Si une série de quantités augmente ou diminue
par l'addition ou soustraction continuelle de la même! quantité, ces quantités sont dites être en Progression! Arithmétique. Ainsi les nombres, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc. (qui crossent par l'addition de 1 à chaque terme successif.l et les nombres 21, 19, 17, 15, 13, 11, etc., (qui décrossi
Ex.
E inter
! insér
Qu’?
ple d'r
,que Île carré |
que le carré!
Rép. 9 et 5.
3 fois le carré it est 110; et t est 4. Quels Rép. 6 et 1.
ÉTRIQUES ET
e ou diminue!
de la même h Progressioni 4, 5, 6, etc.
me successif.h
, (qui décroisi
sent par la soustraction de 2 de chaque terme successif,) sont en progression arithmétique.
73. En général, si on représente le premier terme d'une progression arithmétique quelconque par a, et la raison par d, on peut alors représenter la série par a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, etc., qui sera évidemment une progression croissante où décroissante, selon que d est positif où négatif.
Dans les séries précédentes, le coefficient de d dans le second terme est wn, dans le troisième deux, dans le quatrième il est trois, ete.; c’est-à-dire, que le coefticient de d dans quelque terme que ce soit est toujours l’unité moins que le nombre qui indique La place de ce terme dans la série. Ainsi, si on représente le nombre de termes de Ja série par (n), le ame où dernier terme dans la progression sera a+(n—1) d': et, si, le ne terme est représenté par l ; alors,
Ex. 1. Trouvez le 50me terme de la série, 1, 3, 5, 7, ete.
Ici a= 1 …. 1=1+(50—1) 2
du 2 —1+49x2 n—=90 99:
Ex. 2. Trouvez le 12e terme de la série, 50,47, 44, etc.
Ici a—50 ):.71=50+(12—1)—3.
d= 83 —=50—11%x3 n= Ii? mie Ex. 3. Trouvez le 25me terme de la série, 5, 8, 11, etc. Rép. T1.
Ex. 4. “ 12me 6 66 10, 195 9, ote.
Rép. 18.
Ex. 5. Trouvez 6 moyens arithmétiques (ou termes intermédiaires) entre 1 et 43.
Tei le nombre de termes est 8, savoir: les 6 termes à insérer, et les deux termes donnés, et conséquemment.
Qu'est-ce qu’une progression arithmétique ? Donnez un exemple d’une série en progression arithmétique.
a= 1) Mais a+(n—a) d=I 1=43 . 1+7d=43 ; n= 8 + d=6, Et les termes demandés sont 7, 13, 19, 25, 31, 37. Ex. 6. Trouvez 7 moyens arithmétiques entre 3 et 59. Rép. 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52.
Ex. 7. Trouvez 8 moyens arithmétiques entre 4 et 67. Ex. 8. Insérez 9 “ +. 9 et 109.
74. Soit a le premier terme d’une série de quantités en progression arithmétique, d la raison, n le nombre de lermes, | le dernier terme, et S la somme de la série: Alors
S—a+(a+d)+(a+2d)+...... +1 et écrivant cette série en sens inverse, S=l+(l—d)+(1—-2d)+......+a Additionnant ensemble ces deux équations, 1l résulte 2 S—(a+l)+(a+l)+(a+l+......+(a+0) —(a+l)xn, puisqu'il y a n termes ;
:. CETCE DC ETEE STE 0)
D'où il parait que la somme de la série est égale à la | somme des premiers et derniers termes multipliés par
moitié du nombhre de termes :
Et puisque {=a+(n—1) d;
2 8= }Qat(n—1) d À ge ()
De cette équation, trois quelconques des quatre quantités a, d, n, s, étant donnés, serviront à trouver la quatrième.
Ex. 1. Trouvez la somme de la série 1, 8, 5, 7, 9,11, etc., continuez jusqu'à 120 termes.
Ici a— ! ñn | RARE 2a+(n—1) d X 5" d= 2 dé
—=(2+119xX2) 60—240 x 60—14400.
tre 3 et 59.
atre 4 et 67.
quantités en le nombre de série: Alors
Le , il résulte +(a+i) es ;
est égale à la | ultiplhiés par |
quatre quanà trouver la
Ex. 2, Trouvez la somme de la série 15, 11,7, 3,—1, —5, etc., jusqu’à 20 termes.
Ici a— 15 . Ce 2a+(n—1) af x? d=— 4 ?
Le s = 2x 15+ (20- 1) —4 X 5 == (30—19 x 4) 2 — (30—76) 1.
Ex. 3. Trouvez la somme de 25 termes de la série 2, 5,8, 11, 14, etc. Rép. 960.
Ex, 4. Trouvez la somme de 36 termes de la série 40, 38, 36, 34, etc. Rép. 180.
Ex. 5. Trouvez la somme de 150 termes de la série ! © 1 4 5 9 7 etc 39 3° 2 39 39 æ)9 39 ®
Icia=1 |. 8 2a+(n—1) ai 5 d=} = 2 x 3H (150—1)4 = 0 149 151
Ex. 6. Trouvez la somme de 32 termes de la série 1, 14, 2, 24, 3, etc. Rép. 280.
PROBLÈMES
Prog. 131. La somme d’une progression arithmétique
est 1240, la raison—4, et le nombre de termes est 20. Quel est le premier terme ?
Ici $—1240 | …… S= À 2e+(n—1) dl"
d=— 4 1940 Ÿ 2a+ (201) -4 (ee
n=. 90 — (2a—19%x4) 10 . 2a=124+76—200, et. a—100.
D'où la série est 100, 96, 92, etc.
Pros. 132, La somme d’une série arithmétique est 1455, le premier terme est 5, et le nombre de termes 30. On demande la raison ?
Ici S—1455 Qa+(n—1) d de = S, } 30
a= 5°: J2x54(30—1)4 -=1455 n— 30 | (104294) 15— 1455 ; Divisant les deux membres par 15, 104+294—97, AE d=3. |
D'où la série est 5, 8, 11, 14, etc.
Prog. 133. La somme d’une série arithmétique est 967, le premier terme est 7, et la raison 2. Trouvez le nombre de termes.
. n ICT S=567 1 puisque Ÿ 2a+(n—1) d (r= S 7 2 x T+(n—1)9 {2 —567 a— x T+(n—1)2 596 d= 2] n°+6n—567. | L (4 LA 0 pe Q € Complétez le carré, n°+6n+9—576. + Extrayez la racine carrée, n+3— +924; voy “.n=?21 où —27. 98, | : a t Pros. 134. La somme d’une progression arithmétique À est 950, la raison est 3, et le nombre de termes 25 rs Quel est le premier terme ? Rép. 2. Î au | Pros. 13%. La somme d’une progression arithmétique | au : est 165, le premier terme est 3, et le nombre de termes 10. | Quelle est la raison ? Rép. 3. | P | pou ne É h 1 Prog. 136. La somme d’une série arithmétique est | inte 410, le premier terme est 3, et la raîson 2. Quelest le || port nombre de termes ? Rép. 20. | sné del
Pros. 137. La somme d’une série arithmétique est | O4, le premier terme est 14, et la raison —2. Quel est le Il nombre de termes ? Rép. 9 ou 6. nes
étique est > termes 30.
iétique est Trouvez le
ithmétique termes 25 Rép. 2.
thmétique termes 10.
Rép. 3.
étique est Juel est le
étique est
Duel est le 9 ou 6.
Pros. 138. Un voyageur partant pour un lieu éloigné de 198 milles, fait 30 milles le premier jour, 28 le second, 26 le troisième et ainsi de suite. Dans combien de jours arrivera-t-il au terme de son voyage ?
Icia— 30 d—— 2 $ trouvez le nombre de termes.
Or { 2a+(n—1)d 5=$;
(31—n)n——198, ou, LR mi
- __961 __169 22 ou 9.
Pour expliquer la difficulté apparente qui surgit des deux valeurs positives de n, qui nous donne deux périodes différentes de l’arrivée du voyageur au terme de son voyage, observons que si on porte Ta série proposée 30, 28, 26, etc., jusqu’à 22 termes, le 16m sera zéro, et les six termes restants seront négatifs : s CC qui indique le repos du voyageur le 16m jour, et son refour en direction opposée pendant les six jours suivants ; et ceci le raménera, au bout du 22me jour, au même point où il était à la fin du 9me jour, savoir, à 198 milles du lieu de son départ.
Prog. 139. Combien de chemin fait une personne pour ramasser 200 pierres placées en ligne directe, par intervalles de 2 pieds l’une de l’autre ; supposant qu’elle porte chaque pierre l’une après l’autre à un panier éloi-
| gné de 20 verges de la première pierre, et qu’elle parte | de l’endroit où se trouve placé le panier ?
Il est évident que l’espace parcouru par cette personne sera deux fois la somme d’une progression arithmé-
tique, dont le premier terme est 20 verges (c’est-à-dire 60 pieds), la raison 2 pieds, et le nombre de termes 200.
Icia= 6 ji = | SAN E À 2a+.(n— 1)4 { x n=200 —(120+398) 100.
—518 x 100—51800 pieds. ; , pieds. milles. stades, pieds. D D'où la distance demandée—103,600—19 - 4 - 640. pli
ProB. 140. J’ai acheté 47 moutons, à raison d’un chelin pour le premier, 3 pour le second, 5 pour le trozsième, et ainsi de suite. A combien me reviennent les en moutons ? £110 9s.
Prog. 141. Un gentilhomme a commencé l’année en donnant en bonnes œuvres, 14. le premier jour, kd. le second jour, 3d. le troisième, etc. Combien d’argent avait-il disposé en bonnes œuvres à la fin de l’année?
Pros. 142. À, fait uniformément 6 milles à l’heure, et part pour son voyage 3 heures 20 minutes avant B ; B le suit à raison de 5 milles la première heure, 6 la seconde, 7 la troisième, etc. Dans combien d’heures aura-t-il atteint A? Rép. Dans 8 heures.
ProB. 143. Il y a un certain nombre de qnantités en progression arithmétique, dont la raison est 2, et dont la somme est égale à huit fois leur nombre ; de plus, si on ajoute 13 au second terme, et que l’on divise cette som-
me par le nombre de termes, le quotient sera égal au pre- ; j, mier lerme. Quels sont ces nombres ? d’un par
Que le premier lerme—x, à alors le second terme sera PES et le nombre determes = ; dre croi
Dans L ion Ja+(n— 14 x 2, substit Es ans l’expression 2a+(n— x ÿ Substituez æ pour a, de; 2 pour à, et y pour n, et elle devient 2xæ+(y—1)2 x? on nué
(=2y+y2—7Y), pour la somme de la série. non Par la donnée, ay+y°—7y=8y, où y=9—7, term
y exen
t-à-dire 60 8 200.
stades. pieds.
aison d’un our le frorennent les C110 9s.
26 l’année jour, £d. le n d’argent l’année ?
l'heure, et vant B ; B 5 la seconde, ès aura-t-1l B heures.
rantités en
2, et dont plus, si on cette soinsal au pre-
erme sera
æ pour &,
, æ+2+13 " D'où ——7x, où 2?—8x=—15 I—% 2° —8r+16—16—15—1, et T—4—+1;., x=5 ou 3, y=9—x —4 ou 6.
D'où 1l paraît qu’il y a deux séries de nombres qui rempliront les conditions voulues ; savoir, 5, 7, 9, 11, ou 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Prog. 144. Il y a un certain nombre de quantités en progression arithmétique, dont le premier terme est 2, et dont la somme est égale à 8 fois leur nombre ; si on ajoute 7 au troisième terme, et qu’on divise cette somme par le nombre de termes, le quotient sera la raison de la progression. Quels sont ces quantités ?
Rép. 2, 5,8, 11, 14.
DE LA PROGRESSION GÉOMÉTRIQUE
45. Quand une série de quantités augmente ou diminue par la mulliplication où la division constante de la même quantité. ces quantités sont alors dites être en Progression Géométrique. Ainsi les nombres, 1, 2, 4, 8, 16, etc., (qui crosssent par la multiplication constante par 2), et les nombres 1, 4,+, 2, etc., (qui décroissent par la division constante par 3, ou la multiplication par 1), sont en Progression Géométrique.
16. En général, si on représente le premier terme d’une telle série, par a, et la raison (ou mulliple commun) par r, on peut alors représenter la progression par à, ar, ar?, ar°, ar”, etc., qui sera évidemment une progression croissante ou décroissante, selon que r est un enfier ou une fraction. Dans la progression précédente, l’indice de r dans un terme quelconque est toujours égal au nombre qui indique sa place dans la progression, diminuée de l’unité. D’où il suit que si on représente le nombre de termes d’une progression par (n), le dernier lerme sera ar".
Quelle est la définition d’une progression géométrique, donnez un exemple ?
77. Il est évident, par la simple inspection des séries données dans les deux articles précédents, qu’on peut déterminer la raison en divisant le second terme par le premier, où en divisant un terme quelconque par celui qui le précède.
Ex. 1. Trouvez la raison de la progression géométrique 1, 2, 4, 8, etc.
Ici la raison=" =? é
Ex. 3. Trouvez la raison dans la série 3
78. Soit $ la somme de la série a, ar, ar°, ar°, etc., alors a+ar+ar +ar+etc.e oo 07" +ar" .., =S.
Multipliez l’équation par r, et elle devient ar ar +ar +Hete.. ose se 0" + ar Lar=rsS, Soustrayez la première équation de la seconde, et vous y P | , aurez ar"—a=rS—$, où (r—1) S—ar"—a ; Ex —. ar" — 0 et ainsi, S—=————, r—1 Sirest une fraction, alors > et ses puissances sont qu'à: moins que 1. Ex ‘ . 7 VD Dans ce cas, il vaut mieux, pour la facilité du caleul, Ex ss
an
LA
transposer l’équation en S—— -, en multipliant le
, , Q . ar" — numérateur et le dénominateur de la fraction Pr par — |
79. Dans la supposition que / soit le dernier terme d'une série de cette espèce, alors Z=ar-"", .rl=ar"; d'où ETt les s=(—)-7 %. De cette équation on peut, (trois À Com ti 74 Quelle quelconques des termes #, a,r, L,) (étant donnés,) dé- Euombr terminer le quatrième.
des séries won peut ne par le celui qui
géométri-
2 3 , T's etc.
ny S", e, et vous a ; a j” nces sont
du calcul,
ipliant le
on re 7 —1 er terme
ar" ; d’où ut, (trois
nés,) dé-
Ex. 1, Trouvez la somme de la série 1, 3, 9, jusqu’à 12 termes,
Icia= 1). gt" — a 1x3'—1 OO an ver ge Ét: 811 n=12 ] EE 531441—1 531440 k — Te -—=265720.
Ex. 2. Trouvez la somme de 10 termes de la série
Eee 1024.
et S =. —- —, 7 59049 — 59049 Ex. 3. Trouvez la somme de 7 termes de la série, 1, 3, 9, 27, 81, etc. Rép. 1093.
Ex. 4. Trouvez la somme de 1, 2, 4,8, 16, ete., jusqu’à 14 termes. Rép. 16383.
Ex. 5, Trouvez la somme de 1,
te., jusqu’à 8 termes.
L 1 A n°Aa% € 3927 3280
LAIT TA Ex. 6. Trouvez 3 moyens géométriqnes entre 2 et 32.
Icia= 2) Et a" '—{
