CHAPITRE PREMIER

ANALYSE COMBINATOIRE.

Arrangements, permutations, combinaisons.

On appelle arrangements de m objets « à « les résultats obtenus en prenant n de ces objets de toutes les manières possibles, de telle sorte que ces résultats diffèrent soit par l’ordre, soit par la nature de ces objets. On désigne habituellement par A. n m le nombre des arrangements de m objets pris n à n.

Supposons que l’on connaisse A^, cherchons à former pour former les arrangements n+i à n + i de m objets, il suffit de placer à la suite de chaque arrangement n à n chacun des objets qui n’y entrent pas, ce qui fournit (m — n) A^ résultats tous différents soit par la nature du dernier objet, soit par les arrangements n à n qui ont servi à les former. Il est facile de voir, du reste, qu’un arrangement quelconque n H- i à n -h i se trouve compris dans les résultats de notre opération, car on peut le former en plaçant un dernier objet à la suite des n autres, qui forment

un arrangement n à n. On a donc

Ai +, = A n m (m-n), d’où l’on conclut aisément

A — rn{m — i ) . . . ( m — n -f- 1 ) ,

en observant queA^==/n, que, par suite, A * m = m(m — i) — On appelle permutations de m objets les résultats obtenus en groupant ces m objets de toutes les manières possibles, de telle sorte que tous les résultats diiï’èrent par l’ordre des objets qu’ils contiennent. Il résulte de là que, si l’on désigne par P, n le nombre des permutations de m objets, on a

en adoptant la notation très-répandue m ! pour désigner le produit 1.2.3 .../».

On appelle combinaisons de m objets pris n à n les résultats obtenus en groupant n de ces m objets de toutes les manières possibles, de telle sorte que tous les résultats diffèrent seulement par la nature des objets qu’ils contiennent } en d’autres termes, deux résultats contenant à l’ordre près les memes objets sont censés identiques. Si l’on désigne par Q n m le nombre de combinaisons de m objets pris n à w, il est facile de voir que l’on a

A", m(m — i )...(/» — b+i) ml

P„ 1.2.3 ...n ( m — n)lnl

et que si, par suite, on fait a -j- (3 = m, on a

ml

iïjfî ‘

— Hn-/M