C. DES ÉCLUSES

En traitant la question des vannes, nous avons supposé que l'écoulement se faisait librement dans l'air; nous avons aussi admis que les coefficients des tables de M. ,Lesbros leur fussent applicables, quel que puisse être l'orifice.

Pour les écluses, les circonstances sont différentes : l'écoulement se fait généralement, d'un bref dans l'autre, au moyen depertuis ouverts dans la partie inférieure des portes de retenue; par suite, le problème consiste à rechercher les lois du mouvement d'un fluide qui passe d'un réservoir dans un autre, l'orifice de sortie étant complètement noyé.

Quant au coefficient de correction m, nous verrons qu'il peut être donné par les tables de M. Lesbros, quelque grand que soit l'orifice, et qu'il soit noyé ou découvert.

a. ÉeonlemeBt d'un réaerroir danii un autre, le Blveaii demenrant eoantaat pour chaeim d^enx.

Si l'on représente par U la vitesse des filets liquides pendant qu'ils traversent l'ouverture mn, et par U' celle que ces filets conservent dans

une section MIV située hors du rayon d'action de la veine, la perte de charge subie par le liquide au delà de la section mn doit élre représenlée par :

Supposons le cas parliculier où la masse liquide, dans les deux biefs, soit assez considérable pour qu'on puisse la regarder comme à peu près stagnante; le niveau A'X' est alors horizontal, c'est-à-dire que le niveau piézoméirique devient le même en mn et en MN, et la perle de charge demnen MNest représentée par :

Mais il est essentiel de remarquer que cette valeur serait inexacte : 1" si la vitesse II n'était pas excessivement faible ; 2** si le niveau piézométrique variait de mn en MN, ce qui pourrait arriver pour de petites valeurs de mW

Cela admis, si une molécule a venue en b possède une vitesse presque nulle dans ces deux positions extrêmes, il faut, d'après le théorème de Bernouilli, que la perte de charge éprouvée dans le trajet de a en b soit égale à la charge, c'est-à-dire à la différence de niveau des colonnes piézométriques élevées aux points a et b. Or, la charge est due à la hauteur AA' = OA — OA' == H — H' = A, et à la différence f) — p' des pressions en A et A' ; la perte de charge peut donc s'exprimer aussi par :

Égalant les deux valeurs de la perte, l'on obtient :

u-y/2jr(*+^-2^)

Ou bien, si p = f)' :

U=l/2sf(H-H') (4)

qui est la formule du § a, chapitre II, et que Ton peut exprimercomme suit : Lorsqu'un fluide passe d'un réservoir dans un autre, par un orifice noyé, la charge effective sur cet orifice, ou la hauteur due à la

vitesse de sorlie, en un instant quelconque, est la différence de niveau des deux réservoirs, à ce même instant

La vitesse étant ainsi déterminée, la dépense Q sera donnée par l'expression :

Cependant l'on pourrait se demander si le coefficient de correction m a la même valeur ici que dans le cas où Técoulement aurait lieu librement dans Tatmosphère; c'est-à-dire, si la veine fluide se contracte également dans l'air ou dans l'eau. Or, il résulte de plusieurs expériences faites sur des pertuis d'écluse que la dépense est à peu près égale dans les deu\ cas. Le fait a été démontré aussi jadis par Daniel Bernouilli, au moyen d'un vase cylindrique, percé d'un oriflce à la partie inférieure et rempli d'eau; Bernouilli remarqua qu'il se vidait dans un même temps, soit que l'orifice fût en plein air, soit qu'il plongeât légèrement dans l'eau dormante (1).

Lorsque l'orifice ne se trouve qu'imparfaitement noyé, le niveau A'X' n'est plus sensiblement horizontal, et la formule (4) devient incertaine, quant à l'approximation. II faut alors diviser l'orifice en deux parties, et considérer l'une a-', comme débouchant dans l'air, l'autre a", comme couverte par l'eau du bief inférieur. Mesurant respectivement, sur les centres, les hauteurs H" et H'" (fig. 42) sous le niveau XA, l'on obtiendra la dépense par la relation suivante :

Q = m [(/ l/'l^-H <r" 1/ ^9 (H'" - H') ] Q = m v/^ [ c,'l/ipr-^. er" I/h'"- H' ]

b. I<e Blveaii étont constont dan* le réaerYOlr miiiérleiir et Y«rlaMe

dan* r«iitre.

Pour réaliser ces circonstances nous supposerons que le réservoir inférieur ait des dimensions limitées, et que le bassin d'amont soit indéfini, autrement dit, qu'il demeure à un niveau constant. Tel serait le cas par exemple pour un sas d écluse que l'on remplit au moyen de Teau du bief supérieur. La question à traiter consiste dans la recherche du temps nécessaire pour que le niveau du sas atteigne une hau-

(1) D. BerDOuilIi, Hydrodynamique.

leur donoée ; c'est le problème inverse de celui que nous avons développé au § B.de ce chapitre.

Soit donc A'X' (fig. 41) le niveau primitif, et A'A" = A = H' - H".

A mesure que le niveau A'X' s élève, la hauteur AA' diminue, et comme AA' représente le H — H' de la formule (4), c'est-à-dire, exprime la hauteur due à la vitesse en mn, variable à tout instant depuis H' = H' jusqu'à H' = H", il s'ensuit que la surface fluide A'X' est poussée de bas en haut par une force décroissante suivant les racines carrées des hauteurs AA', et que, dans ce cas-ci, comme dans celui du $ B, nous trouvons encore le caractère du mouvement uniformément retardé. La valeur du temps t, nécessaire pour faire monter en A"X" le niveau primitif A'X', sera donnée par la formule :

i = — ^(V/lF-l/H") et pour le temps du remplissage entier, jusqu'en AX :

Des expériences faites par Kypke, sur une écluse du canal de Bromberg, en Allemagne, et rapportées par Eytelwein (1), ont produit des résultats qui concordent assez bien avec ceux que l'on obtiendrait par les formules précédentes, en y donnant à m la valeur 0,615. D'Aur buisson, dans son traité d'hydraulique, prend, pour coefficient constant des dépenses par les pertuis, là quantité 0,62K ; aussi, en appliquant le calcul aux expériences du canal de Bromberg, arrive-t-il généralement à des valeurs de t supérieures à celles qui ont été mesurées.

c. l/e nlvéan des deux ré«enrotni élMii varbilile.

Soient deux bassins M et N (fig. 10) dont les niveaux AX et A'X' se trouvent à des hauteurs H et A respectives, au-dessus du sommet de l'orifice k par lequel s'opère l'écoulement du liquide vers le réservoir N. Supposons les deux bassins limités , de façon que le niveau AX baisse pendant que A'X' s'élève; il s'agit de trouver l'équation qui dé-

H) Eytelwein, ffandbuçh, $ 420.

termine le rapport entre les deux élévations, en fonction du temps t et des sections S en M, et S' en N ; ou qui donne réciproquement le temps t qu a duré Técoulement en fonction de ce rapport et de S et S'. Prenons deux tranches élémentaires mn et m'n'y d'épaisseur respective dx et dy ; d'où nA = a? et tn'B == y. Lorsque le liquide sera descendu de dx en M, pendant Tinstant dt, il se sera élevé dans le même temps, en N, de dy^ et ces deux quantités dx et dy seront liées par l'expression :

Sdx = fy'dy ou plutôt = — S'dy (5)

Mais la dépense par l'orifice k s'exprime aussi par la formule :

Qdt = lïiff l/2gf(a; — y), dt

D'où :

Scto = — mer 1/ a^r (a; — y), dt

mtr V SLg V X -— y

L'intégration de l'équation (5) donne :

Sac -|- S'y = C ou constante

et, comme j/ = A pour a? = H, il résulte :

Sx + S'î^ = SH + S'fe

SH -t- S'fc — Sa; y = ^;

Remplaçant y par cette valeur dans l'équation (6), et intégrant ensuite, en observant que x^H pour t = o, l'on obtient définitivement :

e« — ^ I/S' (H-fc)~V/(S+SOa;~SH-S'fc i^)

Si l'on veut connaître le temps nécessaire au liquide pour que les deux niveaux AX et A'X' arrivent dans un même plan, il suffira de

faire x = y= ^ 7" g/ ; remplaçant x par cette valeur dans l'équa-

tiou (7), l'on en conclut :

«= ^SSVH-h ^^^

m<rl/2^(S-f S')

Cette dernière formule peut s'appliquer au cas suivant, qui se présente fréquemment dans une écluse à deux sas contigus, ou bien en-

core dans uue double écluse dont les deux sas sont séparés par un bassin d attente intermédiaire. Lorsqu'un bateau qui remonte le canal est entré dans le sas inférieur, Ton ferme la porte d*aval qui vient de lui en ouvrir Tentrée. Ensuite, la porte d^amont du sas supérieur étant bien fermée, Ton manœuvre les vannes de sa porte d'aval^ c'està-dire de celle qui sépare les deux sas; Feau s'écoule de Fun dans l'autre jusqu'à ce que le niveau soit commun. Dès lors l'on ouvre la séparation et le bateau peut passer dans le sas supérieur. La question à résoudre serait donc celle-ci : Chercher le temps qui s'écoulera depuis le moment de la levée des vannes jusqu'à celui où le niveau se trouve le même dans les deux sas.

D'Aubuisson rapporte une expérience de ce genre qu'il a faite dans le canal du Midi, sur la double écluse de Bayard, dont les portes avaient deux pertuis. D'après ses conclusions, l'expérience aurait donné 2'29", tandis que la formule (8) ne produisait que 2'17". L'auteur attribue cette différence à ce que les vannes n'étaient pas encore entièrement levées, lorsque l'eau du sas inférieur atteignait déjà leur centre d'ouverture, tandis qu'il avait supposé cette condition dans sa formule, en comptant le temps t à partir du moment où le niveau inférieur serait à cette hauteur.

Il nous semble qu'il existe deux autres causes d'erreur dans le calcul de D'Aubuisson : la première, c'est qu'il a employé une formule applicable à un orifice noyé, ce qui ne se présentait pas avec les conditions choisies ; la seconde, c'est que, se réglant d'après les expériences (1) faites par l'ingénieur Pin sur les écluses du canal du Midi, il a pris pour m la valeur :

qui est la moyenne obtenue par Pin, lorsque deux pertuis sont ouverts à la fois dans une porte de rétenue. Nous avons déjà fait mention de cette anomalie qui, du reste, ne s'est nullement confirmée dans la série d'observations faites avec le plus grand soin par Gastel et D'Aubuisson lui-même.

Quant à la véritable valeur à donner au coefficient de correction m, Ion admet, depuis les expériences de Lespinasse (1783), de Pin

(i) Histoire du canal du Midi ou de Languedoc, par le géméral Andréoisy, 1. 1.

(1792), de Kypke, de Lapeyre, que sa valeur moyenne est m ==0,625, et que, par conséquent, la formule générale, pour les grands orifices ou les pertuis d'écluses, est la suivante :

Q= 0,625 (tI/2^H ou bien :

Q = 0,645(Tl/îf5f(B-H')

Remarquons d'abord que, dans la plupart des expériences précitées, la charpente qui formait Tencadrement des pertuis avait des épaisseurs trop notables pour pouvoir admettre l'hypothèse de la mince paroi. C'est déjà là un motif de variations, suivant les épaisseurs et les détails de construction ; les observations mêmes de Lespinasse le prouvent. En effet, lorsque la vanne n'a été levée que d'une petite quantité, la contraction a cessé sur les quatre côtés ; pour une ouverture de O'^iG de hauteur le coefficient a été 0,641 , tandis que la même vanne a donné 0,805, lorsque la levée n'a atteint que 0'"12.

Les expériences sur les écluses ont été faites généralement sans méthode et sans juste appréciation des circonstances accidentelles; leurs conséquences ne peuvent être admises sérieusement, et c'est à tort que M. Sleichen déclare (1) que l'on peut accepter avec confiance le coefficient moyen m = 0,625 pour l'appliquer aux pertuis des portes d'écluses, sous le prétexte qu'ils sont ordinairement très-rapprochés des radiers.

En réalité, il faut conclure des observations si précises de MM. Ponceletet Lesbros, que, lorsque la contraction est supprimée sur le côté inférieur, le coefficient varie (table G) :

l"" Avec le rapport -r de la largeur à la hauteur dé l'orifice; il

augmente avec ce rapport à partir du carré.

2"" Qu'il diminue avec la charge, lorsque -r- est assez considérable, et qu'il atteint son maximum pour des charges de 0,50 à 0,60, lorsque -T- est inférieur à 20.

Il y a donc loin de là à une valeur constante. Gomme les circon-

(4) Stoichen, Précis de mécanique appliquée.

stances peuvent varier sous plusieurs points de vue, le moyen le plus sur de se rapprocher de la réalité, c'est de bien examiner, d'après ce que nous avons exposé jusqu'ici, quel est le genre de cas qui se présente, et de choisir ensuite avec lucidité la table de Lesbros qui s'applique aux circonstances de la question ; Ton y trouvera la valeur à donner au coefficient m, en ayant soin de s'assurer que la charge et

le rapport -j- ^^^^ 1^^ mêmes dans la table e( dans le problème qu'il s'agit de résoudre.