TT A

Si l’on désigne encore par X' une quantité moindre que 1 , on aura

Enfin si l’on observe que, en changeant k 9 en £, on a

/î cos ~ dt

e~ 1 ' cos — dt

et c *>' désigne une quantité évidemment inférieure à T(M), et, a fortior'i, à T i on pourra donc écrire la formule (8), en ayant égard aux formules (9) et (10), comme il suit :

e~ l cos dt - 4-

en confondant le terme c*)' avec celui qui est de même forme . Celte formule peut s’écrire (p. 34 )

« 1 -ni 4X m /A*\ V

77 * V 2 / 3A 4 ff

CHAPITRE IH. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC. to5 ou bien encore, en prenant h — r,

P— } — P~^pq ^ — — ... xf — 1 pq ) H

^2ic2pq it^llLpq \ ' 4 / ${Zpqj 2 iT

Le dernier terme de cette formule est tout à fait négligeable; quant au second, il est beaucoup plus petit que le premier, lorsque g n’est pas un grand nombre.

Si l’on ajoute maintenant les valeurs de P correspondant aux valeurs i — /, i — l- f- i , i « — / -j- 2 , . . . , i -f- l de a, i désignant la différence entre 'Lp et le plus grand entier N contenu dans on obtiendra la probabilité Q que E aura lieu un nombre de fois compris entre N — l et N -h / ; on aura donc

4mJ 2 A t' 7T i — l '

nk \lj Ak'it

On peut du reste calculer la somme E qui entre dans cette équation par la formule d’Euler, et l’on a

2 y^r 2AJtt J — L

ce que l’on peut encore écrire

if-

V — l -=c 4/r, = 4, f <n'dy -4

2 A' vV \1tc J O

24 Ai 3 \jv:

En désignant alors par v une quantité comprise entre

o et 1 , en remplaçant Je par sa valeur y/^Epy, et en se servant de la notation 0(x) pour désigner la fonction

io6

: 'dx, la formule (n) deviendra

fi)

\\llïpq)

1 3 X* 7 rJ

La plupart du temps, si l est de l’ordre de A, mais un peu supérieur à A, on aura à très-peu près Q = i, et l’on pourra poser, sans erreur sensible,

ijllpq

Telle est la formule qui donne l’expression de la loi des grands nombres; elle contient évidemment le théorème de Bernoulli. Ce résultat était connu de Poisson, mais personne jusqu’ici n’avait donné l’expression rigoureuse de l’approximation que comportait cette formule.

Théorème inverse de celui de Bernoulli.

Je suppose que l’on ait observé l’arrivée d’un événement E, et que cet événement ait eu lieu « fois sur

s éprouvés, sa probabilité ne différera pas beaucoup de ** si le nombre s est très-grand; et, en effet, un événement, dont la probabilité est se produit environ a. fois dans

s épreuves. Si l’on ne se contente pas de cette approximation un peu vague, on est naturellement conduit à se poser cette question :

Soit p la probabilité constante, mais inconnue, d’un événement E, cet événement ayant été observé a fois dans

s épreuves. Quelle est la probabilité que p diffère de d’une quantité inférieure à l.