CHAPITRE in. — ÉTUDE DES PHÉNOMÈNES, ETC

petit que — i , nous aurons

ï>« g 2 OU — 2,

et l’on pourra écrire

ou bien

Reprenant alors la formule (4) du paragraphe précédent,

la connaissance de la limite supérieure de k n permettra de calculer l’erreur commise en négligeant le reste de la série à partir d’un terme quelconque; nous examinerons particulièrement le cas où l’on calcule P, en se bornant au premier terme de la série. En appelant e l’erreur, on a

Il est à remarquer que p(«) croît de quatre unités quand n croit de trois unités, et, par suite, le second membre de la formule précédente décroît plus rapidement qu’une progression géométrique; enfin on peut remplacer 0 *(y),

©«(y),-- - P ar

.L, et l’on a

Ces (leux termes suffiront pour calculer e: le suivant contient non pas mais en facteur, ainsi qu’on peut s’en

assurer. On sommera ce reste comme une progression géo-

, . . 2 aB i

métrique ayant pour raison y J - > ce qui est permis en

groupant les termes deux à deux quand les exposants de d vont en croissant d’une unité seulement, et en doublant les termes pour lesquels les exposants de d décroissent de deux unités. Il y aura aussi parfois avantage à remplacer 0 4 (y), 0 6 (y), ... par les valeurs 0 4 (oo), 0 6 (oo ),..., qui sont

égales à

Nous ne simplifierons pas la valeur de s et nous préférons laisser le reste sous la forme d’une série, parce que, selon les valeurs de a, /S, s, il conviendra de modifier l’usage de cette série.

11 est presque inutile de faire observer que la série en question peut servir à calculer une limite de l’erreur commise dans l’évaluation de P, quand au lieu de négliger le terme en 0 4 on néglige un terme d’ordre queleonque, et le reste de la série qui donne P est toujours inférieur au reste de la série qui fait connaître la limite de l’erreur e.

Le reste est généralement assez considérable pour qu’il y ait lieu de calculer les termes en 0 4 et en 0 6 , au moyen des formules

e~^'y 7 dy — — - e~ -f- - 0* (y), 2 2

e-t'ÿ dy — — -0,(7),

c~V y* dy — ■ e~'f H 0 4 (y ),