SEIZIEME PARTIE

Quel que soif le nombre des points exigés pour la représentation d'une ligne courbe, il est toujours nécessaire de donner les projections de ccs points en suivant les règles que nous avons tracées précédemment.

§ 100. — De même qu’on peut se figurer qu'une surface plane est engendrée par une droite qui se meut parallèlement à ellemèiue dans une direction droite; de même on peut se figurer qu'une surface courbe est engendrée par le mouvement d'une ligne droite ou courbe suivant une direction cnurlie.

Si une ligne droite se meut sur la circonférence d’un cercle de telle manière, que cette ligne forme toujours avec la surface du cercle un même angle, et qu'elle reste toujours parallèle avec elle-même, alors cette ligne décrit une surface cylindrique et il en résulte un cylindre droit lorsque la direction de celte ligne est perpendiculaire à celte surface du cercle, un cylindre oblique lorsque cette ligne forme un angle oblique avec celte surface. Une surface cylindrique peut encore être formée lorsque la circonférence qui forme la base? (c'est-àdire une ligne courbe), se meut parallèlement à elle-même, de telle manière que son centre reste toujours situé sur la ligne droite qui forme ainsi l’axe du cylindre produit. Si. par suite, cet axe est posé perpendiculairement sur la surface du cercle, il en résultera un cylindre droit: cet axe est-il posé obliquement sur cette surface, le cylindre résultant sera oblique.

Si une ligne droite se meut autour d’un cercle, de telle manière qu’une des extrémités de celle ligne subisse seule ce mouvement, tandis que l’autre extrémité reste fixe, celte ligne décrira dans ce cas la surface d'un cône dont le sommet est le point fixe et dont l’axe est la ligne qui va de ce point au centre du cercle. Si donc cet ave est perpendiculaire à la surface du cercle , il en résultera un cône droit; si au contraire il est situé obliquement sur cette surface, le cône sera lui-même oblique ; il est à remarquer que dans ce dernier cas, la ligne droite dans son mouvement change continuellement de longueur, vu qu'une de ses extrémités, celle qui forme le sommet du cône, reste fixe, tandis que l'autre, en commençant sou mouvement sur un point de la circonférence, descend peu à peu audessous du cercle, jusqu'à ce qu’elle ait parcouru la moitié de la circon-

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férence, après quoi elle remonte de nouveau et vient, après Avoir parcouru l’autre moitié du cercle, rejoindre le point de départ.

Si la ligne courbe à l'entour de laquelle la ligne droite doit se mouvoir n'est pas un cercle, mais une ligne oiïrant une courbure différente, une ellipse, par exemple, alors il résultera de ce mouvement, non pas un cylindre ou un cône, mais un corps avant une forme cylindrique ou conique el.une base elliptique.

Toute ligne droite ou courbe, qui en se mouvant décrit une surface courbe, reçoit le nom de génératrice de la surface, et celle au long de laquelle cette ligne droite est obligée de se mouvoir pour engendrer la surface, comme par exemple, le cercle dans la formation de la surface cylindrique, se nomme directrice.

On peut aussi se représenter la génération du cylindre, du cône, de la sphère, etc., par la révolution de surfaces autour d’un de leurs côtés, et dans ce cas la surface qui a engendré par sa révolution ce corps nouveau, se nomme surface de révolution. Qu’un rectangle, par exemple, se meuve autour d'un de ses côtés, alors le côté opposé à celui-ci décrit une surface cylindrique; qu’un triangle se meuve autour d’un des côtés de l’angle droit, alors l’iiypotliénusc , dans ce mouvement, décrit la surface d’un cône droit; qu’une surface de forme, demi-circulaire ( ou même un cercle entier), se meuve autour du diamètre. alors la courbe qui forme la limite de cette surface circulaire décrit dans son mouvement une surface sphérique. C’est ainsi qu’on peut se représenter la formation d’un corps limité par une ou plusieurs surfaces courbes, comme prod uile par la révolution d’une surface autour d’une de ses droites, de telle sorte que chaque point extrême de cette surface décrive un cerrle.

Celte idée de la génération d’une surface courbe facilite le tracé de leur projection, ainsi que celui de leur intersection et de leurs plans tangents, comme on s’en convaincra par ce qui va suivre.

§101 . — Problème. — La courbe AFL fi g. 25) se trouve- sur un plan parallèle au plan de projection verticale, elle apparait dans sa projection sur ce plan sous forme d’une courbe scmbla-