CHAPITRE III. — ÉTUDE DES PHÉNOMÉHES, ETC. I

trois fonctions ^ i — ; ^ et e J,? directement.

La voie récurrente et la méthode directe ne nous donnent ni l’une ni l’autre des formules assez simples pour estimer une limite de l’erreur commise en s’arrêtant à un terme déterminé; il était cependant important d’évaluer cette erreur, afin de fixer rigoureusement le degré d’exactitude des formules du paragraphe précédent : c’est ce qui n’avait pas encore été fait jusqu’ici.

Je vais commencer par évaluer une limite supérieure de la valeur du coefficient k n . En posant

on a

ou

log/(f) = « log

d’où l’on tire, en repassant des logarithmes aux nombres,

On ne fera qu’augmenter le coefficient k n de t n si, au lieu de f(t ), on considère la fonction suivante, où 5 est le plus

I>4 CALCUL DES MOBABtLITÊH.

petit des deux nombres a, / 3 ,

En développant par la formule du binôme chacun des termes de cette expression et en écrivant que le coefficient de t n est plus grand que k n , on aura

(jJ 0-1 1 • 2 1 . 2 . 2 . 3 5" -1

Le dernier terme du second membre a pour dénominateur le nombre p(n) représentant deux fois le plus

grand entier contenu dans augmenté du reste de la division de n par 3 ; or, en écrivant comme il suit la formule (2)

1 + IZ1 3 + IZ11Z1 s ,

on reconnaît immédiatement que si nous désignons par v la quantité n — 1 — p («), u[n) étant toujours égal ou plus