Trouvez le nombre de changements de n choses pri

sesr.

Par les Art. 85 et S6— Le nombre pris deux à deux=n (n—1)

” « trois à trois=n (n—1) (n—2) Similairement quatre à quatre=n (n—1) (n—2) (n—3)

Si on admet que l’ordre qu’on observe dans ces cas particuliers, soit général, c’est-à-dire si le nombre de changements de nr choses a, b, c, d, ete., prises r—1, soit

n (n—1) (n—2)........n—7+2) Alors, en omettant a, il est également vraique le nombre de changements de n—1 choses b, c, d, etc., prises r—1,sera en mettant n—1 pour x dans cette dernière expression (n—1) (n—2)........(n—r+1) Or, si on place a avant chacun de ces changements 1l y aura (n—1) (n—2)........(n—r+1) changements de choses prises r, dans lesquels & est le premier. Il est clair qu'il y aura semblablement le même nombre de changements de choses prises r, dans lesquels chacune des autres choses b, c, d, etc., se trouveront respectivement premières ; et comme il y a n choses, le nombre de changements total de n choses prises ensemble y, sera la somme des changements pris ensemble r dans lesquels les n choses a, b, c, d, etc., se trouveront respectivement en première ligne, c’est-à-dire n fois (n—1) (n—2)........(n—r+1),

oun (n—1) (n—2)........(n—7+1).

Ila été ainsi prouvé, que si l'ordre par lequel (on trouve que) l'expression pour le nombre de changements de » choses prises ensemble r—1, soit vraie, elle est vraie aussi pour le nombre suivant (supérieur), où quand n choses sont prises ensemble r; mais on a trouvé que l’ordre de l’expression pour le nombre de changements de ñ choses prises ensemble deux à deux,et pour le nombre de changements de nr choses prises ensemble trois à trois ; il est donc vrai par le théorème qu’on vient de démontrer quand jes n choses sont prises ensemble qua-

tre à quatre, et s’il est vrai quand les choses sont prises quatre à quatre, il est aussi vrai quand elles sont prises ensemble cèng à cing, et ainsi pour un nombre quelconque pas plus grand que n, prises ensemble.

Cette preuve nous fournit un excellent exemple d’induction démonstrative, une méthode de raisonner d’une grande importance dans les sciences mathématiques.

87. Sir=n, c'est-à-dire, si les changements regardent toutes les quantités à la fois, alors (puisque n—r=n) leur nombre sera n (n—1) (n—2)etc.......2.1. Ainsi, le nombre de changements qu’on pourrait former avec les lettres composant le mot “ budgst” sont 6x5x4x 3 x2 x 1=720.

88. Mais si la même lettre reparaissait un certain nombre de fois, il est évident qu’il faudrait diviser le nombre total de changements par le nombre de changements qu’il y aurait eus, si les lettres avaient été différentes au lieu de la répétition de la même lettre. Ainsi si la même lettre se trouvait deux fois, il faudrait diviser pur 2 x 1; si elle s’y trouvait trois fots, il faudrait diviser par 3x2x1;sip fois par 1.2.3. . . p; et ainsi de suite pour toute autre lettre qui pourrait s’y trouver plus d’une fois. Ainsi l’expression générale pour un nom-

bre de permutations de nr choses, desquelles il y a p | d’une sorte, r d’une autre, q d’une autre, etc., etc., est |