CHAPITRE I

ANALYSE COMMNATOIRE.

En ellet, supposons que l’on connaisse C? n ; pour obtenir 1 A", il suflira, dans chaque combinaison, de permuter les n objets qu’elle renferme, car les combinaisons sont des arrangements considérés comme identiques, lorsqu’ils ne diffèrent que par l’ordre des objets; on a donc

Vi /« /S x n ix ni »

d’où l’on déduit les formules précédentes.

Sur une méthode générale suivie dans les recherches d’ Analyse combinatoire.

Le but de l’Analyse combinatoire est de calculer le nombre des groupes que l’on peut former en arrangeant des objets d’une manière déterminée. Ce nombre peut s’obtenir directement dans un grand nombre de cas, mais la plupart des auteurs ont substitué aux méthodes directes une marche qui conduit plus sûrement au résultat et à laquelle on est même forcé d’avoir recours dans un grand nombre de cas, où la recherche directe ne conduirait qu’à des résultats impossibles à calculer. C’est ainsi que le produit 1 . 2 . 3... /2, qui représente le nombre des permutations de n objets, serait impossible à évaluer si n représentait un nombre tel que iooo ou ioooo, la longueur des opérations à faire devenant un obstacle presque insurmontable.

La méthode indirecte dont je veux parler consiste à considérer la quantité que l’on veut évaluer comme le terme général du développement d’une fonction en série ordonnée, suivant les puissances ascendantes d’une variable x. Pour donner tout de suite une idée de cette méthode, je vais en faire l’application à la recherche du nombre de combinaisons de m objets pris n à n.

Si l’on considère le produit (i -f- nx)(i -+- bx )...( i — / Je) , dans lequel le nombre des facteurs est m, il est clair que le coefficient dex" sera la somme des produits obtenus en multipliant n des lettres a, &, c , I entre elles de toutes les manières possibles ; ces produits sont en nombre égal à celui des combinaisons de m objets, pris n à n. Si donc on fait a — b=c=... = i , le coefficient de x”, dans (i + x't", sera précisément C£, .

Posant alors

on a, en différentiant, par rapport à x,

m{ I -+- x)"-' = Ci, -4- ... -4- nC",x"-', et, par suite,

(a) m(i ■+■ .rj" = (i -+- x) (C^-4-. . .-f- nCJ.x"-');

si l’on multiplie ensuite l’équation (i) par m, et si l’on identifie le second membre avec celui de la formule (2), on trouve

m Cm — n Cm -4- ( n -t- 1 ) C n m 1 ,

d’où l’on tire

Comme on connaît à priori on en conclut facilement

La méthode en question se réduit donc : 1 0 à trouver la fonction dont le terme général ait pour coefficient la quantité cherchée ; i° cette fonction étant connue, à former son développement. La fonction en question est ce que l’on appelle, d’après Laplacc, la fonction génératrice de l’ex-