Preprtétéfl de la vlseosllé

La gravité est la seule force qui produise le mouvement dans les cours d'eau naturels comme dans les canaux et les tuyaux d'écoulement inclinés. Lorsque cette force agit sur une masse liquide abandonnée à elle-même dans un réservoir ou dans un vase solide, sou action sur chaque molécule est détruite, il y a égalité de pression eu

tout sens; le fluide est en équilibre, en repos, et sa surface supérieure est horizontale, quelle que soit la forme et rinclinaison du fond du vase qui ie contient. Réciproquement si la surface liquide est horizontale, il ne saurait se produire de mouvement, malgré la pente que pourrait avoir le lit. Il n'en est plus ainsi quand la surface liquide est inclinée ; alors même que le fond du lit est horizontal ou en contrepente (sur une petite étendue), Tégalité de pression en tous sens n'existe plus ; une molécule quelconque de la surface se trouve dans le même cas qu'un solide glissant sur un plan incline* ; la pesanteur, c est-à-dire la force accélératrice due à la gravité, agit sur cette molécule, comme sur ce solide avec une intensité proportionnelle à son poids gdM et au sinus de Tangle d'iuclinaison t. Cette action s'exerce avec la même intensité sur toutes les molécules placées verticalement eu dessous de celle que nous avons considérée; et, si Ton suppose que % est constant, elle agit de la même façon, avec la même force, sur une molécule quelconque de la masse en mouvement. De là ce principe que : le mouvement des molécules duu cours d'eau ne doit son origine qu'à la pente de sa surface,

La pesanteur, qui engeadre le mouvement, étant une force accélératrice constante, si aucune autre force n'agissait en sens contraire, le liquide descendrait d'un mouvement uniformément accéléré et sa vitesse n*atteindrait jamais l'uniformité. Or, l'existence de cette force retardatrice nous est révélée par un phénomène que nous avons sous les yeux constamment : la vitesse des cours d'eau naturels, des ruisseaux et rivières, quelle que soit leur pente, est sensiblement uniforme, et n'est, par conséquent, jamais en rapport avec la hauteur de chute

théorique ^ = ^ , depuis la source jusqu'au point considéré. Il

faut donc que, dans I écoulement, se développe une force retardatrice, qui croisse avec la vitesse, ou plutôt avec une fonction de la vitesse, de façon à faire équilibre à la force accéléra:rice de la pesanteur, à lui être égale. Bossut (I) ayant fait couler de l'eau dans un canal en bois, de 200 mètres de longueur, avec une pente de I/IO, et ayant marqué, sur ce conduit, des longueurs de 53 mètres, trouva que,

(t) Bossut, Hydrodynamique, ^797.

cbacane d'elles, la première exceptée, était parcottrue dans un même nombre de secondes. /

Quand le liqukte s'écoule par on tuyau ineliné, les phénomènes précédents se représentent de la même manière; il suffit, pour te cm* stater, d'adapter à un orifice, percé dans un réservoir, un tuyau, de diamètre constant mais de longueur variable, dont rexlrémité libre déboucherait dans Tatmosphère toujours au même niveau. Si le niveau du réservoir est en outre maintenu à une hauteur et à une pression constantes, et si la pression atmosphérique ne change pas non plus. Ton voit alors la dépense diminuer en même temps que la longueur du tuyau va en augmentant. Il faut en conclure que la viscosité produit une force retardatrice, et que celle-ci est une fonction croissante de la longueur L du tuyau; elle est donc de même nature que celle qui s'oppose à Taccélération du inouvement des canaut ; seulement, dans ce dernier cas, elle produit l'uniformité, parce qu'il y a équilibre entre deux forces de même espèce, accélératrices toutes deux, l'une positive et l'autre négative; dans le second cas, elle diminue la dépense d'une manière croissante, parce que, d'un côté se tit)uve une force constante, due à A, produisant la vitesse théorique 1/ 2gfA, de l'autre une résistance dont rien ne vient détruire tes accélérations négatives ou retards successifs, qui se développent au fur et à mesure que (i augmente.

En appliquant à un tuyau l'expérience de Bossut, l'on prouverait de même, par l'uniformité, la nature négativement accélératrice de la viscosité.

Soit, maintenant, une molécule M (fig. 16), prise sur le filet supérieur d'un liquide en mouvement dans un canal ; elle éprouve en a, du côté d'amont, une pression suivant mn, supérieure à la pression contraire qui existe en 6, vers l'aval ; la molécule tend donc à se mouvoir et à descendre sous l'aption de la différence, infiniment petite il est vrai, entre les pressions en a et en b. Or, l'on se trouve ici dans leicas des corps pesants qui descendent sur un plan incliné, en vertu de ta com|H)saute P sin. i de leur poids P == gU, ou M est la masse et g l'accélération due à la gravité ; si donc l'on représente par ab la valeur du poids gdni de la molécule M, la différence des pressions dues à la pesanteur et exercées en a et 6, doit s'exprimer par cb; en

d*âtttres termes, l'action exercée par la pesanteur sur une molécule M étant gdm. sin. t, en vertu des lois du plan incliné, si Ion fait ab^^^gdm ToD en conclut, dans le triangle abc :

ae = ah sin. i = gdm, sin. i Faisant ac = dz, Ton obtient :

dz = gdm, i

attendu que l'angle t est toujours assez petit dans les cours d*eau naturels, pour pouvoir être confondu avec Tare ou la tangente.

QC

Ou bien, comme tg, • = — = p', la penle de la surface : dz = flfrfM. ^ = gdJA, p'

CD

Ainsi la force motrice, qui est ici la composante de la pesanteur, est égale à gdM, p' ; et Taccéléralion correspondant à cette force motrice sera gp\ puisque c'est la force motrice sous Tunité de masse.

Lorsque le canal est long et régulier, le mouvement y est uniforme, ainsi que nous Tavons vu, par suite de faction de la viscosité; dès lors, il passe un même volume d'eau par chaque section de la masse liquide en mouvement; si, donc la largeur du canal est constante, ou à peu près, la profondeur d'eau z devra rester sensiblement invariable, et la surface liquide y sera parallèle à celle du fond. Par suite, l'on aura :

Af

dz = gdM. p' == flfJM. — = flfdM. p

OÙ p est la pente du fond du canal.

Dans- un long (uyau incliné, l'eau se meut, comme dans un canal, en vertu de son poids, ou plutôt de la partîe gM. sin /, rendue active par la pente du tuyau ; la force accélératrice est encore gip. Il en résulte, qu'en adaptant à la partie supérieure AA' d'un réservoir N (fig. 17), soit un canal, soit une suite de tuyaux AB, le liquide sortirait en BB' avec une vitesse théorique due à la hauteur LB, dans le cas où la viscosité serait nulle (ainsi que la contraction).

Dans les canaux naturels il n'existe pas de pression sur le fluide qui y entre; le contraire se présente, d'ordinaire, en tête des tuyaux de conduite. Par exemple, si le luyau AB, se trouvait en CD (fig. 17), il existerait en CC une pression, en vertu de laquelle l'eau entrerait

— uo —

dana le tuyau CD avec une vitesse due à la hauteur EL. D'après les principes du mouvement accéléré, celte vitesse doit s'ajouter à celle que le liquide acquiert de C en D, par Teffel de la pente; de sorte que, dans le cas d'une viscosité nulle, le liquide sortirait en DD' avec une vitesse due à LD. Ce dernier cas peut être ramené à celui des canaux découverts, en supposant que le luyau CD soit remplacé par un canal imaginaire KCD, puisque dans les deux cas la vitesse de sorlie en DD' serait la même.

Ainsi, dans les tuyaux, Ton a même force accélératrice et même force retardatrice que dans les canaux; le mouvement y est de même nature, sans pour cela être tout à fait identique, et Ton pourrait presque dire que, dans les tuyaux, le mouvement n'est qu'un cas particulier de celui des canaux, la partie supérieure du canal étant censée couverte. Ajoutons, toutefois, qu'il existe en réalité, quelques différences dont nous tiendrons compte.

Des considérations précédentes, l'on peut conclure :

1** Que, lorsque l'eau se meut uniformément dans un canal ou un tuyau, la résistance qu'elle y éprouve, c'est-à-dire les forces développées par la viscosité sont égales à la force accèléralrice résultant de la gravité, puisqu elles lui font équilibre.

C'est là le principe fondamental des eaux courantes.

2** Que. les forces développées par la viscosité, devant équilibrer successivement toutes les accélérations de vitesse que la gravité tend à engendrer, la viscosité est proportionnelle à la vitesse, ou plutôt doit s'exprimer par une certaine fonction de la vitesse qu'il s'agit de rcchercher*

Tel est le deuxième principe qui conduit à la solution mathématique des problèmes les plus importants de l'hydraulique.

Il nous reste à conclure le troisième :

3*" Les résistances engendrées par la viscosité sont, dans certaines limites, indépendantes de la pression du fluide, au point où ces résistances s'exercent.

Dubuat s'est assuré de cette propriété par rexpérience suivante. Ayant établi, au moyen d'un tuyau, la communication entre deux bassins, il reconnut que la quantité d'eau qui s'écoulait de l'un dans l'autre restait constante, pourvu que leur différence H — H' de niveau

et la différeoce des pressions» à la surface de chacun d*eu^, tie changeassent pas, et cela, quoique la pression dans un point quelconque du tuyau fût variable d*une expérience à Taulre par suite des variations de H et de H' dans TéquatiOn H -r- ir ^^^r C, ou constante.

Les expériences récentes faites par M. D'Arcy (1) sont venues confirmer le principe précédent; cetémiuent ingénieur, enlevé trop tôt à la science, a généralisé les résultats de Dubual en faisant varier les p^essions absolues entre de plus grandes limites.

e. YartoitoBs ém la yreMtoM.

D après la quatrième règle citée au § d' de T hydrodynamique (chapitre premier. G), la pression, dans une section transversale d'un tuyau cylindrique» variera suivant la loi hydrostatique, pourvu que le liquide y ait un mouvement permanent rectiligne, chaque molécule ayant une vitesse parallèle à l'axe et aux génératrices censées droites. En effet, cela entraine comme conséquence que la vitesse de chaque molécule est constante, c'est-à-dire que le mouvement est uniforme.

La même propriété appartient à un liquide coulant, en ligne droite et d'un mouvement uniforme, dans un canal découvert. Il suit de là que les lignes d'égale pression doivent être des horizontales, pour une même section, s'il s'agit d'un liquide pesant; que la.surfaee libre de ce dernier doit être aussi une horizontale dans la section considérée (voir le §r, chapitre premier. B) ; qu'enfin, le niveau piézométrique est constant pour tous les points d'une même section; les colonnes^ débouchant dans lair, se termineraient toutes à l'horizontale supérieure du liquide, dans le profil.

Dans les cours d'eau naturels, le mouvement n'est jamais rigoureusement uniforme et rectiligne. Sans doute, il existe des circonstances où les propriétés précédentes peuvent être approximativement acceptées; mais il en est d'autres où il serait inexact d'admettre, pour un mouvement varié, et même pour un mouvement permanent mais non uniforme, que les vitesses des filets, qui traversent une section quelconque, varient d'un filet à l'autre dans cette section, suivant ta

(<) Mémaifcs présentés à l* Académie des sciences de Paris, loine XV.

même loi que lorsque le mouveoienl est uniforme. Quoi qu'eu »it supposé M. Belangtr, dans ses leçons litfaographiées, cette hypothèse est contraire aux lois de la mécanique; le mouvement varié change complètement la distribution des vitesses dans les filets. Nous reviendront sur ce sujet en traitant de Téquation différentielle du mouvement permanent varié dans les eaux courantes.

Il est facile de constater, par expérience, les différences de vitesse qui existent, dans une même section, soit pour un tuyau de conduite à section circulaire, soit pour un canal découvert, entre les différents iilets liquides qui coupent cette sectimi. Dans le premier cas, en mesurant, au moyen A'hydrometres, les vitesses à diverses profondeurs, Ton remarque que, pour un même cylindre liquide infininient mince, concentrique au tuyau, les vitesses des filets ou des génératrices sont égales; et que les vitesses vont en croissant d'une couche cylindrique liquide à Tautre, lorsqu'on s'avance de la circonférence vers le centre.

De même, il a été constaté depuis longtemps que les vitesses aux différents points d'une même section, dans un canal découvert ou un cours d'eau naturel, ne sont pas les mêmes; que la vitesse maxima V se trouve à la surface, vers le point qui correspond à la plus grande profondeur du profil, et que la vitesse minima se rencontre en quelque point du fond, dans les circonstances normales de Técoulement. Nous représenterons par W la vitesse au point du fond correspondant à la verticale de la plus grande profondeur.

L'on conçoit, à priori, que l'influence exercée sur la vitesse, par la paroi solide du fond, doit se remarquer aussi pour le restant du lit, et que, par suite, les divers filets d'un liquide en mouvement, dans un canal, ont une vitesse d'autant plus grande qu'ils sont plus éloignés des parois. Il est aisé d'en conclure que, plus ces parois auront d'étendue, c'est-à-dire, plus, sur l'unité de longueur, le périmètre mouillé y sera grand, plus la résistance, due à l'adhérence, sera considérable.

d. Courbe des wliemttem.

Si, dans la section normale AB (fig. 18), l'on désigne par V,

V, t', v" W les vitesses des tranches horizontales, d'épaisseur d^,

en A, a, a', a''..... B, l'on conçoit la possibilité d exprimer, par une

au

courbe» les variations qui existent de la surface au fond. Il suffit de porter, dans on plan parallèle au courant, des ordonnées Am = V ; ab = v; a'h' = »' ; etc., et Bn == W, c'est-à-dire des longueurs proportionnelles aux vitesses en A, a, a\ etc., el de faire passer une courbe par leurs extrémités m, b, b\ etc. Dans tous les calculs ultérieurs nous désignerons par U la vitesse moyenne.

Nous verrons plus loin que, dans le mouvement uniforme, Ton peut approximativement admettre, avec DupwX que cette courbe est une parabole du second degré, dont la ligne AmX de la surface naturelle du oaurant serait Taxe. Cette hypothèse n'est pas tout à fait rigoureuse, les observations de M. D'Arcy ayant suffisamment prouvé que

/ iin \'

la résistance due à la cohésion doit être représentée par s [ — J ,

lieu de e — comme Ta admis Dupuit, dans les calculs de la courbe.

L'expérience est d accord avec la théorie, quant à Tindieation générale du sens de la courbe des vitesses. De nombreux essais ont été tentés pour déterminei* exactement la loi de variation; mais les hydromètres n'élant pas arrivés au degré de précision nécessaire, la loi exacte n'a pu être formulée. Les premières tentatives datent de la seconde moitié du xvni'' siècle; elles furent exécutées en Italie. Peu après, en 1789 et 1790, Brûnings fit un grand nombre d expériences, au moyen de son tachomhire, sur les divers bras du Rhin qui traversent la Hollande. De ses observations. Ton conclut que la vitesse diminue graduellement à partir de la surface, ou plutôt, à partir d'une f)etile distance prise en dessous de celle-ci ; et que la diminution, faible d'abord, augmente de plus en plus à mesure que l'on approche du fond. Dans les expériences faites sur l'Arno, par XiménèSy les différences entre la vitesse à la surface V et la vitesse moyenne U ne s'élevaient pas à 1 /l de la valeur de V {Diibvat a trouvé 2/1 en moyenne) ;

en outre, le rapport — variait suivant les endroits ; il allait en décroissant, à mesure que la profondeur atigmentait, depuis 0,934 jusqu'à 0,919 ; cependant celte dernière conclusion est faite aux dépens de plusieurs anomalies.

D'après IVoltmann, la courbe dcb vitesses est une parabole{tig. 18).

Concluant de nombreuses mesures faites dans TElbe, le Weser, la Saaie, etc., Funk adopta la logarithmique, cesi-h-dire une courbe telle que, pour des profondeurs croissant en progression arithmétique la vitesse décroisse en progression géométrique.

Eytehveiv, ne reconnaissant pas les expériences antérieures comme suffisamment normales entre elles, admit, pour la meilleure approximation, une décroissance de vitesse en progression arithmétique et

une diminution de -yr- de V par chaque mètre d'enfoncemenl. Mais

ces hypothèses sont loin d'être d'accord avec les expériences de BrUnitigs.

D'Aubuisson résume de la manière suivante les essais des savants précités ainsi que ceux de MMf. Ràucourt et Defontaine : « La seule « conséquence que Ton puisse tirer des observations connues, et en « particulier de celles que M. Defontaine a faites sur le Rhin, à Taide « du moulinet de Woltmann, c'est que, en général, et à mesure que « Ton s'enfonce en dessous de la surface, dans une rivière, la vitesse « de l'eau diminue graduellement, d'une manière insensible, puis de « plus en plus prononcée, qui croit assez rapidement aux approches « du fond où la vitesse W est encore, presque toujours, plus que la « moitié de la vitesse V à la surface. »

Dans le mémoire que nous avons déjà cité. M, Sonnet, ainsi que Woltmann et Dupuit, admet que la vitesse des différentes couches, dans un tuyau cylindrique circulaire, va en décroissant de l'axe à la paroi, comme les ordonnées d'une parabole. La vitesse moyenne serait, d'après lui, «une moyenne arithmétique entre la vitesse centrale V et celle à la paroi, ou W, conformément à ce qui a été trouvé par Du-

buat; il en résulte que le rapport — , entre la vitesse moyenne et la

vitesse la plus grande, serait compris entre -^ et I. Nous reviendrons sur ce mémoire.

e. Vitesse moyenne.

Si Ton connaissait exactement la courbe réelle des vitesses, il serait facile de calculer immédiatement la vitesse moyenne dans une

section donnée AB (fig. 18). En eftei\ eu admettant que mn soit une

branche de parabole, il suffit d'avoir recours à cette propriété bien

connue : que le segment tmnl est les ■•^^ du rectangle construit sur les

coordonnées tm et n/. Si mn était une ligne droite, Ton aurait évidemment pour U la moyenne entre V et W. (Formule de Dubuat.)

La recherche de la vitesse moyenne est d'une haute importance ; en effet, dans Testimation de la dépense d'un canal ou d'un cours d'eau quelconque, l'on peut admettre que la masse en mouvement est douée d'une vitesse moyenne ; ce sera alors celle qui, étant multipliée par la section du volume liquide, donne la quantité écoulée en une seconde, ou la dépense,