PREMIÈRE RÈGLE
Soit 2 Epr=g.
Ajoutez Le à chaque 2 membre de l’équa- “Ep RP a ae td 4 tion, alors
+ Wp°+4a* Extrayez-la racine at PTS carrée de chaque = membre de lé- YF dre quation , alors et PRE nd MS ‘
D'où l’on voit, que “si on ajoute à chaque membre de l'équation le carré de la moitié du coefficient de x, on a pour premier membre de l’équation, une quantité qui est
*Puisque le carré de +a est + a2, et que celui de— a est aussi + a2,
la racine carrée +42? peut être ou +-& ou —a; donc la racine car-
| rée de p2+4g peut être exprimée par 2 VD? +4q.
Quelle est la forme la plus générale sous laquelle on peut représen- |: ter une équation du second degré affectée ? Peut-on la réduire à une 4 autre forme? Enoncez la 1ère Règle.
un carré parfait ; et en extrayant la racine carrée de chaque membre de l’équation résultante, on a une équation simple, de laquelle on détermine la valeur de x.”
68. D’après la forme que l’on donne à x dans chacune de ces Règles, il est évident qu’il aura deux valeurs; lune correspondant au signe +, et l’autre au signe —, du radical.
Rs
Ex. 1.
Soit 2° +8z—65.
Ajoutez le carré de 4 (c.-à-d. 16) à chaque membre de équation, alors 2° +8x+16—65+16—81.
Extrayez la racine carrée de chaque membre de l’équation, alors
g+4=Tt y81—= +9, et z= 9 -— 4 — 5 ; ou = —9—4——13.
Ex. 2.
Soit 2’ —4x—45, :
Ajoutez le carré de? … . i 2 (c.-à-d. 4), alors d'—4x+4=45 +449, c o Extrayez la racine carrée, et æ—9= + #49= +7, le « etz=1+2=9; ou x=2—1——5,
Ex. de a + 12%—108. 0... . Rép. T= 6 ou — 18. Ex. &, a —142— 51. 0.00. «Rép. 24=17 OU — 3.
Ex. 5. à°— 6%— 40.......,..,.Rép. =10 où — 4, : Ex Ex. 6. d—52x=6.
Dans cet exemple le coefficient de x est 5, un nombre M | À] impair. Sa demi est 5 © + additionnant à chaque | 4 5\° membre de l’équation () one nous aurons
1e carrée de | a une équa-
eur de x.
lans chacune eux valeurs; au signe —,
que membre
mbre de l’é- 49,
un À
: 6 ou —-18.
17 ou — 3.
-10 ou — 4,
un nombre
t à chaque
: 5 Extray’ la racine carrée, T—5= Eh : ; 5,7 2=5 36, ou — 1.
Ex. 7. 2'—2—=6.
Ici le coefficient de + est 1 ; additionnant donc (4)° ou + à Chaque membre, nous avons
Pat) =64= À.
Extrayant la racine carrée, æ— its D s x=3 +) 3 ou — 2.
Ex. 8. 2+72—1718............ - Rép. 2=—6 où — 13, Ex. 9. T'+3z—28.......,,,... Rép. z=4 où — 7, Ex. 10. x—32—40.......,.... Rép. 3=8 où — 5, Ex. 11. 2°+ m—=30....,,,.,.... Rép. &=5 où — 6.
EE. 12, Soit 72° —207=—32 ; trouvez x.
Divisant par 7, Pr.
RS à 20 G)=? 100 224 100 324 le carré, STE) 25 = 70 + 20 = 50
10 324 18 or __ + es PUS à D'où D = dd —
10, 18 et = T4 ou — 11, Ex. 13. 5x +4r—9273.
is - 1,4 273 Divisant par d, x += — Ajoutez à 2\° 1 1,4. 4 273 4 1369 chañ, côté. 5) °U55 et æ Talon +35" 55 * Extrayez la racine carrée, c++ = gr Pr, ou —7+,
Ex. 14. 32x°+97—161........Rép. = 7 ou — 72
3° Ex. 15. 22 —5r7—117.. .... «Rép. X= 9 ou — 14, Ex. 16. 32°—21—280......,.Rép. x—10 ou — 94.
Ex. LT 4x?—"7x—492, 0. . Rép. æ—=12 ou —101.
Comme on a rarement une équation du second degré dans une forme aussi simple que dans les exemples précédents ; on trouve qu’il est généralement nécessaire d'employer les réductions suivantes dans la solution du second degré.
(1.) Chassez les dénominateurs.
(2) Transposez les termes affectés de 2° et x dans le ! Ex. premier membre de l’équation, et les nombres dans l'autre.
(3.) Divisez tous les termes de l’équation par le coef- Ex. Jicient de +.
(4) Complétez le carré. Ex.
(5.) Extrayez la racine carrée de chaque membre de l'équation, et il en résultera une équation simple, de la-
quelle on peut déterminer la valeur de x. Ex 42° 1 Ex.
Ex. 1. 3 —l=;% Multipliez par 3, et 4x°—33—7x. Ex.
Transposez 4a°— x—=33.
Ex.
Divisez par 4, et Pia. >
nd 1,,138, 1528 1 529 Ex le carré. SF 40 To a 64 64 T6 62
Extrz. la racine carrée mt . Ex 1.923 | Ex.
Le = te =3 ou —93,
Las rare ee ne e
Tou— 72. 9%+4x+4—52 +57,
9 ou — 12, 5° —8r—4,
D ou — 94. a 8 À
> ou — 104. den :
econd degré ! 5 25 5 25 25
emples pré- ! : non ” 6
; nécessaire Fe 5 —#
, solution du 4,6 b) Re UPS Re et TETE? ou B
et æ dans le Ex, 8, lets Rép, 219 où —6.
mbres dans 3 E 2x 1 7 par le coef- X. 4, Ty geeeesossso see Rép. x=3 ou 4. 2 à 9 membre dé Ex. 5. 3 D Teossososs see Rép, x=6 ou T3" nple, de la- Ex 6, I x=9 ou —?.
Too. CRCAOIO EC «+ Rép, z=6 ou — 53.
Ex. 8. Sales sccuae se Rép t=925 ou 1.
Ex. 9. D Sa Rép. xz=5 ou —92,
1 599 Ex. 10. rs Re. ..... . Rép. æ=9 ou —3.
3% z—1l | 11 | Ex. 11, m2 6 27e .e «Rép. 4=10 ou TT
| Ex. 12. Donné 2°+82—- 3] ; trouver la valeur de x. 23. | a+ 80 +16—16—31—— 15,
{l’une et l’autre sont des valeurs impossibles ou imaginaiit res de x,
Ex. 13. 2— 92 92..,.,,,,..Rép. =1+ #1.
Ex. 14. 2'—167——15.....,...,Rép. æ=15 ou 1.
Ex. 15. Soit 132°+22—60.
Addition’. a ,, 2%, 1 60 1 780 1 781 carré de 4.57 713 16913 Ÿ 1697 169 * 169 169
Extrayez de e 14 y181 +27.94
Divisez par 13, 2 +—
racine carrée. A TELL — 19 +97.94—1 26.94 LE = ———— — — 6.
‘4 13 13 —9,07 où —2.22
Ex. 16. 2'—6x+19—13.....Rép. x—4.732 ou 1.268. Ex. 17. Dr" + 4225.00 0 0 + Rép. = 1.811.
Toute équation dans laquelle l’inconnue n’entre que dans deux termes, avec l’indice de la puissance la plus haute, double celle de la puissance la moins élevée, peut se résoudre comme une équation du second degré par les règles précédentes.
Ex. 18 Soit a —9x—48.
Complétez le carré, &°—2x°+1—49; Extrayez la racine carrée, à —1= +7; a =8 où —6; et. æ —2 où Ÿ —6.
Ex. 19. 22x—7 yx=99.
1 99 ENS) V?= Ë 7 7" () 99 49 841 2 V4) = 2 +16 16" 7 29 va = tp 1:29 Vr=, 7 = ou ot
‘ en carrant les deux membres, 2=81 ou 4
15 ou 1.
1 781 +169 — 169 1.94 ‘où —2.226.
39 ou 1.268.
n’entre que sance la plus élevée, peut degré par les
ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. 107 Ex. 20. 2'+472—12.....Rép. x=+ y? où + y 6., Ex. 21. 2°—8r—513.....Rép. x=3 où #—19.
92m RÈGLE.
Soit az Tbx=c,
Mult. chaque more, alors 4x? + 4abx—4ac.
de l’équation par 4a.
Addition’. b° à chaque membre, nous avons.
Extrayez la racine carrée comme ci-devant.
2ax +b= + y/4ac+b?
Q2ax = + y kac+b?+5, TE Ydac+b?+p.
et T= da
4a°2° + &abx + b—4ac + L?.
D'où l’on déduit, que “si on multiplie chaque membre de l’équation par quatre fois le coefficient de x°, et que l’on additionne le carré du coefficient de x, la quantité au premier membre de l’équation sera le carré de
2ax tb. Extrayez la racine carrée de chaque membre de l'équation, et vous aurez une équation simple, de laquelle on détermine la valeur de +.7?*
Si a=1, l'équation est réduite à la forme x? + px=g ; ainsi, dans ce cas, la Règle peut être appliquée, en “ multipliant chaque membre de l'équation par 4, et additionnant le carré du coefficient de x.”
D’après la forme que l’on donne à x dans cette Règle, il est évident qu’il aura deux valeurs; l’une correspondante au signe + et l’autre au signe —, au radical.
Ex. 1.
Soit 3x2 +5x—49.
Multipliez chaque membre de :
équation par (a) 12 ; alors 36x° + 602%— 504.
* On trouve le principe de cette règle dans le Bija Ganila, un traité Hindoo sur les élémens d’Algèbre.
Additionnez (8°) 25 à chaque membre de l’équation, nous avons 36%" +607+25—504+95—529.
Extrayez la racine carrée de chaque membre de l’équation, qui donne 62+5= + 529 — +293; . 62 +7923—5—18 où —28;
et = =3,
28 14 ou == = — 4 LOS PE À
Soit z'—152= —54.
Multipliez par 4, alors 4r?—607=——216.
tinnz fh2 nn. A Es et 4x°—60%+225—225—216—9.
Extrayez la racine carrée, 24—15= + #9= #3; 2z—15+3—18 ou 19,
18 12 etæ=— où ——=9 ou 6.
2 2 DE LA SOLUTION DES PROBLÈMES RENFERMANT DES | jf ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ. T'
69. Dans la solution des problèmes qui renferment le | Mul second degré, on trouvera quelquefois que les deux valeurs | tion” de l’inconnue répondent aux conditions de l’énoncé, et d’autres fois il n’y aura qu’une seule valeur qui y répon- | dra. Ceci est une circonstance qu’il sera toujours facile de déterminer d’après la nature du problème.
PROBLÈMES. Pr telles Prog. 105. Partagez le nombre 56 en deux parties | renc telles que leur produit soit 640. |
Soit +—=une partie, | alors 56—%=—l’autre partie, | et æ (56—x)=le produit des deux parties. D’ D'où par la donnée, x (56—zx)=—640, ou 567—2x*=640.
l'équation,
bre de l’é- 23;
ou —28 ;
/9=T3 ; — 18 ou 12,
