CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC

et, par suite, la formule (2) s’écrira

on trouve

ou, en changeant de variable et posant y / y — — j

Si l’on évalue c au moyen de la formule approchée de Stirling

P =4= f y <r-ïV 7 .

Cette formule est rigoureuse quand on suppose s — 00 , et il serait facile de calculer l’erreur que nous avons commise, par suite des termes que nous avons négligés; nous nous occuperons tout à l’heure de cette question. Pour le moment, observons que, si l’on suppose y -- 00 , P devient égal à l’unité; or, pour que y soit infini, il suffit que

^ V 2 — jï 6 S01t ’ mais ’ S1 7 est * mi amsi c l ue j» l a quantité /y/ pourra être infinie, même pour des valeurs infiniment petites de /; on en conclut que la probabilité P, que - diffère infiniment peu de p , est l’unité; donc enfin,

si l’on fait un très-grand nombre d’épreuves, - tend vers p.

C’est le théorème de Bernoulli, démontré en quelque sorte par une méthode inverse de celle que nous avions d’abord suivie pour l’établir.

Essayons maintenant de calculer P avec une approximation plus grande. En nous laissant guider par la méthode

précédente, développons ^ ^ 1 — suivant les

puissances de £, multiplions ce développement par celui

de e aa? , nous pourrons écrire

/ çA*/ —

(3) ^i+ - J (^i — - J e aaii = i -h Àtt-h A 2 t 3 -h ,

k i, k t . . . , désignant des coefficients indépendants de f, et, par suite, nous aurons, au lieu de la formule ( 2 ),

-f- k 1 1 — J- k '2 1 a — f~ • • • ) dt )

les termes en t, t 8 , £ 5 , . . . disparaissent d’eux-mèmes dans cette formule, et l’on peut se contenter d’écrire

e aotiJ (i

-f- k 2 1 2 -f- t i -f- . . • ) dt 2

et, en posant toujours

on aura

Le facteur en dehors du signe J est à peu près égal à -4;

CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC. I 1 1 on peut du reste calculer sa valeur exacte par la formule de Stirling; nous le représenterons par — ^ > Si nous posons

ensuite

e~l' y 1 dy ,

nous aurons

Chacune des intégrales 0,- se calcule aisément en fonction de 0 O au moyen d’intégrations par parties; il ne reste donc plus, pour résoudre la question, qu’à calculer les coefficients A'*,.... Revenons pour cela à la formule (3). En prenant les dilî’érentielles logarithmiques des deux membres par rapport à t, on aura

st st otb I -H X'j t - 1- X', T 2 -4- . . .

en développant le premier membre suivant les puissances de t, on trouve

ou, en réduisant,

la formule (5) pourra donc s’écrire

/'| -T" 2 ij f 4" 3^3 t* -h . . .J

en égalant alors les coefficients des mômes puissances de t, on a

c’est-à-dire