pd __ 1=32 4% 232, n= D
Comment trouve-t-on la racine d’une progression géométrique ? Quelle est l’expression pour la somme de n terme d’une série de nombres en progression géométrique ?
Ex.'7. Trouvez deux moyens géométriques entre 4 et
Ex. 8. Trouvez trois moyens géométriques entre + et 9. Rép. 1, 1,3.
Ex. 9. Trouvez un moyen géométrique entre a et L. Soit + le moyen géométrique demandé ; Alors a, x, l sont trois Fe en progression géométrique,
rl et © us æ ou À — al m PR — yal. SO] Ex. 10. Quel est le moyen géométrique entre 16 et 647 | Rép. 32. mé
Ex. 11. Insérez quatre moyens géométriques entre 4
et 81. Rép. 1, 3, 9, 27. ] Se mé PROBLEMES. car.
Prog. 145. Déterminez trois nombres en progression géométrique, tels que leur somme soit égale à 7 ; et la somme de leurs carrés égale à 21.
mé et c
, À Soit 5? % TU; les nombres. Alors par la donnée,
S+a+ay = Tes.()
pret (2)
De l'équation (1), z a, +1 +3) = 7
* en carrant PUR +9y+y")]=
—— ” | + + ei de)
De (2) #(— +1 +y ]=
par soustraction, z ( +2 + 2) =08,
où 142=—98 ; , &= À
nes entre 4 et ). 16 et 64.
ues entre + et tép. L; k de entre a et L.
lé ; géométrique,
ntre 16 et 647 Rép. 32.
riques entre 3 1, 3, 9, 27.
en progression gale à 7; et la
la donnée,
ws
PROGRESSIONS CÉOMÉTRIQUES. 129
En insérant cette valeur de æ en (1),
1 7 te +) 25 1— REA AT REET 5+3 1 LA ae où S
D'où les nombres sont 1, 2, 4 ; ou à, 2, 1.
Pros. 146. Il y a trois nombres en progression géométrique dont le produit est 64, et la somme 14. Quels sont ces nombres ? Rép. 2, 4,8 ; ou 8, 4, 2.
Prog. 147. Il y a trois nombres en progression géométrique dont la somme est 21, et la somme de leurs carrés 189. Quels sont ces nombres ? Rép. 3, 6, 12.
Pros. 148. Il y a trois nombres en progression géo- : métrique ; la somme du premier ct dernier est 52, et le carré du moyen est 100. Quels sont ces nombres ? Rép. 2, 10, 50.
Prog. 149. Il ya trois nombres en progression géométrique, dont la somme est 31, et la somme du premier et du dernier est 26. Quels sont ces nombres ?
SOMMATION D’UNE SÉRIE INFINIE DE FRACTIONS EN PRO- GRESSION GÉOMÉTRIQUE ; ET MÉTHODE POUR TROUVER DES DÉCIMALES PÉRIODIQUES.
79. L’expression générale pour la somme d’une série géométrique dont la raison (r) est une fraction, est
(Art. 78) S = . Admettons maintenant que n soit
indéfiniment grand, alors r” (r étant une fraction) sera indéfiniment petit,*de sorte que ar” peut être considéré
* Quand 7 est une fraction, il est évident que r" décroît comme n 1 1 1 1 croît; soit par exemple r=—, alors r?=— ,73——— pt PR RP 70 100” 1000 10000 lete., et quand n est indéfiniment grand, le dénominateur de la fracion devient si grand à l’égard du numérateur ; que la valeur de la fraction elle-même devient moins qu'aucune quantité assignable.
comme zéro à l'égard de a dans le numérateur a—ar" de la fraction exprimant la valeur de S'; ainsi, la limite
, | (4 qu’approche cette valeur de $ est ———, quand le nom- 1—7r
bre de termes est infini.
Ext,
es 1 1 | Trouvez la somme de la série 1 ++ +o etc. à l’infini.
Lx: 2:
1 1 1 Trouvez la valeur de stostiost etc. à l’infini. 1 1 Ici a=- FR Sn Us 1 1 die EE = : 174 J A) 1 1 1 | dé Ex. 3. Trouvez la valeur de l+5+5: +5s+ etc. ad infi-\ nitum. Ré un “ES | 3 9 97 | Ici Ex. 4. “ 6 het “ad in:
x +itstat etc Co Jinitum. Rép. 4. | Ex, 5. ‘6 “ : che etc. ad inf D 5 25 12 | nutum. Rép. © 3° | Le 80. Ces opérations nous fournissent une méthode ex- ]
péditive pour évaluer les décimales périodiques ; dont ies{ fin nombres qui les composent sont des progressions géomé-#
1 1 1 | cl 10’ 100” 1000 | le nombre des facteurs contenus dans le décimal répéteur.#
triques, et dont les raisons sont — , ete., selonf
érateur a— ar" de!
; ainsi, la limite!
quand le nom-
: etc. à l'infini,
te. à l’infinr.
Ex. 1.
a décimale périodique .33,333, eprésentée par Ja série géomé-
Trouvez la valeur de ] etc. Cette décimale est r
trique
CRE" se ee. : < e : : | dt 107 100 + 1000 + etc., dont le Premier terme es
et la raison 10? a MT
3 3 D'où a— — FE 10 “ns 10 S ‘4 DU ET, 1 10-19 T=——, Le Ex. 2. Trouvez la valeur de «32,323,232 ete, ad nfinitum.
[ 32 32 de = | 4 ___100 32 39 ER Fe me 7100? 7 100
Ex. 3. Trouvez la valeur de
713,333, etc., à l'infini.
La série des fractions représ y
entant la valeur de cette
lécimale est 1 (série géométrique) ? :
| décimale es 100 + (Série géométriq )Lo66 + 1000 + + etc. ad infiA 8 etc. — 11 S' Rép: = ee 100 2 À PARC RE :
de etc. ad in- | * 71000 V = 1000 . 29 2.
L | 1 du 51 1000—100 * 500 300 Rép. 4. Es Tr T5 ‘4 À 41 7i 1 214 r ne 9 À rc " L ne — | PER ne OS + etc. ad il D'où la valeur du décimal=( +5) 4 300 Rép. 3° | 107 7 150" e méthode ex-{ Ex. 4. Trouvez la valeur de 81,343,434, etc, ad inques; dont les | finitum.
essions géomé-f 34 34 = “ete. salon 710000 a 10000 34 34 OO ET TH PER QE TS , 1 1—r 1 10000—100 9900 imal répéteur.f = 55 mis à ]
Et la valeur de A 81 S— 81 34 __ 8053 la décimale $ 100 * * 100 * 9900 — 9900"
Ex. 5. Trouvez la valeur de .77,117, etc., à l'infini.
Rép. ri
Ex. 6. «6 ‘6 232,323, etc., à l’infini.
Ré
ep. 09 .
Ex. 7. 66 ‘6 83,333, etc., à l'infini.
Rép. 6 .
Ex. 8. : «6 7,141,414, etc., à l'infini.
Ré 707
Ex. 9. sé ‘. 956,666, etc., à l'infini.
Ré» 287
On peut encore déterminer la valeur d’une décimale { ,.. périodique comme suit :—Dans l’exemple 4 ci-dessus. |: ©
Soit S — 813434. ..
et 100 S — 81.3434....
9900 comme sus-dit.
Pros. 150. Un corps en mouvement parcourt un espace d’un mille, la première seconde, mais par une réac- { tion, il ne parcourt que 4 mille la deuxième seconde, 1 la « troisième, et ainsi de suite.
Démontrez, d’après cette loi de motion, que quoique le corps soit en mouvement pendant foute Péternité, il ne! parcourra pas un espace plus grand que ? milles.
= th a ir
9900 | ee .. 4 81. Une série de quantités, dont les réciproques sont c., à l’infini. | € progression arithmétique, sont dites être en Progres- Rép T | Ston Harmonique. Ainsi les nombres 2, 3, 6, sont en 9 | progression harmonique, puisque leurs reci proques 4, 4, : . | % Sont en progression arithmétique (—1 étant Ja ruëson). c.,à l'infini. 9 : r Ka di Ré 23 |! Ex. 1. Trouvez un moyen harmonique entre 1 et nul EP, — 99 | Soit æ le moyen demandé :
Se LE Q J 1 3 . . .
C.,à | du Alors 1, 7%? 9° Sont en progression arithmétique, Ré .° À 1 " . à œ :. .
te., à l’infini. ! 9 3 107 % =l+s Rép. RS. © T bd 990 5 C., à l’infini. 2 . 287 Te Rép. -—. RE Ene
Ex. 2. Trouvez un troisième nombre qui soit en pro-
une décimule | gression harmonique avec 5 et 4.
4 ci-dessus. 0 Soit æ le nombre demandé :
1 1 , Alors 6° 4°," Sont en progression arithmétique,
aa 1 1 1
Et
; hit
> sus-dit. | SC RÉT
! 76 6 rcourt un es-! 1 par une réac- + seconde, 1 la 9
que quoique éternité, il ne nilles,
Ex. 3, Insérez trois moyens harmoniques entre 9 et 3. | RE A Les réciproques de 9 et 3 sont gt qui sont Île pre-
mier et le dernier terme d’une progression arilhmétique,| entre lesquels 1l s’agit d'insérer trois moyens arithméti- ] ques. Nous aurons donc, d’après l’Art. 73— a= Et a+(n—1; d=l, = 1 1 =" 5 se RS nr 3 "7 +(5—1) d 3 æ= 5 1 1 Fr 9 3 1 79 9 ?
Sg . d=—, 18 (o]?
