règle en fer EP, horizontale, ou à peu près telle, car son inclinaison peut être réglée par une vis e, la règle étant mobile autour du boulon f. Une chaîne à la Vaucanson reliée par des boulons, d*une part au coussinet fixe h, de l'autre à Texlrémiié de la courbe, rattache la vanne à la traverse longitudinale fixe c, et force la courbe à rouler sur la règle EF.

Dans la position initiale AB de la vanne, lorsque Teau affleure son sommet, le système doit être réglé de façon que la résultante des actions exercées sur Tappareil par la pesanteur et par les pressions de Teau vienne passer en 6, point actuel de contact de CD avec EP, et origine de la courbe de rotation. Dans la première vanne Ghaubart, ce point G correspond au centre de pression du liquide ; nous avons vu, en effet, que : pour un parallélogramme ou un rectangle, dont le côté supérieur est à fleur d eau , le centre de pression se trouve

aux ^ de la base supérieure et sur la ligne des milieux des bases

horizontales.

Lorsque Talimentation augmente, l'équilibre cesse d'exister ; le centre de pression se relève avec le niveau du bief; le mouvement de bascule se produit, et la résultante des pressions vient passer en avant de 6, en G', par exemple, c'est-à-dire par le nouveau point de contact. Alors l'eau s'échappe à la fois par-dessus et par-dessous la vanne, qui s'incline plus ou moins suivant la quantité d'eau affluente à débiter.

Des taquets empêchent la vanne de descendre en dessous d'un angle de 10° avec Thorizon.

Restait à déterminer la forme et la position de la courbe CD pour que, dans toutes les positions du système, la résultante des forces qui agissent sur la' vanne passe toujours par le point de contact, la pression de l'eau étant calculée d'après l'hypothèse d'un niveau XA invariable. M. Ghaubart a résolu la question par des tâtonnements qui l'ont conduit à adopter, pour GD, un arc de cercle dont il détermine le rayon au moyen d'une formule empirique ; la règle EF doit alors être horizontale.

Ce résultat peut être obtenu théoriquement ; nous développerons

d'une Taçon complète la description et les calculs relatifs aux vannes Chaubart, lorsque nous traiterons des constructions hydrauliques dans la Deuxihne Partie de notre ouvrage.

Second système. L'appareil précédent a pour but d'obtenir dans un bief un niveau constant malgré une alimentation variable; dans le second système, M. Chaubart a résolu le problème inverse^ consistant à débiter un volume d'eau constant par un pertuis rectangulaire ouvert dans un bief dont le niveau varie.

A l'origine la vanne AB (fig. 38) est verticale; le niveau XA, qui est alors à son maximum de hauteur, vient affleurer à peu près l'arête supérieure A. L'orifice Bn est déterminé convenablement pour qu'il se débite, dans l'unité de temps, un volume d'eau constant et déterminé Q. La vanne s'appuie encore ici contre une courbe CCC", et puisqu'elle est en équilibre dans la position AB, cette courbe doit être telle, que la résultante des forces passe par le point C. Lorsque le niveau descend en X'A', la vanne bascule en A'B', et le point B' se relevant, l'orifice d'écoulement augmente. Dès lors, si la courbe est convenablement tracée, il peut se faire que cette augmentation dans la hauteur de la section d'écoulement compense précisément la perte résultant de l'abaissement du niveau, et que la dépense Q reste la même dans les deux positions. Cette dépense est d'ailleurs représentée par la formule :

Q = ma l^^^ = ifiLfc \/^g (h — "a M = constante

où L = la largeur du pertuis; h la hauteur variable B'n' et H la distance, variable aussi, entre le niveau et le fond du canal. De cette équation l'on déduit les valeurs de H correspondantes à celles de h et réciproquement. Le niveau étant en X'A' et le point B étant venu en B', de façon que l'équation précédente soit satisfaite, l'on peut énoncer comme suit le problème : Quelle doit être la courbe CC'C" pour que la résultante des pressions de l'eau et du poids de la vanne passe au point de contact de la nouvelle position A'B' avec cette courbe.

Si l'on cherche à résoudre théoriquement la question, l'on arrive à une équation différentielle indéterminée, à trois inconnues, qu'il est fort difficile de simplifier. Aussi l'on se borne à un procédé graphique

approximatif, dans lequel on trace la courbe par interpolation. Nous avons vu que la dépense constante Q ^^ C serait représentée ici par la formule :

Q=mUiy/25r(H.-AJ

dans laquelle Ton serait disposé à donner au coefficient m une des valeurs comprises dans le tableau G', attendu que, d'après Thypolbëse , admise jusqu'ici, les vannes mobiles seraient établies à partir du fond de la conduite ou du coursier Mais, suivant un Mémoire de M. Poncelet (1), l'inclinaison de la vanne A'B' (fig. 38) vers l'aval peut augmenter sensiblement la valeur du coefficient de correction. Ainsi, d'après les expériences de ce savant sur la dépense d'un coursier raccordé, par des courbes analogues à celles de la fig. Si, avec le bassin d'alimentation, de façon que la contraction fût détruite, il résulte que le coefficient atteint les valeurs suivantes :

i** La vanne mince étant verticale (fig. 55) . . . 0,70 â'' Idem inclinée à i de base sur î

de hauteur .... 0,74

5» Idem à 45» 0,80

Les vannes autorégulatrices sont employées géiiéralement dans les dérivations d'écluses de canaux navigables ; dès lors les circonstances de l'écoulement ne sont plus les mêmes que dans l'hypothèse précédente.

La différence des niveaux X'A' et X"A" (fig. 39) de deux biefs consécutifs est toujours assez forte, et la hauteur totale mY' d'amont est trop considérable pour employer le système de la fig. 36. L'on divise alors cette hauteur en deux parties ; la plus grande mn est dormante; la partie supérieure nA est destinée à 1^ vanne mobile; celle-ci est déterminée de hauteur et de longueur suivant le régime du canal et les conditions de niveaux que l'on veut obtenir.

L'on voit ici que les lois de l'écoulement sont simples; ainsi, pour le deuxième système Chaubart, le coefficient m est donné par la table B de M. Lesbros,.sauf à le majorer légèrement d'après les conclusions de M. Poncelet.

(4) Mémoire sur les roues hydrauliques à aubes courbes. Metz, 4827.

L'iovenUoD du bateau-vanne est due à M. Sarioris; son but est de maintenir un niveau XA constant, ou à peu près tel, malgré une alimentation variable par le bassin d'amont.

La section transversale du bateau est rectangulaire (fig. iO) ; il s'appuie contre deux piles en maçonnerie dont Fintervalle est fermé par un déversoir ; le radier nC de celui-ci se trouve à une certaine hauteur nB du fond.

Désignons par H la différence de hauteur mm' entre le point m et le niveau AX; par p et U la pression (atmosphérique) et la vitesse en ce point m; par p' et U' la pression qu'éprouve le liquide en Dm ainsi que sa vitesse sous le bateau. Posons aussi : mn = a et mnB »=> Â T^a pression p' est évidemment la force qui fait équilibre au poids du bateau , convenablement calculé d'après le principe d'Archimède et augmenté du frottement contre les piles ainsi que de la pression p.

Il est facile de concevoir qu'en descendant convenablement le bateau, par du lest ou autrement, il viendra occuper une position d'équilibre telle que, pour un niveau connu AX il se débite par mn un volume d'eau déterminé ; l'on comprend aussi qu'il soit possible de régler l'écoulement de façon qu'il s'échappe toujours par mn une masse liquide qui irait en croissant par quantités égales aux. accroissements successifs dus à des surélévations de niveau AX. Le bateau, équilibré pour la hauteur mtn' = H, s'élèverait de lui-même à mesure que AX monterait, puisqu'il ne saurait plus faire équilibre à p\ cette dernière force croissant avec H.

L'on se trouve ici dans le cas d'un orifice mn plus ou moins évasé intérieurement, et prolongé par un canal nC de même section. L'on posera donc :

H = -gl^^" simplement = — (1)

Admettant approximativement que tous les filets sont parallèles et d égale vitesse dans une même section DD', ou D''D''', etc., Ion aura aussi, pour un bassin rectangulaire :

aU=AU' (2)

Enfin, le théorème de Bernouilli donnera pour 3' équation de condition :

L*on déduira des trois précédentes :

Quoique les hypothèses admises dans ce calcul ne soient pas rigou> reuses, il est permis d'en conclure que p' doit être supérieur à p, et que Texcès p' — p va ein croissant avec H. Il suffit d'introduire dans le bateau plus ou moins d'eau, destinée à le lester, pour obtenir son équilibre dans la position qu'il doit occuper; la force verticale produite

par l'excès p' — p = AA ( 1 — — ] est alors équilibrée par le poids

du bateau et son frottement contre les piles.