B. DES TUYAUX DE CONDUITE

I. Le mouvement étant rectiligne et uniforme. Tuyaux cylindriques simples, circulaires et à débit constant.

L'on désigne généralement sous le nom de conduites cylindriques celles dont la section transversale est constante ; elles seront des conduites cylindriques circulaires s\ leur section est un cercle. Le profil longitudinal d'une conduite peut d'ailleurs présenter des accidents, pourvu que les lignes qui le composent se raccordent par des courbes adoucies.

Une conduite est simple si aucune autre ne s'embranche sur elle, entre les points extrêmes. Elle est à débit constant lorsqu'il n'y a pas d'orifice percé sur son parcours.

a. Reeherehc de la viienne moyeuMe.

i\ous avons déjà vu que, dans le mouvement rectiligne et uniforme, les forces développées par la pesanteur et la viscosité sont parallèles à Taxe du cylindre ; qu'en outre, pour u«e même couche, concentrique au tuyau, les vitesses des molécules sont égales, et qu'elles vont en croissant d'une couche à l'autre en procédant de la circonférence au centre. Nous savons aussi que, dans une même section transversale la pression varie suivant la loi hydrostatique ; que, par suite, le niveau

piézométrique y est le même pour tous les poiats, puisque la différeuce de bduteur des colonnes doit égaler la différence de niveau de leurs bases, e'est-a-dire que ces colonnes débouchant librement dans Tatmosphère, se termineraient toutes à une parallèle aux génératrices du cylindre.

Supposons qu'une molécule a (fig. 44), prise dans la section droite AB, ait parcouru la distance ab avec une vitesse uniforme; appelant encore 6 la charge PC de cette molécule entre les deux positions a et bf nous aurons une expression de la forme :

COS. ads

ainsi que nous l'avons démontré en généralisant le problème de D. Bernouilli.

Comme Tangle « est, dans ce cas-ci, égal à 180% et que ^' est constante sur tout le trajet ab, attendu qu'elle dépend uniquement de la loi de variation des vitesses d'une couche cylindrique à Tautre, il eo résulte :

.-il ,.)

expression dans laquelle L représente la longueur ab.

D'après la relation précédente, il est facile de s'assurer que ^', ne dépendant que de g, L et 6, c'est-à-dire de quantités constantes, est elle-même invariable pour toutes les molécules comprises dans le volume ABDC ; il suit de là que sa valeur peut s'obtenir aussi en recherchant la force totale produite par la viscosité sur le volume en question, et en divisant ensuite celle résultante par la masse de ce volume.

Or, rinflnence de la viscosité se réduit, pour un cylindre liquide en

raouvenent, à l'action de Vmlhérence seule, attendu que les réactions

mutuelles des tuyaux idéals liquides se résument en une série de forces

/ dv Y élémentaires ^[ '-f ] égales deux à deux et de sens contraire ; Ton

voit en effet que, dans le demi-cylindre inférieur, l'action d'une couche

sur une au4re e^l accélératrice, tandis que le contraire arrive pour la partie sapérieure, où les vitesses vont en décroissant de Taxe à la paroi. La valeur de Tadhérence, rapportée à Tunité de surface, est représentée par une certaine fonction f de la vitesse W à la paroi ; et si R est le rayon du tuyau, et L sa longueur, son intensité totale sera égale à 3 ir. RL. /'(W). Quant à la masse ABDG, elle a pour valeur le volume ir R^L, multiplié par le poids A du mètre cube de Teau ou du liquide, et divisé par g. L*on a donc Téquation :

2irRL. /tW). 9

9rR<LA

+'==is-«w) («)

Égalant les deux valeurs de ^' tirées des équations (m) et (n), Ton en lire :

^ = T-rt^' (»>

Relation qui donne W si Ton connaît la fonction /*.

La vitesse W étant ainsi déterminée, nous allons chercher une relation entre V et W, afin de connaître la vitesse à Taxe, c'est-à-dire celle du filet central. Nous exprimerons alors, en fonction de Y, la vitesse t; d'un filet quelconque, ou la loi de variation des vitesses d'une couche cylindrique à l'autre.

Supposons, à cet effet, que les deux sections normales AB et CD soient infiniment rapprochées, de façon que ah = dL. Dans la section AB (fig. 45), formons le quadrilatère infinitésimal mpqn, dans lequel :

Om = r. On == r -|- dr, Angle pOm = dw, mp = rditi

Ce quadrilatère est la base d'un prisme de longueur dL, dont le volume a pour expression rdwdrrfL, et la masse — rd<ùdrdL, La cohésion exerce sou action sur les faces projetées en mp et en nq ; elle tend, sur nq, à retarder la vitesse des filets, et l'action contraire a lieu entre la face inférieure mp du prisme et la face supérieure mp (lu cylindre liquide intérieur qui lui est accolé. Il suit de là que, des deux composantes de la cohésion totale, l'une est négative et l'autre positive.

— U8 - L*intensilé de la cohésion étant représentée par e 1 — | sur I*unité de surface, elle sera, sur la face mp, égale à

dv Mais comme v décroit quand r augmente, la dérivée — est négative; la composante sur mp sera donc :

En nq la composante sera égale à la précédente augmentée de sa différentielle par rapport à r, ou bien :

La somme des deux composantes représentant Tiptensité totale de la cohésion, celle-ci aura pour valeur absolue :

ti par suite

— rdtadhdr

Égalant les deux valeurs de ^' extraites des équations (m) et (p), Ton obtient :

L*intégration donne

2cL

/ dv \« dA / dv \*

La coDstanle y est nulle puisque r = o donne zéro dans le deuxième membre. D'où :

dr .\^A.p

Pour déterminer C, faisons encore r = o, ce qui correspond à la vitesse V du filet dans Taxe ; il en résulte :

-V = C ou C = -V

et par conséquent :

m / OA \

Equation générale qui exprime la vitesse d'un filet quelconque en fonction de Y. Pour déterminer cette vitesse centrale Y en fonction d'une quantité connue, faisons r = R dans Téquation précédente; à cette condition répond celle de t? = W vitesse à la paroi :

m-f-i\2eL/

La combinaison des expressions (q) et (r) donne Téquation suivante, qui exprime, pour une même section transversale, la relation ou la loi entre les vitesses aux différents points de la section :

Pour connaître la véritable valeur de m, c'est-à-dire celle qui fasse

de réquation (s) Texpression rigoureuse de ce qui se passe dans la

réalité, il faut d'abord constater avec précision les valeurs de Y, W,

et celles de v correspondant à différents points de la section ; ayant

conclu chaque fois la valeur du rapport -rr — — , il reste à chercher

celle qu'il faut donner à m, dans l'expression ( -n- ) " > poQi* que

l'égalité (s) soit satisfaite.

Nous reviendrons plus loin sur celle question, eu examinant les ihcorres et les formules émises successivement par les hydrauliciens.

iO

Chei'choDs mainleiiaul à exprimer la vitesse moyenne U, d'une section quelconque, c'est-à-dire, celle qui, multipliée par Taire de cette section, donnerait la dépense réelle.

D'après les notations déjà employées, le débit par l'élément mpqn (fig. 45) de surface doit être représenté par vrdfsidr; la dépense totale sera donc :

vrdrùdr

où V est une fonction de la \ariable r, et des quantités W, 6, L, R, si on l'exprime d'après l'équation (^), après avoir remplacé V par sa valeur prise dans la relation (r).

(]omme la dépense Q se représente aussi par ttR'U, Ton obtiendra :

TrR'U = U vrdodr I/inlégration étant faite, par rapport à (o entre zéro et Stt, il viendra -

Ttvrdr

<ît, après avoir remplacé v par sa valeur tirée de l'équation (s) :

^■=^^---îxi^^-^^) «

I/on voit que la vitesse moyenne s'exprime aussi en fonction

de W, R, et L, ou bien de W, R et — .

Si l'on voulait déterminer, par expérience, le coellicient de la cohésioD &, il faudrait mesurer une série de valeurs de V et W eorrespon-

dantes à des valeurs données de R et y considérées comme variables;

remplaçant V et W dans (r) par leurs valeurs précitées, obtenues

espériaÈentsl^BomU l'on obtiendrait des séries de relations ne contenant plus qae les inconnues m et s, et au moyen desquelles ces incomues seraient déterminées et contrôlées par la répétition.

Quant à la détermination de là fenetiiHi f (W) correapM&ot à Fadliérenee, après Tavoir représentée par dn dévetoppement de la forlne :

/(W) = A + BW + CW» + DW» + W- =r ^ AR -^

40 Là

ainsi que nous Tavoiis trouvé eu (o), Ton donnerait, dans la relation

précédente, à W une série de valeurs, mesurées expérimeiiftàlement,

et à R et — les valeurs correspondant à ces expériences ; il eu ré-

sulterait un certain nombre d'équations au moyen desquelles il serait possible de déterminer les constantes inconnues A, B, C, D, etc.

Telle serait la marche rationnelle à adopter pour résoudre rigoU'reusemeîit le problème de Técoulement uniforme d'un liquide dans les tuyaux cylindriques rectilignes ou* convenablement raccordés. Malheureusement les formules trouvées sont loin de résoudre la question sous le rappoit pratique; en effet, ce qu'il importe d'avoir, c'est l'expression de la résistance due à la viscosité, qui se borne ici à l'adhérence, d'après (n), non pas eu fonction de la vitesse W du fond, mais bien de la vitesse moyenne U. Celle-ci, ou la dépense Q, oe qui revient au même, est ordiuairemlent la donifée ou l'inconnue principale des problèmes d'hydrodynamique, tandis que W n'a guère d'iuiportance pratique et ne peut être connue que par des expériences spéciales et très-difficiles

b. TUéM^m el forMiiles de •«biiAt, €««toai^ OlraWi, me PMBy, BytrlweHi, l»^Aiikii|s««B9 Makirlery Pnpiili, SelaBcer, Tadlnl, Ae flalni-Temiiit, «•■■et el »'Arcy. — iSsAmen erlU<|ue de l« fermiile v {m)=:cc V + ^D*.

1" Dubuaiy Coulomb, Girard, etc.

La théorie de Dubuat, pour l'écoulement des liquides, repose essentieU^ient sur une fausse conclusion qu'il a tirée de quelques-unes de ses expériences par laquelle il admettait que la vitesse moyenne l c^l uue fonction de M vitesse W à la paroi,, ou au fond, indépeiMlanle

de la figure, de la grandeur et de la pente du eaaal cru du conduit. Ce qui est complètement inexact.

Outre cette prémisse, Dubuat admettait Texistence d'une couche liquide adhérente à la paroi et dont la vitesse serait nulle. Cette hy* potfaèse, parfaitement inutile du reste, servait en même temps à justi^ fier d'autres expériences aussi peu rigoureuses que les premières, et d'après lesquelles raclion de l'adhérence (du frottement, suivant Dubuat, Girard, etc.) serait indépendante de la nature des parois.

Ainsi que nous l'avons déjà exposé au chapitre I, $ g\ ces divers principes n'en ont pas moins servi plus ou moins de guides à un grand nombre d'hydranliciens distingués, tels que Coulomb, Bossut, Girard, De Prony, D'Aubuisson, etc. Il en résulte que l'on trouve, chez tous ces auteurs, une appréciation inexacte des résistances dues à la viscosité. D'après eux, le filet qui glisse immédiatement sur la paroi éprouve deux espèces de résistances : l'une, particulière à cette paroi, et l'autre qui proviendrait du glissement de ce filet sur le revêtement aqueux hypothétique dont nous avons parlé. Supposant la seconde, proportioauelle à la vitesse W, à la paroi, et la première, proportionnelle au carré de cette même vitesse, ils en sont arrivés à représenter la résistance totale par une certaine fonction de W de la forme :

F (W) == MW + NW» (x)

Mais l'hypothèse d'une résistance indépendante de la forme, de- la section et de la pente des tuyaux, entraîne nécessairement avec elle la condition d'un rapport constant :

— = constante = A .

quel que soit le tuyau et son inclinaison ; il suit de là que l'équation (x) peut être remplacée par la suivante :

F(U) = aU + (5U» \tf)

dans laquelle « = Mfe et (3 = Nfe.

Telle est la formule générale présentée encore de nos jours, non pas comme une simple formule d'interpolation, mais comme une loi naturelle, une expression rigoureuse des phénomènes de la viscosité, dans laquelle le terme en aU exprimerait la résistance due à la

cohésion, et ^U' la crnnposante provemint de radhérence aux parois. Par suite, les deux coeiBcients « et |3 fnreot considérés comme deux quantités, constantes dans tous les cas, et que Texpérience pouvait <tttermiuer.

2* De Prany.

C'est en s*appuyant sur les principes de Dubuat que M. De Prony a établi les équations d'équilibre d'une masse liquide coulant dans un tuyau, avec une vitesse quelconque. Il est juste d'ajouter cependant que cet illustre mathématicien n'ignorait nullement la fragilité et l'incertitude des principes en question. Ainsi, pour le cas d'un canal rectangulaire, lorsque, à l'exemple de ses prédécesseurs, îl substitue la vitesse moyenne à la vitesse du fond ou des parois, c'est-à-dire, l'équation (y) à l'équation (a?), il ne peut s'empêcher d'exprimer ses doutes sur la légalité mathématique de cette transformation. « Il est « difficile, dit-il (i), de se persuader que ces divers éléments (la « figure, la section et la pente) n'aient aucune influence sur les rela- « tions entre la vitesse du fond, la vitesse moyenne, et la vitesse à la « surface. Mais il fallait pourvoir aux besoins de la pratique par des « règles suffisamment exactes pour les cas qu'elle peut avoir à traiter, « et les recherches des lois générales et rigoureuses auxquelles les « phénomènes sont assujettis offrent encore un problème où les géo- « mètres et les physiciens trouveront à s'exercer sur des sujets dignes « de leur attention et de leur intérêt. »

Posons, avec De Prony, les notations suivantes ; soient : t le sinus de l'angle du fond d'un canal ou d'un tuyau rectangulaire, d'une largeur indéfinie et dont les parois latérales soient censées n'opposer aucune résistance. (Cette quantité se confond avec l'arc ou la tangente dans les cas ordinaires de la pratique) (fig. 30).

H la hauteur de l'eau sur le fond CD.

s une partie de la hauteur, comptée i partir de la surface AX.

(4) De Prony. Recherchée phygico-mathémaUques sur la théorie des eaux cùuran" tei, p. 79.

I», »"' « , v'\ v'ies vitesses des « diverses eoacbes, depuis

eeUe dé la surface, ou Vy j«is4]u'à celiedn fond» ou t>'. â la densité du fluide; D'après Fauteur, le filet de la surface dont Tépaisseur est dx et don^ la vitesse uniforme est t?", se trouve dans le même cas qu'un solide glissant le long d'un ptaaincibi^t ^^ son équation d'équilibre est la même. Ce point de départ étant admis, voyons comment De Prony estime les forces sollicitantes.

I.e filet liquide est soumis, d'une part, à l'action de la composante de son poids parallèlç au fond, et qui est égale à ce po^ds multiplié par sin. f; c est donc, par unité de masse :

^g, dz. stn. t ou bien ^g. dz, i

le poids du filet par unité de longueur étant ,' — ^ ; nous sup-

posons ici l'angle » très-petit.

D'autre part, la force retardatrice qui fait équilibre à lia pesanteur, et qui n'est autre que la cohésion, dépend évidemment, d'après De Prony, de la vitesse relative t?" — v" "" ', du filet supérieur par rapport au filet immédiatement inférieur, et croit avec elle pour que le mouvement puisse se maintenir unifornae sous une inclinaison quelconque. L'on aura donc, suivant l'auteur, l'équation d'équilibre :

iff. tdz^^fif^-^tf-*) Ou bien :

Aidz =/•(»» — »"-"<)

td*= i/(tF»-.V-*)

que l'on peut encore exprimer comme suit, en supposant les coefficients de la fonction divisés par A, qui ne varie guère que d'un

fluide à l'autre :

,dz = /(»» — r»-«) (A)

la fonction f étant indéterminée, mais de nature à croître avec sa variable.

Quant au filet immédiatement inférieur au précédent» il reçoit de la pesanteur une force accélératrice proportionnelle à idz, et, de son glissement sur le filet inférieur qui va moins vite, une force retardatrice proportionnelle à f(ff-* — t?" - *) ; mais, en outre, le filet supé-

rieur, qui glisse sur lui, renlriutic avec uiie force acccicralrîcc pr^cisémeol égale à la précédeo(e. Ainsi Téquation d'équilibre du filel qui se trouve immédialeinent contre celui de la surface, sera représentée par :

idz = f{v^-^ — »»-2) |-(,,„ — f"-») (A')

1/on agirait dé même :

el pour le deuxième filet, à partir du fond :

idz = /•(»" — »') — /•(»'" — O (A»*-»)

Pour le filel du fond, De Prony admet avec Dubual, Girard, D\Aubuisson, elc, Texisience d'une couche liquide adhérence à la paroi; il en conclut, sur ce filet,. Faction de deux résistances : lune, particulière à la paroi, qu1l exprime par F (t?') ; Tautre, qui proviendrait du glissement du filet sur le revêtement aqueux, et par conséquent de la même nature que la précédente, et qui peut se représenter

par /■(«').

L'équation serait donc, pour la couche du fond :

idz = F (»') + /•(»') - f(v'' — tf) (A")

La somme de toutes les équations précédentes donnera donc :

f. »rf2 = F Vj + /'(»') Ou bien :

Ht = y (»')

où v' exprime la vitesse à la paroi, représentée antérieurement par W. Donc :

ni = y(W) (2)

Telle est Téquation fondamentale^ démontrée par De Prony, comme nous venons de Tindiquer succinctement, et dans laquelle il a substitué à W la vitesse moyenne U, pour satisfaire aux besoins de la pratique.

La théorie précédente est entachée de nombreiises erreurs, qui proviennent essentiellement d'une fausse appréciation de la nature des résistances, ainsi que d'une représentation inexacte de leur valeur. Nous en avons déjà donné un aperçu dans le premier chapitre; il nous parait indi^ensable de le compléter afin de bien établir Torii^ine de forniuies si peu rigoureuses et si longtemps acceptées.

Remarquons d*abord que dans Téquation (3) la résistance totale (p (W) peut s'exprimer par F (v') 4- f («'), c'est-à-dire par la somme des résistances dues respectivement à Tadhérence ou F {v'), et à la cohésion, ou f{v')f celle-ci étant, d'après De Prony, de même nature que la première.

Or, rhypothëse d'un revêtement aqueux n'est pas plus admissible qu'elle n'est utile à la théorie; en outre, nous l'avons déjà dit, la cohésion est d'une nature toute différente de l'adhérence, et ne peut nullement se représenter par une fonction de même genre. C'est ce que nous allons démontrer, d'après Dupult*

Si, au lieu de faire la somme des n équations d'équilibre A, A' A" A", nous ne faisons que la somme des n — 1 premières, nous aurons :

Admellant que H — dz ne diffère •pas sensiblement de H, nous poserons :

m = /'(»"- to (3)

Or, nous avons déjà irouvé, avec De Prony :

«H=F(»')+W D'où il résulte :

rK'-«^')==F(«,')+/(t,') (4)

Que représente ici t?" — v' dans la fonction du premier membre ? Évidemment une quantité infiniment petite, puisque c'est la vitesse relative de deux filets contigus ou infiniment rapprochés; et comme les vitesses vont en décroissant vers le fond, l'on peut poser :

où V exprime la vitesse variable; développant f { — dv) suivant les puissances ascendantes de sa variable — dv, l'on obtient :

fH = ^ {sdv + s'dv^ + «"rf»» + )

et, comme l'on peut négliger les puissances de dv supérieures à la première, il résulte :

,H=— 2rftj (5)

Ainsi, en admettant même toutes les hypothèses de De Prony, il faudrait au moins remplacer la fonction indéterminée f (t>" — «0 ou f( — dv) par Texpression — sdv. Il est vrai que cette première

correction ne rendrait pas Téquation (5) plus rigoureuse, au point de vue de i analyse et de la mécanique. Il est impossible d'admettre une équation aussi peu homogène, dans laquelle un seul membre est affecté d'un facteur infiniment petit, tandis que l'autre est fini. Cette anomalie provient de la condition toute naturelle que De Prony a omise, et qui consiste à mesurer la valeur d'une force par son action sur l'unité de masse , de vitesse ou de temps. Dès que l'on admet que la cohésion est proportionnelle à la différence infiniment petite do des vitesses de deux couches contiguës, il faut, pour exprimer cette résistance, prendre une mesure de dv, en employant pour unité une quantité infiniment petite de même nature, telle que la distance de deux couches quelconques. L'on arrive donc logiquement à représenter la valeur de la cohésion par une expression de la forme :

dv I dv \"

comme nous Pavons déjà vu antérieurement, au chapitre I. %g\ où la constante e était provisoirement représentée par C.

Il nous sera facile de démontrer maintenant que Thypothèse d'un revêtement aqueux sur les parois était si peu nécessaire à to théorie de M. De Prony et de ses imitateurs, qu'elle conduit l'illustre hydraulicien à une conclusion mathématique absurde.

Soit en effet la relation :

Si l'on suppose que v" — v' soit infiniment petit, et que v' soit une quantité finie; si Ton admet aussi que la fonction /croisse avec sa variable, il est impossible de poser la relation précédente, à moins de

considérer, comme infiniment grands tous les coefficients A', B', C

du développement :

/•(»" — v) ou f{dv) = \'dv + B'rf»* 4- C'dv^ + , etc.

tandis que lous ceux de la série correspondant à f(v') ou f {v) resteraient finis.

De ce qu'il est inexact de poser :

résulte, à plus forte raison, l'inexuctitude de l'équation (4) :

Comme le terme /".(«') provient de Thypollièse d'une couche fixe sur laquelle glisserait la seconde avec une vitesse finie, il en résulte que rhypothèse est aussi inutile et aussi inadmissible que les équations qu*elle provoque ou qui en découlent.

Sans vouloir insister davantage sur les erreurs mathématiques et mécaniques de la théorie de M De Prony, nous croyons encore nécessaire de prouver une anomalie qui a déjà été indiquée au ch. I. % g'.

Les équations précédemment posées nous donnent Tégalilé suivante entre Tadhérence et la cohésion :

f(t,"-r') = y(t') = Hî (6)

Comme Ht est un produit fini, que & est en réalité une vitesse finie, tandis que v'' — v' est un infiniment petit, il arriverait qu'en développant la fonction / (v'' — v'), elle devrait avoir des coefficients infiniment grands, tandis que la fonction (p (v') n*en a que de finis. II faudrait donc, pour que les équations (6) pussent subsister que les fonctions (f ei f fussent de nature tout à fait différente.

La formule générale trouvée par De Prony, pour exprimer la valeur totale de la viscosité, est présentée sous la forme suivante :

F (U) =^ A (aU -f plP) ■

dans laquelle A représente le poids du mètre cuhe du h'quide exprimé en kilogrammes.

De Prony a déterminé les constantes a et ^ au moyen de 51 expériences de Dubuat, Bossu t et Couplet. Parmi ces dernrères, 44 avaient été faites sur des tuyaux en fec-blanc de O'^O^T à 0"'054 de diamètre; les 7 autres provenaient d observations de Couplet sur deux conduites très-longues et de 0"'13o et 0™49 de diamètre respectif. Il en conclut :

S*' Eytelwein.

Ainsi que nous Tavons déjà fait remarquer, les formules d'EytelweiUy calquées sur celles de M. De Prony, ne* sont guère plus exactes que ces dernières, malgré^*énorme quantité dobsenrations diverses que le premier a mises en usage.

Nous ne pouvons cependant passer outre, devant la confiance exagérée qui est accordée à ces formules, depuis 1816, même par d'éminents physiciens ou professeurs. C'est ainsi qu'elles constituent encore, dans certains cours de mécanique, la dernière expression de Texactitude pratique, pour Técoulement de Teau dans des conduites d'une grande longueur.

Nous en donnerons, pour ce motif, un exposé succinct, d'après les leçons de mécanique appliquée (1) données actuellement à l'école militaire de Bruxelles.

Représentons par :

A le poids du liquide sous l'unité de volume; X '^ contour du périmètre mouillé de la conduite; L la longueur de cette dernière ; Q, la surface de sa section normale.

Si C exprime encore la vitesse moyenne, la résistance des parois, c'est-à^lire V adhérence^ sera donnée par l'expression :

le chemin parcouru par une tranche quelconque, dans le sens de cette résistance, et pour l'élément de temps, étant Hdt, la quantité de travail élémentaire qu'eHe développe le sera par :

~ . X. L («U + pu'). Urf^ •

A et, comme l'élément de masse rfJW = — . Û. IJd/, lexpression de

cette quantité de travail deviendra :

dM^(«U + |3U«)

dont le double devra être retranché du second membre de l'équation des forces viyes, concernant les quantités de travail des forces motrices. (Voir ch. L % c', 3*^ et ch. II. % a.) €es considérations étant appliquées au cas de la iig. 46, avec des

(4) Steichen, Leçom auiographiéeg de mécanique appliquée.

notalioDS analogues à celles de la (ig. 23, Ton arrive à Téquation des forces vives :

„.[,^+.v(^l)-(.~)']^<H-., les vitesses U et ti étant liées par la relation :

flKT. U = ûtt

En effet, la force vive acquise par une tranche éiémenlaire dM, dans son passage du réservoir M au bassin inférieur N, se compose de celle qui lui a été imprimée de M en a6, ou :

[(Ut-VS)+dM.U«.mv(-J^-l)

diminuée de celle qu'elle perd en débouchant dans le réservoir N, c'est-à-dire :

rfM (U - VO* == dM /u-U-^ J*

Ou bien :

rfM.U«(i-^)' (7)

V et V étant les vitesses en M et N.

Si Ton suppose que les sections S et S' des deux bassins soient trèsconsidérables par rapport à <t; que Ton fasse, en outre, o-' = û et P = f), la formule se simpliOe, et devient :

Supposant ensuite û == cr, Ton obtient :

qui donne la vitesse U dans la conduite, lorsque H — A est connu.

Lorsque Técoulement se fait à Tair libre par Torifice ab, |

alors h = o puisque le bassin inférieur disparaît. Dès lors aussi le |

terme UM 1 — ^ ) dM, donné plus haut (7), doit être supprimé, et réquation devient :

dans laquelle, P = p; a = û; m = 1 ; et u = U. Ou bien aussi :

Considérant qu*en général L est très-considérable par rapport à û, ou au diamètre D du tuyau, le deuxième terme du second membre peut être négligé par rapport à la valeur du premier, c*est-à*dire de celui qui exprime Taclion de Tadhérence. II en résulte :

Eytelwein a tenu compte du terme U* Il + f — j — 1 j J, et la représenté par — en prenant pour fx la valeur :

la contraction en a'b' étant censée complète; prenant le mètre comme unité linéaire, il a trouvé :

a = 0,0002193 et p =- 0,0027496 (m)

— L + y/ L> + (860776L + 586i75SD) DH 25,0754L-f i726,82D

Admellant le terme en D' négligeable par rapport à L', sous le radical, et divisant haut et bas par 25,0754 L, l'expression devient :

D'après MM. £} telweia et Steiehen, Ton peut obtenir une formule plus simple quoique suffisamment exacte, en négligeant le terme ail;

mais, pour la mettre d'accord avec lexpérieûtse, il faudrait faire, avec

Eytelwein :

p = 0,00349987 = 0,0055 environ

et la vitesse U dans le tuyau devient alors :

U = 26,Uy/j

DU

Ici s'arrêtent les considérations et les calculs de M. Sleichen sur récoulement de Feau dans les conduites.

Quant aux coefficients a et |3 indiqués par Eytelwein pour être substitués à ceux de M. De Prony dans la formule :

F (U) = A (aU + pu»)

ils sont en réalité les suivants :

a = 0,0000222 et p = 0,000280

et correspondent très-bien à ceux qui ont été indiqués en (m), lorsqu'on divise ceux-ci par g = 9,8088.

Quoique le système que nous venons d'examiner soit déjà plus rigoureux que celui de Dubuat, Girard ou Dé Prony, il n'en est pas moins entaché d'importantes inexactitudes, qui étent aux formules finales toute garantie de vérité.

Si Texpression a U -f (3 U* n'est plus considérée ici «comme une loi naturelle représentant l'action totale de la viscosité, elle suppose encore implicitement la possibilité de substituer U à W sans erreur sensible. Quant à la cohésion, il n'en est pas tenu compte; et Tinflueuce de la viscosité semble se réduire à une sorte de frottement, indépendant de la pression, et d'une nature particulière. Voici en effet à quoi se bornent les considérations de M. Steichen sur cette importante résistance :

« Nous avons jusqu'ici fait abstraction d!une force retardatrice « qui n'a qu'une influence négligeable dans tous les cas où la vitesse tr du fluide est très-petite et les sections très-grandes, mais dont il « faut tenir compte lorsqu'il s'agit de tuyaux d'une grande longueur « par rapport à leur diamètre ; cette résistance est celle que les parois « opposent au mouvement du fluide, par suite de l'adhérence que « contractent avec elles les molécules immédiatement en contact. On « conçoit en ell'el facilement que, par siiite de la vi.scosiliV plus ou

« moins grande du fluide, le retard éprouvé par ces molécules doit se « iransmeitre de proèhe en proche à toute la masse, et finalement « altérer le mouvement général. C'est ce que Texpérience vérifie pour « les liquides conune pour les fluides élastiques. »

Ainsi, pas la moindre notion sur la nature et la valeur de la cohé* sion. Or, bien que les composantes élémentaires de cette force s'entre* détruisent dans Técoulement par les conduites, il n'en est pas moins indispensable de la connaître pour établir rigoureusement la loi des vitesses. Il est vrai que M. Steichen, comme Ëytelwein, peut se dispenser d'y avoir égard, du moment où il admet, pour vitesse moyenne, l'expression empirique de Dubuat ou de De Prony, ainsi que nous le verrons plus loin.

4'' D'Aubuisson.

Cet auteur, considéré encore comme classique, n a absolument rien compris à la nature des deux résistances qui constituent la viscosité. S'il avait employé à cette étude un peu plus de la théorie qu'il tenait en si maigre estime, .il serait arrivé peut-être, comme Dupuit et Navier, à distinguer l'essence de chacune d'elles, et il ne serait pas tombé, à la suite des expériences de Coulomb, dans Terreur grossière de Dubuat, De Prony, etc., qui ont posé comme loi naturelle la formule d'interpolation correspondant à l'adhérence.

Voici, du reste, sa façon d'estimer les deux composantes de la viscosité.

Puisque la résistance qui détruit Taecélération de la pesanteur est un efiët de l'action des parois, elle sera d'aulant plus considérable que ces parois auront plus de développemeul , ou que le périmètre mouillé X sera plus grand.

Mais cette résistance du périmètre se répartira entre toutes les molécules de la section, puisque leurs mouvements sont liés par une adhérence (D'Aubuisson confond l'adhérence avec la cohésion) mutuelle; ainsi, plus elles seront nombreuses, ou bien plus la section sera grande, moins la vitesse de chacune d'elles, et par suite la vitesse moyenne, en sera altérée. L'action de la viscosité varie donc en raison inverse de la surface de la section.

D'un autre côté, plus la vitesse sera grande et plus il faudra, dans UQ même temps, arracher de molécules à Tadhérence des parois; plus il faudra, en outre, les arracher promptement, et par conséquent consommer plus de force ; de sorte que la résistance sera en raison doublée de la vitesse. Tel est le raisonnement singulier qui a servi à conclure que Tune des composantes est une fonction de v^.

Quant à la deuxième composante (due sans doute au glissement du liquide sur le revét&nent aqueux de D'Aubuisson), elle serait une fraction très-faible de la vitesse, qui disparaîtrait quand celle-ci serait grande. Diaprés l'auteur (1), cette force est inférieure à celle d'adhérence tant que la vitesse excède O'vO? ; mais, en dessous de cette limite, elle devient prépondérante. Il ajoute la phrase suivante, qui est bien faite pour justifier notre avant-propos, et suggérer de légitimes défiances au sujet des expériences faites par les plus habiles hydrauliciens, et des conclusions qu'ils ont pu en tirer : « Cette résistance, « due à la viscosité (évidemment; mais à quelle partie?), devient ' « d'autant plus sensible, comparativement à la première, que la vi- « tesse est plus petite : Dubuat avait déjà remarqué ce fait important, « et Coulomb, par une série d'expériences faites avec l'intelligence « et l'exactitude qui le caractérisent, a trouvé qu'elle est simplement « proportionnelle à la vitesse. »

C'est eu s'appuyant sur les considérations précédentes que D'Anbuisson arrive à représenter la résistance provenant de la viscosité, sur une longueur L, par une expression de la forme :

dans laquelle v est la vitesse à la paroi, A et B deux coefficients constants.

Admettant alors, d'après Dubuat et De Prony, que l'on puisse remplacer une fonction F (v) de la vitesse à la paroi par une fonction de même espèce F (U), dans laquelle U serait la vitesse moyeâne, il en conclut :

Restait à déterminer l'équation d'équilibre. Apf>elajit H la charge

(i) D*Aubui88on, Traité ^hydraulique. 4834, p. MO.

de la conduite, ou LD (fig. 19), la vitesse de sortie en DD' serait V^ 2gfH si la résistance des parois, dit Tauteur, ne venait opposer une résistance au mouvement. La perte de charge, produite par cette

résistance, est donc H — —, et doit représenter la force retardatrice. De là, par extension :

Pour la détermination de A' et B', D'Aubuissou se sert des observations de Couplet, déjà citées, et adopte Téquation :

H ~ ^ = 0,0003425 -^ (U« + 0,055 U) trouvant très-inutile de tenir compte du terme U*| 1 + [ — 7— t ] J

ou— ^ d'après Eytelwein, puisque Teffet de la contraction est impli-

citement compris dans la valeur de A' donnée par Texpérience. Si le tuyau est à section circulaire, Téquation précédente devient :

El comme la dépense Q est généralement Tinconnue ou la donnée principale, Ton obtient, en remplaçant U par 1 ,273 -^ :

H - 0,08264 ^ = 0,002221 p(Q« + 0,0432 QD*)

Telle est Téquation générale présentée par D'Aubuisson pour résoudre tous les problèmes de Técoulement de Teau dans les conduites.

Il est juste d'ajouter cependant que Tauteur déclare n'avoir qu'une médiocre confiance relative dans Texactilude des résultats que l'on obtiendrait en employant d'une manière absolue la formule précédente. Il allègue, avec beaucoup de raison et de perspicacité, les motifs suivants comme suffisants pour légitimer ses doutes :

1" Les ex|)cricnces qui ont seivi à lu détermination des con-

stantes A' et B' ont été faites génépalemeiU sur des tuyaux de faible diamètre, de petite longueur, bien calibrés, bien unis entre eux, bien nets à l'inlérieuri

2« Les tuyaux employés dans la pratique sont toujours plus ou moins déformés par le moulage, la cuisson ou la coulée; leur section n'est pas rigoureusement circulaire, leur réunion ne se fait jamais correctement dans un même axe, et leur surface intérieure n'est ni régulière ni bien unie.

3« L'air a une action sur Técoulemenl, lorsque les conduites sont sinueuses dans leur plan vertical, car en se portant vers les parties supérieures, d'où il ne peut s'échapper, il produit par sa résistance des étranglements plus ou moins sensibles.

4» Enfin, comme les eaux charrient toujours des molécules terreuses, et qu'elles contiennent des sels qui se précipitent sur les parois, il ai-rive que la section finit par s'allérer d'une façon irrégulière, par diminuer de surface, et la dépense en est modifiée.

Par suite des motifs précités, D Aubuisson recommande de diminuer de 1/5 à 1/2 le coefficient numérique de la dépense; et il avoue avoir adopté pour système d'augmeniei idéalement de moitié la quantité d'eau que doit mener une conduite à établir, c'est-à-dire qu'il remplace, dans la formule, la dépense Q par '^- Q, s'il s'agit de calculer le

diamètre, la longueur ou la charge de la conduite.

L'expérience a légitimé les doutes de D'Aubuisson ; néanmoins il nous a semblé nécessaire d'insister sur le triste mérite d'une théorie et d'une formule employées si longteriips pour régler les lois des phé- * nomènes les plus importants de l'hydrodynamique.

3" Navièr.

Quoique M. Navier se soil leuù dans des géuéialitcs théoriques el qu'il ail adopté riiypolhèse inexacte de ses prédécesseurs, quant à la ualure des composantes de la viscosité, il n'en a pas moins rendu de grands services à la théorie du mouvemenl des eaux courantes. C'est ainsi que, reconnaissant l'impossibilité mathématique d'estimer de la même manière deux forces d'ordre différent, il n'a accepté l'exprès-

siou F (U) = aU 4- (3U' que comme une simple formule d'interpolétion» et comme expression de la résistance provenant uniquement de Tadhérence. Appréciant, d un autre côté, la différence infiniment petite t" ■"' — r" des vitesses de deux filets contigus, et mesurant cette nouvelle force suivant les lois de la mécanique, il est arrivé, pour la

valeur de la cohésion, à lexpression e -r- , qui, sans être tout à fait

satisfaisante, est déjà un notable progrès sur les mesures arbitraires et les notations inexactes de M. De Prony.

II est à regretter que Navier ait pris pour principe que les actions répulsives des molécules doivent, pour la cohésion comme pour Tadhérence, être également modifiées ou dipninuées de quantités proportionnelles aux vitesses avec lesquelles ces molécules s'éloignent ou se rapprochent les unes des autres ou des molécules immobiles appartenant à la paroi.

Après les considérations précédentes et celles qui Ont été présentées au premier chapitre, nous n'entrerons pas dans de plus amples détails sur la théorie et les calculs de Fillustre mathématicien moderne. Cependant, avant de passer outre, il n'est pas hors de propos de chercher quels seraient les résultats produits par la conception hypothétique de Tauteur, si on Fintroduisait dans les formules de la théorie générale exposée au chapitre IV, B, § a, d'après les ouvrages les plus récents de MM. Dupuit, Bresse, D'Arcy, etc.

Faisant donc m «=: 1 dans l'équation («), Ton obtient :

ou bien :

De laquelle il résulterait, suivant Navier, que les vitesses décroissent à partir du filet central comme les ordonnées d'un paraboloïde de révolution ayant même axe que le tuyau.

L'hypothèse de m = 1 introduite dans l'équation (t) :

donnerait :

qui est la formule de Dubuat.

Déterminons encore à quelle distance R' du centre se trouverait le tuyau liquide infiniment mince possédant la vitesse moyenne. L*on pourrait arriver directement à cette valeur au moyen de Téquation (u) qui donne la parabole des vitesses ; mais il est aisé de l'obtenir par les équations déjà citées (s) et {t) ; en effet, la première donne pour résultat :

- U / RM • ^-W \R/

lorsqu'on y fait t? = U et r == R'.

Comme la seconde peut se mettre sous la forujc : V — U 2m

l'on en conclut

2m fW\ -TT

Si m = I , le rapport — = ^ ^ ou 0,707. Nous verrons que la

valeur de ce rapport change très-peu, quelle que soit celle que Fou donne à m ; Tinfluence de Texposant se fait donc sentir spécialement sur la grandeur de la vitesse moyenne.

6° Dupuif.

Cet éminent ingénieur a exposé le premier, d'une taçon claire et rationnelle, la différence radicale qui existe entre les composatates de la viscosité, autant pour ce qui concerne la nature que pour ce qui se rapporte à la détermination mathématique et mécanique de la mesure de ces deux forces. Aussi profond que logique dans ses critiques et >cs l'onclusions, M. Dupuit a rendu d'importants services à Hij-

draulique, par son admirable ouvrage sur le mouvemeoi des eaux courantes. S'il n'est pas arrivé» dans sa méthode, à l'expression rigoureuse des phénomènes de la nature, il faut lui rendre le juste hom* mage que mérite une théorie logiquement déduite de l'expérience et des lois mathématiques et mécaniques qui régissent les forces de quelque nature qu'elles soient. Du reste, les formules de Dupuit donnent déjà des approximations qui sont en général très-suffisantes pour la pratique ; et quant à la confiance que l'auteur leur accorde, elle se résume tout entière dans ces quelques lignes, extraites de son avantpropos (1), et bien faites pour légitimer encore, si cela était nécessaire, l'admiration et l'estime respectueuse que mérite cet illustre ingénieur.

« L'on a commis une étrange confusion, dit-il, en cherchant, « comme l'a fait Eytelvsrein , à déterminer la valeur des coeffi- « cients a et (3 au moyen d'expériences variées, dans lesquelles ils « devaient avoir des valeurs très-différentes. Il suit de là que la plus « grande incertitude règne sur la valeur des coefficients qu'on em- « ploie, et qu'il ne faut accorder aux résultats de la formule de « M, De Prony qu'une confiance très-limitée. Toute cette partie de

n l'hydraulique est donc à refondre sous le rapport expérimental

« En attendant qu'un pareil travail ait été fait (3), les formules ra- « tionnelles que j'ai établies, pour le mouvement uniforme, peuvent « servir à apprécier les circonstances ou les anciennes formules sont « plus ou moins exactes, et indiquer les limites des erreurs pos- « sibles

« Dans le mouvement varié, comme il est impossible, même pour « un canal régulier, de déterminer la vitesse de chacun des filets, fc seulement d'une manière approximative, toute solution qui repo- « sera sur la différence de force vive de deux sections sera nécessai- « rement erronée. Il ne faut donc s'attendre à quelque exactitude « dans l'application de la formule du mouvement varié que dans le « cas où les sections seront assez éloignées

« Quant aux phénomènes du mouvement varié dans un canal irré-

(4) J. Dupuit, ingéDîeur en chef, Études théoriques et pratiques sur le mouvement des eaux courantes. Paris, 48i8.

(2) Les précieuses expériences récentes de M. D*Arcy semblent avoir réalisé le programme de M. Dupuit.

« gulier, c'est-ànlire, aux remous produits par des étranglements et « élargissements naturels ou artificiels, la science est encore si incer- « taine en ce qui concerne la connaissance des forces retardatrices « qui se manifestent dans les canaux réguliers, qu'il faut bien avouer m son impuissance absolue à révéler ce qui se passe dans le péle-méle « confus de tous les filets, au passage d'un étranglement brusque. « Cette question est d'autant plus en arrière qu'on la croyait complé- « tement résolue.

« Il ne faudrait pas conclure des nombreuses lacunes que nous < avons signalées, dans nos études sur le mouvement des eaux cou- « rantes, que les notions vagues qu'on possède maintenant, que les « nouvelles formules proposées pour les compléter ne peuvent être « d'aucune utilité pour la pratique, et, qu'à cause de l'incertitude des « données, on peut demander aux caprices de l'imagination, ou à une « routine aveugle, des résultats que le calcul ne peut fournir avec « exactitude. La pratique n'a presque jamais besoin d'un résultat « précis; il suffit ordinairement de savoir que le produit de tel cours « d'eau est au moins ou au plus de tel volume, que le tirant que peut « espérer la navigation sera au moins de telle hauteur, que les crues c ne dépasseront pas telle limite, que la vitesse ne sera pas telle « qu'elle puisse entraîner tel terrain, tel ouvrage. Dans ces circon- « stances, les considérations que nous avons exposées, les données « expérimentales que nous avons rappelées peuvent fournir une solu- « tion suffisante et même servir à apprécier la distance qui les se- « pare de la solution exacte. Enfin, dans d'autres circonstances, « l'homme pratique n'y trouvera peut-être que la conviction de son « ignorance, et cela suffira pour éviter ces grandes erreurs, ces fautes « irréparables qui n'ont jamais pour cause ce qu'on ignore d'une « science, mais bien ce qu'on croit en savoir. »

Suivant Dupuit, les deux composantes de la viscosité ont pour propriétés communes l"" d'être proportionnelles aux surfaces en contact; 3® d'être indépendantes de la pression; 3* de croître, pour l'adhérence, avec la vitesse absolue ; et, pour la cohésion, avec le rapport entre la vitesse relative des couches et leur épaisseur.

Il en résulte que ces résistances se distinguent complètement du . frottement des solides les uns sur les autres, qui ne dépend ni de la

vitesse, ni de la superficie du contact, et crott au contraire avec la pression. Cependant, ajoute Fauteur, l'adhérence du liquide au solide est une force de même ordre et comparable au frottement ordinaire. Quant à la cohésion des molécules entre elles, c'est une espèce d'aflinité chimique d'un ordre complètement différent et qui agit avec une intensité incomparablement plus grande que Tadhérence. Celle-ci peut être expérimentée sous une vitesse finie quelconque; Teifort nécessaire au glissement est, il est vrai, très-faible pour Teau, puisque, pour une vitesse de l"" par seconde, il n'atteindrait que 360 grammes par mètre carré de contact, et avec une hauteur de couche indéterminée ; mais, quelque minime que soit cet effort, il est cependant appréciable, et on peut le comparer, soit avec la pression, soit avec le frottement des solides. Au bout d'une seconde, l'adhérence aura décrit un espace fini, la couche liquide aura parcouru 1 mètre sur la paroi, et l'on aura, comme quantité de travail nécessaire> celle qui serait produite par un poids de 360 grammes tombant d'un mètre de hautear. Mais la résistance engendrée par la cohésion est une force d'un ordre bien différent ; elle ne peut être expérimentée que sous une vitesse infiniment petite. Si Ton suppose, en effet, que l'on fasse glisser sur une surface d'eau immobile, et avec la même vitesse de 1*", la colonne liquide dont il vient d'être question, la couche d'eau mobile n'aura parcouru, sur la surface au repos, que quelques distances moléculaires, dont les longueurs cumulées, si nombreuses qu'elles soient, ne pourront produire une longueur finie, comme un mètre, la vitesse relative étant toujours infiniment faible et ne pouvant être mesurée que par des unités infiniment petites. L'émînent ingénieur conclut, avec raison, que l'adhérence et la cohésion n'étant ni de même ordre ni comparables entre elles, il est impossible de les supposer dans des conditions telles, qu'on puisse leur appliquer une mesure commune. DéjàNavier avait admis cette différence mathématique; mais, ainsi que nous Tavons vu, une seule et même hypothèse sert chez lui de base aux formules qui les représentent : celle de la proportionnalité des deux résistances aux vitesses avec lesquelles les molécules s'éloignent ou se rapprochent.

Pupuit adopte l'expression s — trouvée par Navier pour la cohé-

sioQ. Pour l'adhérence, il pose en principe que, dans les limites de la

pratique, elle est à peu près proportionnelle au carré de la vitesse ;

que, cependant, elle est représentée plus exactement par la relation

suivante :

Hf = aW + W2-(-

Ou bien :

-^,- = aW-|-tW*-f-

Ou, plus rigourensement encore :

~ , = C + flW + W« +

Car, dit-il, si Texpérience prouve que Hi est sensiblement nul quand W est très-petit, il n'est pas rigoureusement vrai d'en conclure que Ton a le droit absolu de supprimer le terme constant dans le' développement de la fonction de W, puisqu'un plan incliné reste mouillé aprh l'écoulement.

Nous sommes d'accord avec l'auteur, quant à l'influence insignifiante du terme constant G; mais son explication nous parait d'autant moins admissible qu'il ajoute autre part : a Si une paroi sur laquelle « l'eau a coulé reste mouillée, cela tient à ce que nécessairement « l'écoulement s'y est terminé dans un moment où l'épaisseur H était « sensiblement nulle, car la nature des choses s'oppose à ce qu'un « écoulement d'une hauteur finie puisse être interrompu brusque- « ment. » Il y a là implicitement une contradiction évidente.

Les signes employés par Dupuit ont les mêmes significations que

celles qui leur ont été attribuées jusqu'ici; ainsi H, L, i sont encore

liés par la relation :

c'est-à-dire que l'angle dinclinaison t représente aussi la charge ou la différence de niveau entre les bassins , divisée par la longueur du tuyau, en vertu de laquelle le mouvement uniforme est établi.

C'est en partant des considérations précédentes que Dupuit a tenté de remplacer les formules empiriques de ses prédécesseurs par des formules rationnelles fondées sur les propriétés réelles des deux résistances si distinctes produites par la viscosité.

Admettons d'abord avec lui, momentanément, que la section d'écou-

leinenl soil un rcclangle de largeur indéfinie, on de parois latérales sans frottement, tel que l'avait supposé De Prony. La vitesse W représentera donc celle du fond seulement. Voici comment le savant et logique mathématicien établit sa théorie et ses formules :

Équation de la courbe des vitesses (1).

La relation entre la vitesse v d'un filet el sa profondeur s peut s'exprimer de deux manières.

Si ion considère un plan quelconque, situé à une profondeur s, Ton trouve qu'il doit y avoir équilibre, sur ce plan, entre la pesanteur qui agit sur toutes les couches supérieures avec une intensité proportionnelle à iz, et la résistance sur ce plan qui est — ^—r^ ; ce qui

dz

donne :

dv

Si Ton considère, d'un autre côté, une seule couche d'épaisseur dz, l'on trouve qu'il y a équilibre entre :

1"* La pesanteur, qui agit avec une intensité proportionnelle à idz

^"^ La cohésion avec le filet supérieur qui agit dans le même sens que la pesanteur, avec une intensité proportionnelle à — z -j—

3** La cohésion avec le filet inférieur, qui agit en sens contraire de la pesanteur, avec une intensité proportionnelle à ç ^^ ' ^^

dz

Et par suite, l'on peut poser :

dv d (v 4- dv)

tdz — e -r- = — s p —

dz dz

d^v dz^

qui n'est rien autre que la dérivée de la relation (m'). (1) .T. Dupuit, Études sur tes eaux courantes. 4848, chap. I, p. 35 et suivantes.

Prenant ensuite, dans le plan ZAX, parallèle au courant (fig. 90), des ordonnées v, proportionnelles aux vitesses, leurs extrémités m, b, V, n, détermineront une courbe qui sera représentée par les équations différentielles précédentes.

L*intégration donne :

v=C-~»« (nO

La constante s'obtient par la condition que t? = W vitesse du fond, pour z == H ; d où :

W étant donné par Téquation :

Hi = aW + 6W»+

Si Ton connaît, au contraire, V la vitesse à la surface, Téquation (n') devient :

t^»=V~-^z« (if)

Lorsqu'on connaît V et W, Ton obtient, par l'élimination de s entre (n') et (p') :

Cette équation est analogue à celle que nous avons obtenue en (ti), lorsque nous avons fait m = 1 dans l'équation (s), La courbe qu'elle représente est encore une parabole du second degré, dont la ligne de la surface naturelle du courant serai t. l'axe.

Voici maintenant comment les résultats que nous venons d'obtenir se modifient dans une autre section.

Dans un tuyau cylindrique, un des cylindres liquides concentriques quelconque, dont le rayon est r, a pour équation d'équilibre :

dv dr

car il éprouve de la part de la pesanteur une force accélératrice proportionnelle à irr% et de la part de la couche contiguë extérieurement, ou de la cohésion, une force retardatrice proportionnelle à son contour et à sa vitesse relative. L'on en conclut :

dv i !.. ». dv

— r- = — -^r-^ ou bien : ir == — 2e -r-

dr 2c dr

équation tout à fait semblable h celle que nous avons obtenue en (m')

pour un rectangle indéfini , sauf à changer e en -^ e, ou i en — t.

Si West encore la vitesse à la paroi, V celle dans Taxe, et R le rayon du tuyau cylindrique, les équations (p'), (7') et (r') deviennent ici :

l'^V-Ar» (p'O

et chacune d'elles peut servir à déterminer la courbe des vitesses.

L'on peut déduire de ces relations que, lorsque le diamètre 3R change, la courbe ne change pas et ne fait que se prolonger jusqu'à la nouvelle paroi du tuyau ; quant à Finfluence de Tangle d'inclinaison t

ou des rapports — , elle se borne à modifier le paramètre.

Recherche de la vitesse moyenne.

De ce qu'il y a similitude dans les courbes de vitesses du rectangle et du cercle, il serait inexact de conclure que la vitesse moyenne est donnée par une même formule pour les deux sections. L'on conçoit, en effet, que les couches cylindriques d'épaisseur dr n'étant pas égales en surface, comme cela se présente pour le rectangle, il doit en résulter que la couche animée de la vitesse moyenne se trouve plus près de la paroi dans le tuyau cylindrique que dans le canal rectangulaire.

Par suite, pour déterminer la vitesse moyenne de la section, l'on posera :

ûU = I » X 27rr(/r ou bien :

et, en intégrant

jj'

„R»U= I (V- "^ ^^^ A%irrdf

Relation qui n'est rien autre que la formule de Dubuat, ou celle que Ton obtient en faisant m = 1 dans Féquation (i). Quant à la distance de cette couche cylindrique à Taxe, il suffit,

pour l'obtenir, de faire v = dans Téqualion (r") de la

courbe ; de là :

r = iRV/T^0,707R

comme nous Tavons déjà trouvé en traitant de la théorie de Navier.

Équations générales pour les tuyaux cylindriques ou quelconques.

Les équations qui doivent servir à déterminer les quantités W, V, U, R et f, en fonction de deux d'entre elles, sont les suivantes :

1 R, = |,W + fcW«

Ces équations étant applicables, d'après Dupuit, au demi-cylindre comme à la conduite entière, Ton pourrait observer dès lors, à la surface du demi-cylindre liquide, la forme de la courbe des vitesses, c'està-dire mesurer V, ce qui serait bien plus facile que de le chercher à Tintérieur. Remarquons ici que, d'après la deuxième équation, le coefficient e, qui représente Ténergie de la cohésion, est proportionnel au carré du rayon, ou à la section.

Lorsque la section est quelconque, les équations précédentes subissent des modifications. Désignant par W la vitesse moyenne à la paroi, et par ju. Tangle, ordinairement très-petit, de la verticale de profondeur maxima avec la normale sur le fond, Dupuit arrive aux équations générales :

^j^aW'-f-fcW^-f-

dans lesquelles P exprime la profondeur. Ces relations donneraient les formules des conduites cylindriques si Ion y faisait û=7rR*el X = 2irR, car pour un cercle R cos. fx = R puisque (jl devient nul.

Si Ton élimine V entre les trois équations générales ci-dessus, il reste les deux formules :

ii, = flW' + w ($')

qui doivent, d'après Dupuit, remplacer la formule unique suivante, de D'Aubujsson, De Prony, Eytelwein, etc.

— i = aU + |3U» (0

A ce sujet, Féminent géomètre démontre, avec sa logique ordinaire, l'impossibilité mathématique de remplacer F (W) par F (U), ou (s') par ((').

Pour que cette substitution fût permise, dit-il, il faudrait que le

rapport -rrr- fut constant. En effet, Téquation exacte (s*) peut s'écrire

sous la forme :

et si Ton admet que -jr- soit constant, Ton en conclut :

ce qui ferait retomber sur la relation (f). Mais en réalité, le rap-

W port -TT- est donné par la première équation rigoureuse :

D'où :

Si dans celle expression Ion remplace— i par sa valeur appro-

chée bW (au lieu de aW -t- 6W'») dans laquelle b == 0,0003855 comme compensalioo, Ion obtient :

Adoptant, d'après De Prony iui-mémé, la valeur :

et —^^ 3200 ou au moins == 3200, comme Ta proposé M. Sonnet,

d'après quelques expériences de Couplet que De Prony a rapportées dans ses tables, Ton arrive au résultat définitif:

U i + 0,28PW' ^^^

Nous reviendrons sur ce rapport au § G, en développant les diverses théories appliquées à Fécoulement dans les canaux découverts.

7*» Barré de St-Venant, Sonnet.

Au lieu de représenter, comme De Prony, par un binôme les résultats des 51 expériences de Dubuat, Bossut et Couplet, expériences dont nous avons indiqué les défauts et les conclusions exagérées, M. Barré de St- Venant a cru pouvoir exprimer par le monôme CU" les phénomènes réels qui se sont produits dans ces diverses observa* tions. Il a proposé, pour m et C, les valeurs :

Dans son Mémoire déjà cité (1), M. Sonnet s'est proposé de modi^ fier les hypothèses et l'analyse de Navier, de façon à pouvoir, sans prétendre expliquer les phénomènes moléculaires de la viscosité, en présenter au moins les résultats avec plus d'exactitude. Ainsi que nous l'avons déjà vu, M. Sonnet élargit le principe général de Navier, en prenant, pour représenter l'action mutuelle de l'adhérence ou de la cohésion, une fonction de la vitesse relative développable suivant les

(4 ) Mémoire sur le mouvement rectiligne et uniforme des eaux couratUes en ayant égard aitœ différences de vitesse des filets. 4846.

puissances enliëres de sa variable, et dont il conserve, suivant Tapplicalion, tantôt un seul, tantôt deux termes. De même que Navier, Fauteur déduit de son hypothèse, pour la cohésion, des équations aux différences partielles, qui se réduisent à une seule pour le mouvement permanent rectiligne considéré dans le mémoire; mais, pour Tadhérence, il obtient des équations différentes et qui ne sont plus linéaires; d'après lui, la relation ordinaire av + bv^ ne serait qu'une formule d'interpolation, et l'adhérence serait représentée par une fonction impaire de la vitesse.

Appliquant ses principes à un courant rectiligne, de section circulaire, dans lequel les filets également éloignés de l'axe sont censés animés de la même vitesse, M. Sonnet trouve, par l'intégration, les mêmes résultats que Dupuit ; c'est-à-dire que la courbe des vitesses est une parabole ayant pour axe celui du tuyau, et dont la convexité serait tournée dans le sens du courant. Quant à la vitesse moyenne,

elle est encore une moyenne arithmétique entre V et W, distante de

Taxe d'environ les — du rayon R.

Afin de déterminer la vitesse moyenne en fonction de W seulement, Fauteur adopte deux termes àW + 6W* pour la fonction qui représente l'adhérence; en se servant des équations intégrales données par son analyse, il obtient les deux formules :

flW + 6W* = 4 I^' et U-:W + -^

qui contiennent trois coeflicients constants a, b,-— , dont les valeurs

doivent être spécialement déterminées pour chaque série d'expériences en faisant usage de la méthode des moindres carrés.

Ayant appliqué les formules précédentes aux expériences de Couplet sur les conduites de Versailles, M. Sonnet a trouvé qu'elles y

satisfont mieux que celles d'Eytelwein. Ainsi, prenant a=0,0000194;

b = 0,00037 ; et -- = 5,200, les erreurs proportionnelles données

par les formules en question n'atteignent pas -^ , tandis que par

celles d'Eytelv^ein, elles s'élèvent à plus de -r^ .

L auteur a essayé aussi de représenter par ses formules les résultats des 44 expériences de Bossut et de Dubuat. Il a trouvé qu'il suffisait d'y faire :

a = 0,000024 et 6 = 0,000286

valeurs trouvées encore par la méthode des moindres carrés.

Nous n'insisterons pas davantage sur la théorie de M. Sonnet; quant à ses conclusions, nous venons de voir qu'elles concordent- généralement avec celles de Dupuit. Avant de terminer, nous croyons utile de faire connaître, eu peu de mots, la méthode dite des moindres carrés, dont on a si souvent fait usage.

Après avoir fait un certain nombre d'expériences auxquelles Ton est censé accorder une confiance égale, il s'agit de satisfaire le mieux possible à leurs résultats, au moyen d'un trinôme de la forme jcU + pU*. Tel serait le cas pour la formule :

1 Ri = aW + bW

Les valeurs de a et de 6 ne pouvant probablement pas satisfaire rigoureusement à toutes les expériences, Terreur absolue sera pour l'une d'elles :

et l'erreur relative :

^ Ri - (ûW -f- bW)

2 (aW -f- ^W«) 1 — • -

Rt

Or, il résulte d'une démonstration de Laplace que, pour réduire au minimum l'erreur relative moyenne à craindre, il faut donner à 6 et a des valeurs telles que la somme des carrés des erreurs relatives soit la plus petite possible.

Par suite, si l'on fait :

2(aW-f 6W«)-

les conditions du minimum seront données en posant :

dl dl

da db

ou bien

ou bien encore

H* Rî — ^JrT"'

r 2(aW+6W«) lW» L Ri JW"^

al 4- bl ^ — z —

R«i*^ RV 2 Rt

Rit» ^ "* R«t^ 2 Rt

éf aations du premier degré, à 8 ineonnues a et b, dont les six sommes sont parfois assez longues à calculer quand le nombre d'expériences est considérable. Du reste, ce procédé n'est pas très-rigoureux, car il s'appuie sur Thypothèse d'une égale exactitude dans toutes les observations de la série.

8« B'Arcy.

Avant que M. D'Arcy eût fait connaître ses importantes et précieuses recherches expérimentales sur l'écoulement de l'eau dans les tuyaux, quelques savants, tels que Dupuit, Tadini, etc., avaient déjà proposé de représenter l'adhésion par un monôme de la forme CU*; mais cette simplification n'était point généralement admise à cause du doute provenant de la pénurie d'expériences comparatives. Aujourd'hui, cette importante question semble tranchée par les observations de M. D'Arcy, quoique ces dernières n'aient pas toujours rigoureu* sèment autorisé les déductions qu'on en a tirées.

Ainsi que nous l'avons vu, cet éminent ingénieur a reconnu, par expérience, que la cohésion, rapportée à l'unité de surface, pour chaque élément de surface commun à deux couches liquides contiguës,

est proportionnelle à l'expression ^ ( ^ ) • Il paraîtrait, d'après ses

observations, que le coefiicient e de proportionnalité, qui mesure l'énergie de la cohésion, serait variable d'un liquide à l'autre, ce qui est tout naturel, et qu'en outre il varierait suivant le rayon R de la conduite de façon à croître avec la deuxième puissance de ce dernier. Contrairement i l'opinion de M. Bresse, cette influence de R*, ou

de la section û = ttR^ n'a rien qui doive surprendre. En effet , Ion conçoit tout d'abord que la valeur de la cohésion croit plus rapidement que Tadhérence lorsque le calibre augmente, la première se produisant sur le volume et la seconde sur la surface. D'un autre côté^ si Ton se reporte à la deuxième des 3 équations générales posées par Dupuit, pour les tuyaux cylindriques, Ton en tire :

qui donne la même proportionnalité. L'on peut donc en conclure que les observations de M. D'Arcy n'ont fait que confirmer un fait que Dupuit avait déjà théoriquement démontré.

Voici, en résumé, les conclusions expérimentales de l'auteur, sur l'écoulement de l'eau dans les conduites cylindriques simples, à débit constant et rectilignes :

l*" Lorsque s'agit de tuyaux neufs, le frottement (notre adhérence) de Teau contre les parois varie considérablement avec la nature et le poli des surfaces.

2^ La nature de la surface tend à perdre son influence à mesure que les tuyaux se recouvrent d'une couche de dépôts' amenés par Peau elle-même; et, cette circonstance, pour la fonte, engendre un frottement deux fois plus grand que lorsque le tuyau était neuf.

Nous croyons devoir faire remarquer ici, avec M. Bresse, le peu de rigueur de cette conclusion (1). En réalité, M. D'Arcy a déterminé ses coefficients a et 6 au moyen de tuyaux en fonte neuve ; il a ensuite admis que l'existence de dépôts dans les conduites d'une nature quelconque doit simplement faire doubler ces coefficients.

Il ajoute, comme développements :

3*» Le frottement (ou plutôt l'adhérence), par unité de surface, peut

éti'e représenté par :

U étant la vitesse moyenne; mais, pour les tuyaux qui ont quelque temps d'usage, l'on peut se contenter du monôme :

Afc,U« = F (U) le nombre b^, variant seulement avec le rayon R du tuyau; tandis que

(4) M; Bresse, Cours de m4caniqu$ impliquée. {Hydrauli^,) 48M, p. 423.

a et b, tout eu étaul variables avec R, dépeudraienl encore de la nature des surfeces pour les conduites neuves.

Ce troisième principe de M. D'Arcy^ admis ultérieurement par M. Bresse, laisse aussi à désirer sous le rapport de rexactitude, en ce qu*il suppose implicitement que Ton puisse représenter par une fonction F de la vitesse moyenne U la force retardatrice de radhérencci qui est réellement F (W), par unité de surface. Cette hypothèse, nous le répétons, ne deviendrait légitime que si U était déterminé pour une certaine valeur de W; mais il n'en est pas ainsi : à une seule valeur de W peuvent correspondre diverses valeurs de U suivant la grandeur

des autres variables R et — , ainsi que Ton peut s'en assurer plus

haut, par Télimination de V entre les équations (r) et (t).

i"" Pour les conduites déjà vieilles ou chargées de dépôts, les con* slanles a, 6, 6„ doivent élre calculées comme suit ;

Pour des tuyaux en fonte neuve les nombres a cib devraient élre diminués de moitié.

Il est encore une observation importante à faire sur ce quatrième principe de la théorie de M. D'Arcy : c'est que 6„ et par suite la résistance due à l'adhérence aux parois est plus considérable dans les petits tuyaux que dans ceux d'un calibre supérieur; les variations sont, il est vrai, très-faibles, puisque la valeur moyenne de fe, est 0,000625 pour des diamètres compris entre 0"06 et 1"00.

c. Réa«lattoM d'é^vattoMs séMérales et 4e cas lyirtIcvlleM.

Si, dans léquation (o) trouvée au § B. a, Ton remplace R par — , Ton obtient :

Tï»l-=f^(«) (A)

dans laquelle 6 représente la charge entre les sections extrêmes, ou bien encore la perte de charge dans cet intervalle, puisque la vitesse de chaque molécule est constante.

Soit aussi : Q le débit qui a lieu, en une seconde, par une section transversale quelconque; U la vitesse moyenne, également invariable pour toutes les sections puisqu'elle est donnée par le quotient coa-

stant i • tiré de Tideutité :

Q = jirD*U (B)

ËnHuy soit s I le rapport — , c'est-à-dire la charge ou perte de

charge par mètre courant de conduite.

L équation (A) devient^

lDi = ^F(U) (C)

qui n est rien autre que la première des 3 équations générales de Dupuil, pour les sections circulaires, ou :

La formule (C) permet de résoudre tous les problèmes de Técoulemenl, lorsque deux des quantités D, U, Q et i sont connues, car il n y a, en réalité, que trois indéterminées, les quantités U, Q, D étant, en outre, liées par la relation (B). L'on peut classer ces problèmes comme suit :

1* Étant donné D, t, trouver U, Q.

Le plus souvent, en pratique, U n'est qu une inconnue auxiliaire; lorsqu'on a la dépense Q, l'on n'a guère besoin de calculer la vitesse moyenne.

Des six problèmes précités, les deux premiers sont les seuls inté-

ressauts, parce qu'ils se présentent à tout instant. Les quatre derniers

sont, du reste, les plus faciles à résoudre, la relation (B) réduisant le

calcul à celui d'une seule inconnue qui est donnée alprs directement

par la formule (C).

Lorsque les problèmes se rapportent à des conduites déterminées de

position, et qu'il s'agisse, par exemple^ de l'un des deux premiers cas,

t'en peut connaître i expérimentalement au moyen de piézomèlres,

placés en divers points, qui donneront la charge totale 9 entre ceux-ei,

et, par suite, la charge — par mètre courant; V sera mesuré en fai*

sant écouler le liquide pendant un temps t, ce qui donnera Qt, donc

aussi la dépense Q par seconde, et en prenant alors la relation :

Quant à F (U), nous adopterons, suivant KL D^Arcy, la relation générale :

Quoique les calculs n'offrent aucune difficulté, nous croyons devoir traiter l'un des six problèmes, aQn de faire comprendre l'utilité que peuvent présenter certaines tables, fréquemment employées pour faciliter et réduire les opérations.

Prenons le premier; il peut s'exprimer ainsi t Connaissant le diamètre d'une conduite, ainsi que la charge par tnhtre courant, trouver la vitesse U et la dépense.

La formule (C) donne :

D'où:

Dt

"=««.*o«»vÇ^

Si l'on planait pour 6, la moyenne 0,000625 = (0,025)*, Ton obliendraît :

Introduisant la valeur calculée de U daps la relation (B)» Ton en conclut Q ou la dépense.

La moyenne 6| = 0,000625 correspond à une conduite de diamè.-

tre D' == 0"H ; pour D <^D' ou <^0"»1 1 , Ton a : U <^20 1/"D^ L'erreur relative sur U est d'environ 7 pour cent lorsque D = 0,06, et 9 pour cent lorsqu'il atteint {""OO, dans Thypothèse où Ton adopterait toujours pour 6^ la moyenne en question.

La résistance -- F (U) étant, d'après De Prony et Eylelwein, une

fonction de U seulement, ces auteurs ont établi des tables, dites à

simple entrée, indiquant les valeurs de — F (U) pour une sérié de

valeurs de U considérée comme la variable. Dès lors le calcul de U, que Ton devrait faire comme plus haut, sauf à remplacer F(U) par «U -f ^U', ne serait plus du tout nécessaire : il suffirait de faire le

produit -y Dt, et de chercher le nombre égal à ce produit dans la co-

lonne — F (U); en regard se trouverait la valeur de U.

Comme F (U) est, d'après nos conclusions, une fonction de U et de D, il faudrait, pour suivre une marche analogue, posséder une table à double entrée, c'est-à-dire à deux arguments ou variables ; ou bien, une série de tables simples, comme celles de De Prony, dont ehacuneserait relative à un diamètre particulier; et Ton prendrait alors, pour chaque problème, celle qui conviendrait au diamètre D donné.

Une table de ce genre a été construite par M. Bresse, d'après les données expérimentales de M. D'Arcy que nous avons développées. Elle est rapportée à la fin du Cours remarquable d'hydraulique professé par ce savant ingénieur à l'École des ponts et chaussées de France. En regard du diamètre D, il a inscrit les valeurs correspondantes de l'aire -r- tt D*, du coefficient 6, du rapport -jr-; etdu loga- 4 . y"

rilhme de — ; il a formé ainsi une table à simple entrée, les quantités

précédentes n'étant réellement fonction que de la seule variable D; en effet, si Ton élimine U entre les relations :

1 Di = 1 F (U) e. 1 Di = (0.000507 + ^^52^) 0.

Ton obtient :

Ainsi, lorsque D et t seront les données du problème. Ton trouvera d*abordpar la table -^, soit directement, soit par son logarithme.

Ayant la valeur de-rr- == N par exemple, Ton déduira Q de la rela-

tiôn :

^-Nd'oùQ

-Vt

Si Ton voulait connaître aussi la vitesse U, Ton emploierait la relation (B).

M. D'Arcy a également construit une table à double entrée, qui fait connaître t et Q en fonction des arguments D et U. Mais elle est incomplète en ce qu'elle ne fournit que par tâtonnement les quantités D et U, lorsque t et Q sont les données immédiates du problème.

II. Mouvement permanent varié ; conduites simples, à diamètre ou à débit variable,

a. I<e(i varlattoBS ûe tftoMètre et die ûéhH M^étoMt pas eeatlMiiea.

Nous avons vu que, dans le mouvement uniforme, la vitesse d'une molécule quelconque est constante sur tout le parcours de la conduite, et que toutes les sections présentent la même courbe de vitesses. Or, ces faits ne se réaliseront plus si la section transversale du tuyau varie d'un point à l'autre du profil eu long; ou bien si, à une section constante, correspondent des pentes variables. Enfin, le mouvement cessera encore d'être uniforme quand il se produira un débit variable, par le fait d'orifices, ou de tuyaux secondaires, existant en certains points du parcours de la conduite principale.

Supposons qu'une conduite^ recevant Téau d'un bassin M(fig, 47), soit composée d*une série de parties AD, DH, HL, etc., de diamètres différents, et percées d*orifices ou de tuyaux secondaires en des points B, C, E, F, 6, K. Admettons d*abord que les portions AB, DE, HK, soient assez courtes pour que Ton ne puisse négliger Taction produite par le rétrécissement ou l'élargissement brusque de la conduite ; exprimons par :

D, D^, D,, les diamètres des tuyaux AD^ DH, HL ;

hy h^, h^, h^, les distances verticales mesurées en descendant,

entre le plan de niveau du bassin et les sommets des colonnes

piézométriques élevées en B, C, E, F ces sommets

étant soumis, comme le niveau du bassin, à la pression atmosphérique; d'où p ^=^p' ;

U, U4, U,, Ug, les vitesses moyennes dans les parties AB,

BC, CD, DE, etc. ;

L, Lf, L„ Ls, les longueurs AB, BC, CD, DE, etc.

Il s'agit d'établir Téquatiou générale. de Técoulement, c'est-à-dire

une relation entre les niveaut piézométriques h, h^, h^. A,, aux

points B, C, E, etc.; les vitesses U, U|, U,; les longueurs L,

L|, L„ et les diamètres D, D^, D,

Rappelons d'abord certains résultats déjà démontrés, au moyen desquels la question sera très-facile à résoudre.

D'après la conclusion trouvée eu c, au § B du chapitre II, la perte de charge produite par un rétrécissement ou un élargissement brusque de section est égale à la hauteur représentative de la perte de vitesse moyenne. Mais il est important de se rappeler que la démonstration correspondante reposait sur l'hypothèse du parallélisme des filets dans les sections ab et 6H (fig. 27) où étaient mesurées les vitesses. Cette hypothèse est très-admissible ici pour le calcul de la perte de charge que l'eau éprouve à son entrée A dans la conduite, les variations dans le mouvement ne commençant à se produire qu'aux approches du point B.

Désignant par 6 cette première perte éprouvée, nous poserons donc, d'après le résultat du § B. c^ du chapitre II :

u étant la vitesse par un orifice a, percé dans un diaphragme imaginaire (fig. 99).

Désignant par a^ i'aire de cet orifice, et par S' la surface tt --7-

d'une section droite du tuyau AB, nous aurons :

U mv' ma'

Par suite :

Supprimant le diaphragme fictif, pour ramener le cas de la fig. 29 à celui de la question actuelle, c'est-à-dire, posant S ^= c, nous obtiendrons, en définitive :

-fi^'f ^

ou bien, aatrement :

S'*' ig \m I ig\mSr S' )

Si donc nous représentons par H la charge AX, correspondant à .l'hypothèse d'une perte de vitesse nnlle, ou à peu près, nous aurons :

et par conséquent

o = Hx-

Si, dans cette expression, nous faisons : m = 0,615, ce qui correspond en moyenne aux orifices circulaires, nous trouvons :

valeur qui difière un peu de celle qui est donnée expérimentalement

d«ns leSt ajutages cylindriques, pour lesquels nous avons obtenu :

D'où:

La charge perdue est -=- de la charge totale ou la moitié de là charge

restante.

Nous adopterons pour 9, celte dernière valeur; il est toujours préférable, pour éviter des mécomptes, d'augmenter légèrement les résistances qui tendent à diminuer la dépense.

Lorsque la longueur L ne peut être considérée comme très-courte, il faut tenir compte d'une autre perte de charge provenant de Faction

de la viscosité, entre A et B, et qui se représente par --r=r . F (U), au

mètre carré, ainsi qu'il a été démontré. Admettant toujours une vitesse nulle dans le réservoir, nous aurons, d'après le théorème de Bernouilli :

La viscosité étant la seule force retardatrice de B en C, nous aurons, d'après l'équation (C) du paragraphe c § B, la valeur de son action :

D'où :

De G à E, nous aurons d'abord une perte de charge analogue à la précédente, et représentée par :

puis une deuxième perle produite en E par l'élargissemenl brusque de

section, et qui s'exprime ici, d'après le § B. c du chapitre II, par la relation :

et le théorème de Bernouilli étant appliqué encore de G à E, nous obtiendrons :

II serait facile d'exprimer ainsi, successivement, la perte de charge ou rabaissement piézométrique A, — A„ etc., en passant d'un orifice à Pautreen fonction des vitesses moyennes respectives.

Différenls problèmes peuvent se présenter dans des circonstances analogues à celles que nous venons d'examiner. Supposons, par exenu pie, que les diamètres étant donnés, il s'agisse d'obtenir une certaine dépense déterminée Q, par l'orifice H, avant toute perle ultérieure, c'est-à-dire, posons :

Y'^DsU, =-Q d'où: U, = .i^=N

Il en résultera les équations suivantes :

Ainsi de suite, jusqu'en A, en tenant compte, comme dans l'équation générale, des diverses résistances ; nous aurons ainsi une série d'équations qui détermineront les niveaux piézométriques aux points B, C, E, etc., et par conséquent i, i\ i", etc.

Très-souvent les pentes sont données, par suite les niveaux piézométriques ; l'on se propose, dans ce cas, de calculer les diamètres de façon à ne dépenser qu'une charge déterminée A„ — An -«- 1 » avec un volume d'eau connu Q», sur chaque portion de la conduite.

Toute la théorie précédente étant basée sur l'hypothèse du parallélisme des tranches n'est qu'une approximation des phénomènes réels

du mouTement varié. Cependant elle donne des résultats suffisamment rigoureux dans la plupart des cas de la pratique, parce que, généralement, les portions de tuyaux AB, BC, CD, etc., sont assez longues pour que les pertes de charge, occasionnées par les étranglements ou les accroissements brusques de section, ainsi que les différences des hauteurs dues aux vitesses, soient négligeables devant les charges engendrées par Tadhérence, proportionnellement aux longueurs L, L^, L«

En outre, comme d*ordinaire le diamètre est constant entre deux orifices consécutifs, le problème rentrera alors dans les circonstances de celui que nous avons résolu plus haut par Téquation (D) ou (E).

La question, telle que nous Favons envisagée par la fig. 47, n*est pas tout à fait générale : ainsi, il peut arriver que les diamètres des parties AD, DH, .... varient par degrés insensibles, et qu'il en soit de même du débit, par le rapprochement excessif des orifices m, m^, m,; correspondant aux points B, C, E Nous supposons toujours que le mouvement soit permanent, c'est-à-dire que, dans une même section, les phénomènes ne changent pas avec le temps.

b, É^nallon ffénérale du monTénienl perawaeiil varié f Imi varlatlMM

élAnt eontliiae*.

Dans de telles conditions, il est impossible, avec les connaissances actuelles, de résoudre le problème d'une façon suffisamment approximative. Quelques auteurs, il est vrai, ont admis que, dans le mouvement varié permanent par filets sensiblement parallèles, les vitesses des filets qui traversent une section quelconque varient d'un filet à l'autre, suivant les mêmes lois que lorsque le mouvement est uniforme. Nous sommes loin de partager, à cet égard, l'opinion de MM. Navier, Bélanger, Bresse, etc. L'hypothèse précédente nous parait incompatible avec les véritables phénomènes du mouvement varié; il y a même implicitement contradiction ou cercle vicieux à la formuler.

Dans le mouvement uniforme, chaque filel peut être considéré isolément; le chemin qu'il décrit est parallèle à l'axe, et il n*y a jamais mélange des molécules d'un filet avec celles des filets voisins. Il n'en

est pas ainsi dans le mouvement varié où la vitesse est différente d'une molécule à Taulre d*un même filet, soit par le fait d'un diamètre ou d'un débit variable, soit par les deux réunis. Dès lors, la vitesse variant dans un rapport quelconque, les molécules d'un même filet s'éloignent ou se rapprocbent, suivant que la vitesse augmente ou diminue, et les molécules des filets voisins s'en rapprochent ou s'en éloignent dans les mêmes circonstances, le même mouvement s'opé* rant aussi bien dans le sens vertical que dans celui du mouvement. Il en résulte une certaine pénétration des filets entre eux, pénétration variable aussi dans une même section puisque, par la définition même du mouvement, les vitesses changent dans un rapport quelconque très-différent sur tous les points de la section. Le mouvement varié cause donc, par ces pénétrations, une perle de travail qui ne se produit pas dans le mouvement uniforme, et qui ne peut plus se mesurer par l'inclinaison des tangentes de la courbe des vitesses.

Les formules du mouvement uniforme ont été obtenues au moyen de procédés analytiques dans lesquels il n'a été tenu compte que du déplacement moléculaire qui se fait dans le sens du mouvement ; les appliquer aux phénomènes du mouvement varié, c'est faire abstraction d'un deuxième déplacement qui s'opère dans un sens perpendiculaire au premier, et par conséquent aboutir à un résultat inexact.

Malheureusement, il est impossible, dans l'état actuçl de la science, d'introduire dans le calcul celte perte de travail engendrée par la pénétration. Outre la difficulté de l'évaluer, même approximativement, et de la représenter, il en résulterait, pour la pratique, des formules certainement trop compliquées. Mais cet obstacle actuel, momentané peut-être, n'exclut pas la nécessité de faire bien apprécier l'influence notable du mouvement varié sur la distribution des vitesses des filets; s'il n'est pas possible aujourd'hui de calculer exactement celte influence, il est important de s'en rendre compte afin de l'introduire approximativement dans la probabilité d'exactitude du résultat que Ton cherche. D'ailleurs, la considération bien entendue de la résistance due à la pénétration ou à la division des filets empêchera de commettre de graves erreurs, par une fausse application des formules pratiques ordinaires du mouvement varié, ou par une confiance exagérée dans l'exactitude de leurs résultats.

Nous u'exposerQus que succioctemeDl les calculs de Tanalyse adoptée par MM. Genieys, Navîer, Bélanger, Bresse, etc., pour établir réquation générale du mouvement varié dans les conduites. Si Ion désigne par ds la distance qui sépare deux sections infiniment rapprochées, et par M rabaissement du niveau piézométrique entre ces deux sections, le théorème de Bernouilli étant censé applicable dans ces limites. Ton obtient :

vdv 1

= d9 xL COS. w. d«,

vdv 1

= dô---^|;.d« (G)

I/intégralion donne :

Telle est Téquation admise pour le mouvemenl varié, et démontrée dans un grand nombre de traités d*hydraulique.

Revenons à Téquation différentielle (G). Le premier terme est

la valeur moyenne de raccroissement que prend -^ pour chacune des

molécules comprises entre les sections considérées. Dans Timpossibilité de l'évaluer exactement, la théorie ordinaire admet une nouvelle

approximation; elle remplace par la différentielle de la hauteur

due à la vitesse moyenne U ; de là :

= dô ^.d$

et ensuite :

9 àù ^ '

Enfin, remplaçant F (W) du mouvement varié par F (U), et adoptant pour cette dernière la même fonction que celle du mouvement uniforme, ce que nous avons reconnu tout à fait impossible, Ton obtient :

9 Au ' ' rfÔ==i^-l--^F(U)d* ...(H)

Pour les iuyauxcirculaireSy celte tHfaaitioli peut se mettre sous ia forme :

d9=-M. + 4,*.CV, (L)

en remplaçant F (U) par Afe, U*, d'après D'Arey. Si Ton pose en outre :

Q = |7rD«U (M)

Ton obtient deux relations (L) et (M) entre les quantités Ô, U, D, et Q, qui sont toutes fonctions de la seule variable s. L'on pourra donc, comme plus haut, en a, trouver deux de ces quantités lorsque les deux autres seront données.

c. €«Bdiilles slmi^lMi à dtomèlre varlalile et à ééhH c«b«UibI.

C est une particularité du cas précédent. Soit L la longueur AB (fig. 48) de la conduite; U et l}| les vitesses moyennes en A et eu B, pour s = ei 8 = L. Si Ton suppose que le débit soit constant, et égal à Q, réquation (L) devient par l'intégration :

Afin de simplifier cette relation, Ton admet une nouvelle série dliy-

pothèses; ainsi, Ion néglige le terme — *—^ parce que, dans les

grandes conduites, ce terme n'est qu'une petite fraction de la charge totale G ; en second lieu les variations de b^ étant insignifiantes quand D est > O'^OG, l'on remplace cette variable par une constante 6j représentant la moyenne trouvée (0,025)>. L'on donne généralement, comme excuse plausible à cette licence, l'incertitude et le défaut de précision qui régnent déjà dans l'ensemble de l'analyse employée; ce singulier argument doit contribuer à diminuer encore la faible confiance que mérite celte théorie.

— «96 — Quoi qu'il en soit, nous poserons avec les auteurs précilés:

et, comme Q est constant quand s varie

r ds

Remarquons que Tintégrale I -;--- ne dépend que des dimensions

de la conduite; ainsi, quels que soient le débit et la charge (ou la pente) la valeur de cette intégrale restera constante pourvu que le

rapport -rr- ne varie pas, c'est-à-dire que Ton ait :

De là, celte loi remarquable indiquée par Dupuit : Deux conduites simples, à débit constant, mais à diamètre variable suivant des lois quelconques, débiteront le même volume d'eau sous la même charge, et seront alors dites équivalentes, lorsque la somme des produits des longueurs élémentaires qui composent chaque conduite, multipliées chacune par la cinquième puissance de Nnverse du diamhtre correspondant, conserve la même valeur dans les deux conduites.

Cas particuliers >

l"" D'après l'énoncé du problème précédent, le diamètre pouvait varier suivant une loi quelconque; cette condition comprend donc aussi le cas ou le diamètre serait constant sur de certaines longueurs L|, L,, L„ c'est-à-dire celui de la fig. 47, sauf Tincon-

stancedu débit; Ton conçoit dès lors qu'il suffirait de poser :

çt rii ri-t ri%

L on peitt encore -conclure de ce qui précède que, si la conduite a uji pelil diamètre sur une fraction notable de sa longueur, et un diamètre plus fort sur la longueur restante, la dépense sous une charge déterminée sera peu supérieure à celle que Ton obtiendrait si le petit diamètre s'étendait sur toute la conduite.

Soit, en effet, un tuyau de longueur. L et de diamètre constant D produisant une dépense Q; supposons que, pour augmenter ce débit,

on double le diamètre sur une longueur -^ L; l'intégrale | -^r devient

ulors

^L;rintégrale| -i-(

Il il.

)— 4-1 -^ = 1 JL4.I

Or, si dans Téquation (N) Ion remplace successivemetil Tintégrale par ^ et par — . , | on obtient :