DEUXIÈME PARTIE

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des on montre , premièrement, qu'on peut faire passer par un plan la ligne d’intersection commune à deux spliùres qui se coupent , pou importe que leurs diamètres soient égaux ou ne le soient pas (c’est pourquoi aussi la courbe de celte ligne d’intersection est une courbe à simple courbure ) ; deuxièmement, que le contour de ce plan est toujours un cercle ; troisièmement, que ce plan circulaire est perpendiculaire à la ligne des contres.

Si, d’après cela, la ligneüK, qui relie les centrés, est sliuée parallèlement au plan vertical , comme c’est le cas dans la fig. 02, alors la projection de la ligne d’intersection des deux sphères apparaîtra sous forme de la ligne droite DE; si cette ligne est perpendiculaire à la projection verticale, alors la projection de la ligne d’intersection sera un cercle dont 1) E sera le diamètre ; et si celte ligne forme avec la projection verticale un angle aigu, alors la projection de la ligne d’intersection des deux sphères sera une ellipse dont DE sera le grand axe, et dont le petit axe dépendra de l’angle que forme la ligne des centres OK ou la ligne DE avec le plan de projection verticale. El comme, d’autre part, la projection d’une sphère , quelle que soit sa position, est toujours un cercle de même grandeur, il n’y aurait rien à ajouter au problème en question , si , en terminant ce chapitre , ce n’elait le cas de parler de la méthode générale employée pour trouvai ■ les projections des lignes d'intersection de deux corps à surfaces courbas qui sa coupent.

§ 180. — Ainsi, lorsque des corps terminés par des surfaces courbes se coupent, peu importe que ce soient des sphères, des ellipses, des cènes, des cylindres obliques ou d’autres corps de ce genre , et lorsqu'on veut dessiner les projections de leurs lignes d’intersection, alors on fuit passer par les corjis qui se coupent un certain nombre de plans jntrallèles à l'un ou à l'autre des deux plans de projection. Ces plans d'intersection déterminent sur la surface des deux corps certaines courbas dont les formes sont déterminées par celles des corps qu elles coupent ; et les points oii deux courbes appartenant à un et même plan se coupent , devront nécessairement se trouver sur la ligne d'intersection des deux corps, parce qu'ils sont communs aux deux courbes, et qu'ils se trouveut par suite sur les

deux surfaces courbes. Il ne s’agirait plus que de trouver ces points d’intersection dans les différentes figures, et de les relier les uns auxautrcs'par des lignes, pour tracer la courbe que l’on cherche. Il n’est pas nécessaire de s’en tenir à la direction des plans auxiliaires parallèles aux plans de projection , quand une direction oblique présente plus d’avantage pour la construction. On voit , par exemple, à la fin du § 187, que lorsqu'on se sert d’une directicn oblique , et qu’au lieu de mener dans la fig. IV les plans d’intersection parallèlement à xy, on les mène parallèlement à AC’, la construction deviendra d’une exécution plus difficile , à cause de l’ellipse qui se formera dans la fig. V.

§ 190. — Si la ligure 62 représentait en projection horizontale deux sphères qui se coupent, et s'il s'agissait de trouver sur ce plan la projection de leur ligne d’intersection DE sur le plan vertical, sans s'inquiéter des principes posés au § 188, touchant les corps solides, on mènera alors la ligne MQ parallèlement à xy, ainsi donc parallèle an plan de projection verticale ; avec le rajon des sphères on décrit sur le plan vertical deux cercles dont les centres se trouvent situés sur une ligne parallèle à xy, et dans ces cercles on décrit les cercles concentriques avec les rayons MA’ et PQ. Les points où ils se coupent appartiennent à la projection de la ligne d'intersection, et qui est sur le plan vertical une ellipse; et si on projette ces points sur le plan de projection horizontale et sur la ligne droite MQ, ils donneront naissance au point R qui se trouvera avec D et E situé sur une ligne droite. Et ainsi on pourra, en continuant à procéder comme nous venons de le faire, trouver encore plusieurs points qui appartiendront sur le plan vertical à ladite ellipse , et sur le plan horizontal à la ligne droite D E.

Si , au contraire , la ligure 62 était la projection verticale, on trouvera par le môme procédé la projection horizontale et la projection des lignes d’intersection des deux sphères dans les deux figures.

§ 191. — Pour rendre plus clair encore ce qui a été dit, qu’on examine par exemple dans la lig. 60 les deux projections 1 et II. Si dans la fig. I on place les plans d'intersection parallèlement à xy à l'aide des points A, i, k,l , alors leurs