PREMIERE REGLE
& Si la quantité inconnue a un coeflicient, sa valeur )
peut être trouvée en divisant les deux côtés de l’équation par ce coeflicient; cette règle est fondée sur cet axiôme,” que si des quantités égales sont divisées par un même nombre, les quotients seront toujours égaux.
Ex. 1. Soit 2xr—14, divisant les deux côtés de l’é-
F 3 2 Or 14 2% 14 quation par 2, nous avons 5 — 93 Mais D —P et 5 = se ie x="1.
| ax b+c . AX Ex, 2 Soit ax—b+c; alors — =; mais— =>; a b+c a a LE ——— 0 a
Ex. 3. Soit æ+9x+4m+6x—52. Additionnant les termes, nous aurons 137—52. Divisant chaque côté par 13,nous aurons r=4.
Ex. 4. Soit 6æ—4r+3r—x—36. Les termes étant additionnés comme dans le second cas de l’addition, nous aurons 4x=—36. Divisant chaque côté de l’équation par 4
nous aurons æ—=9,
Ex. 5. Soit 10r—150. R. r=15.
Ex. 6. Soit 37+47+7r—84, R. x= G.
Ex. 7. Soit Sx—5r+4r—9x—925. R. = 5.
Ex. 8. Soit 122—37—47—7—924, KR. x= 6.
28. Les questions d’arithmétique peuvent aisément être mises sous la forme d’équation, et on verra par les exemples suivants quelle relation l’arithmétique a avec l’algèb.e pour toutes les opérations.
Si 30s, sont le prix de 5/0s. de thé, quel est le prix de 116. ?
(1.) Le prix d’une livre est ce qu’on cherche.
(2.) Ilest clair que le prix d’une livre x5 donne le prix de 5 livres.
qui par cun mis pro
TU le Ic ger.
nou nou
a valeur > l’équa- > sur cet isées par égaux.
> de l’é-
, et —
nant Îles . chaque
Les étant de l’adchaque
r= 6, usément par les ea avec
e prix de
onne le
(3.) Mais le prix de 5 livres, d’après la question — 30s.
(4.) Ainsi le prix de la livre en chelins x 5—30s.
(5.) Et en divisant par 5 nous obtenons le prix d’une livre —6s.
Pour les diverses formes de cette solution exprimée algébriquement, prenons les exemples suivants:
(1.) Soit æ=—le prix de 1/6. en chelins.
(2.) Alors 5r—le prix de la livre en chelins x 5 los. (3.) Mais le prix de 5/6. par la question est de 305. (4) Donc 52—30s.
(5.) Et. æ—6s qui est le prix d’une livre.
On voit par les formules (2) et (3) de cet exemple qu’il y a deux manières d'exprimer la même chose et par la formule (4) que ces expressions sont égales chacune à chacune. Ceci a lieu dans tous les problèmes mis en équation. Comme second exemple, prenons le problème suivant :
Une maison et un verger sont loués £28 par an, mais le loyer de la maison est 6 fois autant que celui du verger. Trouvez le loyer de chaque.
Le loyer de la maison est égal à celui de 6 vergers; nous pouvons done changer la maison en 6 vergers et nous aurons: Le loyer du verger +6 fois le loyer du verger=Æ£28, prenant la somme des loyers du verger nous avons 7 fois le loyer du verger —Æ£28, et la 7e partie de chaque côté de l’équation étant prise, le loyer du verger —=£4 ; et donc le loyer de la maison=—6 fois le loyer du verger | —6 x £4—£24.
Maintenant donnons ces opérations en termes algébriques. Koit x le loyer du verger en louis,
alors 6x sera celui de la maison.
Mais par la condition de [a question, le loyer du verger +6 fois le méme loyer =Æ£328,
Donc x +6r—2£28.
ou 77—=£28,
et, divisant chaque membre de l’équation par 7, = #4, loyer du verger, et 6x—6 x £Li—Æ£24, loyer de la maison.
Supposons encore la question suivante et proposons en la solution : “ Divisez le nombre 35 en deux parties telles qu’une des parties excède l’autre de 9.” Une personne sans notions d’algèbre, peut sans grande difficulté résoudre la question de la manière suivante.
(1.) On voit d’abord qu’il y a une parte plus grande et une partie plus petite.
(2.) 11 faut que la plus grande partie excède la plus petite de 9.
(3.) Mais il est évident que la plus grande et la plus petite ajoutées ensemble, doivent égaler le nombre 35.
(4.) Si alors on substitue pour la plus grande part son équivalent, savoir: la plus petite part augmentée de 9”? al suit que la petite part augmentée de 9,avec l'addition de la dite petite part =35.
(5.) Ou en d’autres termes on peut dire que 2? fois la petite part avec l’adiition de 9 est égale à 35.
(6.) Ainsi deux fois la petile part doit être égale à 35, après en avoir soustrail 9,
(7) Donc deux fois la petite part est égale à 26.
(8.) Il faut conclure que la petite part est égale à 26 divisés par 2 ; c’est-à-dire à 13.
(9.) Et cODscQano ent te la grende part excèdant la petite de 9, doit égaler 22.
Mais en suivant la méthode algébrique, les différentes parties de celte solution peuvent être exposées beaucoup plus brièvement.
(1.) Soit la petite part =T.
(2.) Alors la plus grande sera = +9.
(3.) Mais la plus grande et la plus petite =35. (4) Donc æ+9+x —35.
(5.) Ou 2r--9 —35.
(6.) Donc 2x —=35—9,
noll
par 7
proposons IX parties 9,’ Une nde diffinte.
1s grande e la plus et la plus mbre 39.
inde part rmentée de
le 9, avec
e 2 fois la
excèdant
différentes coup plus
Ut EN Ut
Où | sa
(7.) Ou 2x =926.
(8.) Donc x (petite part) =-—13. {(9.) Et x+9 (la plus grande) = 13 +9—22.
29. Ayant expliqué la manière dans laquelle les diverses parties d’une qu:stion d’arithmétique peuvent être exprimées en lang .ge algébrique, nous allons en donner des exemples.
PROBLÈMES
Pros. 1er. Un panier de dessert contient 30 pommes et poires, mais il y a 4 fois autant de poires que de pommes. Combien y en a-t-il de chaque sorte?
Soit æ=le nombre de pommes ;
comme il y a 4 fois autant de poires que de pommes, 4x—le nombre de poires.
Mais, par la question, les pommes et les poires ensemble
Donc x +4r—30.
Additionnant les termes contenant x, on a 5r=30. Divisant chaque côté de l'équation par 5, æ—6, nombre de pommes, Donc le nombre de poires —4xr—4 x 6—24.
Prog. 2. Dans un mélange de 16 livres de thé noir et vert, il y a trois fois autant de noir que de vert. Trouvez la quantité de chaque sorte ?
Soit æ—le nombre de livres de thé vert,
Alors 3x sera “ & noir.
Mais le thé noir+le vert=—16 livres.
Donc x+3x—16 livres.
Additionnant les termes qui contiennent #,
4x—16 hvres.
Divisant chaque côté de l’équation par 4,
æ—=4 livres de thé vert, Donc le thé noir—3rx=3 x 4—12 livres.
Prog. 3. On fait un mélange de thé vert et de thé noir par égale quantité ; mais le thé noir coûte 5 chelins
etle vert 7. Combien y en aura-t-il de chaque sorte pour 4& guinées ?
Soit æ—le nombre de livres de chaque sorte ; Alors 5x=—le prix du thé noir en chelins, Et 7x — 66 + vert 66
Mais le prix du noir et celui du vert=4 guinées=—84s. Donc 5x +'7r—84 12% —84
Donc zx=—7 livres de chaque sorte.
Prog. 4. L’aire d’une classe rectangulaire est de 180 verges et sa largeur est de 9 verges. Quelle est sa longueur ?
Soit x la longueur en verges ; et puisque l’aire égale la longueur x par la largeur; nous avons
æ x 9—/l’aire de la classe, Donc 9x—180 Et donc x—20 verges de longueur=—R.
Prog. 5. Divisez une baguette de 15 pieds de longueur en deux parties; de manière que l’une soit 4 fois la longueur de l’autre?
Soit æ—la petite partie, alors 4x=—sera la plus longue
nn PRE
Maintenant ces deux parties font ensemble 15 pieds. Donc æ+4r—15 pieds, 5x=15 pieds, Donc x— 3 pieds la petite partie, et la grande égale 4 fois 3—12 pieds.
Prog. 6. On a acheté un cheval et sa selle, pour Æ40 mais le cheval coûte 9 fois autant que la selle. Quel est le prix de chaque ? Rép. £36 et £4.
Pros. 7. Divisez deux douzaines de marbres entre Richard et André, de manière que Richard en ait trois fois autant qu’Andre ? Rép. Richard=—18.
André=—06.
Pros. 8. On demande à un enfant, combien il a de
que sorte
1e sorte ; 18,
te sorte.
st de 180 st sa lon-
ire égale
ur= À.
Is de lonsoit 4 fois
eds.
4x pieds.
e partie,
our £40
. Quel et £4.
es entre ait trois = 18.
nila de
marbres. Si j’en avais deux fois plus que j’en ai, j’en aurais 36. Combien en a-t-il? Rép. 12.
Prog. 9. Unlibraire vend 10 livres à un certain prix et ensuite 15 au mêmeprix. Dans cette dernière vente il reçoit 35 chelins de plus que la première fois. Quel est le prix de chaque livre? Rép. Ts.
Soit æxæ=—le prix d’un livre en chelins, Alors 10r=—le prix du premier lot, Et 15x=le prix du second lot.
Maintenant si le prix du premier lot est ôté du prix du second, cette différence égale 35 chelins.
Donc 15x%—10x7—35 chelins.
Soustrayant 10x de 15xr, nous avons 5x =35s.
Donc x—7s. prix d’un livre.
Prog. 10. Divisez £300 entre A. B. et C.de manière que À. ait 2 fois autant que B. et C. autant que A. et B. ensemble.
Soit #—la part de B. en £ 2æ—la part de A. en £ Et æ+2x ou 3x=—la part de C. en £ Mais entr’eux ils reçoivent £300.
Donc x+9r+3rx—Æ£300.
Donc æ=Æ£50 la part de B.
Donc A.—Æ£100 et C.—Æ#150. Preuve.
Pros. 11. Si à 9 fois un nombre, on ajoute 3 fois le même nombre et qu’on en ôte 4 fois ce nombre, le reste—48, Quel est ce nombre ?
Soit æ=le nombre ; 9x—9 fois le nombre ; 3æ—=3 fois le nombre ; et 4x=-4 fois le nombre ; Donc 9x + 3r7—4x—48, 8x —48, Donc x—6. Réponse.
Pros, 12, Divisez la somme de ƣ100 entre deux
hommes, 3 femmes et 4 enfants, de manière que chaque homme ait 2 fois autant que chaque femme et chaque femme trois fois autant que chaque enfant. Dites la cor
part de chacun ?
Soit æ=la part de chaque enfant, 3x=—la part de chaque femme,
Et chaque homme aura 3x x2—6w, pri Ainsi nous avons 4 enfants —4x, dl
3 femmes x 37—=9r, et 2 hommes x 64— 12%.
Mais la somme de toutes ces parts=Æ£100 ; Donc 4x + 9x + 12x— £100, 25x—£100, Done +=—Æ£4, part de chaque enfant.
Donc chaque enfant=—#{4; chaque femme—3 x £4— £12, et chaque homme—6 x £4—Æ£24. Rép. 3 ent ense
Pros. 13. Un monsieur rencontre 4 pauvres et leur donne 5 chelins entr’eux tous ; mais le second reçoit 2
fois autant que le premier, le troisième 3 fois et le qua- du trième 4 fois autant que le premier. Combien donne- de t-il à chacun? Rép. 6d.; 19d.: 184. et 244. e êu Prog. 14. Divisez une ligne de 12 pieds de longueur plus en trois parts, de manière que la moyenne soit le double ons de la preruière et la plus grende le triple? R. 2,4, 6. se Pros. 15. Divisez 40 en trois parties et de telle ma- * briqi nière que la première soit. 5 fois la seconde et la troi- 4 PUIS sième égale à la différence qu’il y a entre la première ! Com: et la seconde ? Rép. 20, 4, 16. E:
Pros. 16. Un épicier a trois caisses de thé de diffé- | Soust rentes qualités, à 3s., à 5s., à ‘7s.; il en mélangeune { reste égale quantité de chaque espèce pour la somme de £6. ! Combien en prend-il de chaque espèce? Rep. Slbs. I Le La Pros. 17. Un billet de £700 doit être payé en souverains,demisouverains et en couronnes, et en égal nombre — de chaque. Combien y en aura-t-il ? Rép. 400. | Qu tractic
Pros. 18. Deux voyageurs partent, l'un de Londres tractic
1e chaque et chaque Dites la
enfant.
3 x £a . Rép.
es et leur d'reçoit 2 et le quaen donne- . et 24d.
> Jongueur t le double 2, &, 6,
à telle maet la troipremière
> de diffélange une me de £6. p. Slbs.
en souve- Inombre ép. 400.
» Londres
ÉQUATIONS SIMPL 91
et l’autre de Guildford qui sont à 27 » Îles de d «tance ; Pun fait 4 milles à l'heure et Pautr | fuit Ja combien d'heures se rencontreront-ils. Rép. li
Pro8. 19. Une personne achète un cheval, ui rosse et un haruais pour £120 ; le prix du cheval deux fois celui du harnais, et celui du carrosse 2 fois le prix du cheval et du hurnais ensemble ; quel est le prix de chaque ? Prix du harnais =£13 6 $.
Rép. ‘6 «6 cheval —£26 13 4.
‘ “ carrosse —Æ£80 0 O0.
